強濾子在偏序集上的應用

劉志禹，姜廣浩，唐照勇

(淮北師范大學數學科學學院，安徽淮北 235000)

強濾子在偏序集上的應用

劉志禹，姜廣浩，唐照勇

(淮北師范大學數學科學學院，安徽淮北 235000)

本文在偏序集上引入并考察強濾子，給出偏序集上元素之間一種等價關系——連通關系，通過探究得到偏序集上真強濾子的一個內部刻畫。

強慮子；連通關系；非連通偏序集；不交并偏序集

1 預備知識

定義1.1[1]設F是偏序集(E,≤)的非空子集，如果對?a∈F,x∈E,a≤x蘊含x∈F，稱F是E的上集.

定義1.2[1]設F是偏序集(E,≤)的非空子集，如果對?a∈F,x∈E,x≤a蘊含x∈F，稱F是E的下集.

定義1.3[3]設F是偏序集(E,≤)的非空子集，若對?a,b∈F,?c∈F,使得c≤a,c≤b，稱F是余定向的.

定義1.4[3]設I是偏序集(E,≤)的非空子集，如果I是余定向的，且為上集，稱I是(E,≤)的濾子.

規定[1]設(E,≤)是偏序集，A是E的非空子集.令

易知↓A和↑A分別是E的下集和上集，且有A?↓A,A?↑A.

注1.1：文中用F?E表示集合F真包含于E.

2 強濾子與不交并偏序集

定義2.1[4]設F是偏序集(E,≤)的非空子集，若F既是上集又是下集，稱F是E的強集；若真子集F是E的強集，稱F是E的真強集.

定義2.2[4]設I為偏序集(E,≤)的子集，如果I是E的強集且是余定向的,即余定向強集，稱I是偏序集(E,≤)的強濾子.

注2.1 易知，若I是偏序集(E,≤)的強濾子，則I是E的濾子.當強濾子I是偏序集(E,≤)的真子集時，則稱I是E的真強濾子.

定義2.3[1]設(E1,≤1),(E2,≤2)是兩個交為空的偏序集.構造集合E=E1∪E2.定義E上的一個二元關系≤：?x,y∈E,x≤y?(x,y∈E1且x≤1y)或(x,y∈E2且x≤2y).

3 偏序集上的連通關系

定義3.1 設(E,≤)是偏序集，a∈E.按以下步驟操作：(1)記I1a={a}；(2)記I2a=(↑I1a)∪(↓I1a)；(3)記I3a=(↑I2a)∪(↓I2a)；……；(n)記Ina=(↑In-1a)∪(↓In-1a)；……

如此無限進行下去，得到一由元素a生成的集列{Ina}(n=1,2,…).則稱Ina為元素a的第n個步集，易知Ina?In+1a(n=1,2,…).

定義3.2 設(E,≤)是偏序集，a,b∈E.a產生的集列分別記為{Ina},{Jnb}.若存在正整數m，使得Ima∩Jmb≠?，則稱a和b在E上是連通的，簡稱a與b連通，記a～b.

定義3.3 設F是偏序集(E,≤)的非空子集.稱F是E的連通子集,如果F中任意兩個元素在E上都是連通的.否則稱F為非連通子集.特別的，若E是連通的，則稱偏序集(E,≤)是連通偏序集；若E是不連通的，則稱偏序集(E,≤)是非連通偏序集.若不交并偏序集(E,≤)的分支Ei(i=1,2)是E的連通子集，則稱為不可分分支；若分支Ei(i=1,2)是E的非連通子集，則稱為可分分支.

定義3.4 記[a]E={x∈E|x～a}，稱[a]E為a在E上的連通分支，簡稱E的連通分支.在不引起混亂的情況下，簡記為[a].

利用連通關系的性質容易得到：

引理3.1 設(E,≤)是偏序集，a∈E，則連通分支[a]是E的連通子集.

引理3.2 設F是偏序集(E,≤)的非空子集，則F是E的連通分支當且僅當F既是強集又是連通子集.

推論3.1 偏序集的任一余定向子集必是連通子集.

證明 設(E,≤)是偏序集，F是E的余定向子集.令a,b∈F，則?c∈F，使得c≤a,c≤b，由引理3.3可知a～b，即a與b連通，所以F是連通子集.

推論3.2 設(E,≤)為不交并偏序集，若分支F是余定向的，則F是不可分分支.

定理3.1 設F是非連通偏序集(E,≤)的非空子集，則F是余定向連通分支當且僅當F是真強濾子.

證明 (必要性) 設F是余定向連通分支，則F?E，否則E=F.由引理3.1可知E是連通偏序集，但這與題設條件矛盾.再由引理3.2必要性可知F是強集，且是真強集.又F是余定向的，故F是真強濾子.

(充分性) 設F是真強濾子，則F是余定向真強集.由引理3.3和推論3.1可知F是連通子集，所以F既是強集又是連通子集.再由引理3.2充分性可知F又是E的連通分支.

定理3.2 設(E,≤)是偏序集，若E中存在真強濾子，則E必是非連通偏序集.

綜合可得

?x,y∈E,x≤y?(x,y∈E1且x≤1y)或(x,y∈E2且x≤2y).

①

定理3.3 設(E,≤)是偏序集.則以下條件等價：(1)E是不交并偏序集，且至少有一個分支是余定向的；(2)E中存在真強濾子；(3)E是非連通偏序集，且至少有一個連通分支是余定向的.

證明 (1)?(2) 設不交并偏序集E的兩個分支為E1，E2，其中分支E1是余定向的.下證E1是真強集.假設a∈E1,x∈E,x≤a.由定義2.3可知，(x,a∈E1且x≤1a)或(x,a∈E2且x≤2a)，而a∈E1，所以x∈E1，這說明E1是下集.類似可證E1是上集，故E1是強集且是真強集.又E1是余定向的，所以E1是真強濾子.

(2)?(3) 設E1是E的真強濾子，由定理3.2可知E是非連通偏序集，再由定理3.1充分性可知E1是余定向連通分支.

(3)?(1) 設非連通偏序集E的連通分支E1是余定向的.記E1=[a],E2=EE1.由E是非連通偏序集可知，易知E2不空，且有E1∩E2=?,E1∪E2=E.

一方面，顯然Ei(i=1,2)對在E上的偏序關系≤構成子偏序集，記為(Ei,≤i).故有

x,y∈Ei,x≤iy?x,y∈E,x≤y.

?x,y∈E,x≤y?(x,y∈E1且x≤1y)或(x,y∈E2且x≤2y).

[1]方捷.格論導引/現代數學基礎[M].北京:高等教育出版社,2014.

[2]G Gierz,H Hofmann,K Keimel,et al.Continuous lattices and domains[M].Cambridge:Cambridge University Press, 2003.

[3]鄭崇友,樊磊,崔宏斌.Frame與連續格[M].北京:首都師范大學出版社,2000.

[4]劉志禹，姜廣浩，唐照勇.強濾子及其在有限偏序集上的應用[J].洛陽師范學院：自然科學版，2017,36(11)：16-18.

StrongFiltersonPosetandSomeApplications

LIU Zhi-yu, JIANG Guang-hao,TANG Zhao-yong

(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei Anhui 235000, China)

In this paper, strong filters on poset are introduced and examined. An equivalence relation between elements is given on poset—connecting relationship, and a series of exploration is carried out. In addition, an intrinsic characterizations of proper strong filter are obtained.

strong filter; connecting relation; disconnected poset; disjoin poset

O159.1

A

2095-7602(2017)12-0005-03

2017-06-04

安徽省高校省級自然科學重點項目“關于Domain理論與序拓撲空間理論中若干問題的研究”(KJ2013A236)；安徽省高校省級自然科學重點項目“模糊Domain理論中若干問題的研究”(KJ2017A378)；國家自然科學基金地區科學基金項目“Domain理論中擬C-空間與譜空間的刻畫”(11361028)；淮北師范大學研究生創新基金項目“偏序集上的強集及其應用”(2017yjscx07)。

劉志禹(1991- )，男，碩士研究生，從事點集拓撲學研究。

姜廣浩(1973- )，男，副教授，博士，從事一般拓撲學研究。