變系數(shù)組合KdV方程參數(shù)控制的精確解

曹生讓

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院南京分院，江蘇南京 210019)

變系數(shù)組合KdV方程參數(shù)控制的精確解

曹生讓

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院南京分院，江蘇南京 210019)

本文通過(guò)擬設(shè)法引入一個(gè)函數(shù)將變系數(shù)組合KdV方程約化為常微分方程，在齊次平衡法和推廣的F展開(kāi)法的基礎(chǔ)上，求出該方程多組含有參數(shù)的新精確解，同時(shí)研究了精確解隨不同形式控制參數(shù)的變化情況。

變系數(shù)組合KdV方程；齊次平衡法；F展開(kāi)法；精確解

1 研究背景

尋求非線性發(fā)展方程的精確解尤其是孤立子解是非線性科學(xué)的重要組成部分，在流體物理、固體物理、激光物理、超導(dǎo)、場(chǎng)論等眾多的自然科學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.目前人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多有效的求解方法，如反散射方法、Backlund變換法、Riccati方程展開(kāi)法等[1-6].這些方法通常被用于常系數(shù)非線性方程的求解.然而，與常系數(shù)非線性方程相比，變系數(shù)方程能夠更加準(zhǔn)確地體現(xiàn)一些物理問(wèn)題.例如變系數(shù)組合KdV方程

ut+α(t)uux+β(t)u2ux-γ(t)uxxx=0.

(1)

常被應(yīng)用于許多物理領(lǐng)域，如聲波、粒子和熱傳導(dǎo)等[1].本文主要通過(guò)推廣的Jacobi橢圓函數(shù)法得到方程(1)的新的精確解，同時(shí)研究了解隨參數(shù)的變化情況.

2 推廣的F展開(kāi)法

對(duì)非線性發(fā)展方程(NEEs)：

P(u,ut,ux1,…,uxn,ux1x1,…,uxixj,…,uxnxn,…)=0.

(2)

做行波變換，有

u(t,x1,x2,…,xn)=u(ξ).

(3)

其中，ξ=f(t)x-h(t)，f(t)和h(t)為待定函數(shù).將(3)代入(2)，則(2)化為常微分方程O(píng)DE.設(shè)ODE具有如下形式的解：

(4)

3 變系數(shù)組合KdV方程參數(shù)控制的精確解

首先，假設(shè)方程(1)有如下形式的解

u=A1(t)g(ξ)+A0(t).

(5)

變系數(shù)組合KdV方程可以映射為

g″=Pg+2Rg2+5Qg3.

(6)

積分以后得

(g′)2=Pg2+Rg3+2Qg4.

(7)

其中，P,R和Q是常數(shù).將(5)代入(1)，令gi和gig′(i=0,1,2)的系數(shù)為0，可得下列代數(shù)方程組.

g0:?tA0=0.

(8)

g:?tA1=0.

(9)

(10)

(11)

(12)

借助Mathematica軟件，通過(guò)求解上述方程組可得：

情形一：P3=0,0

(13)

根據(jù)方程(7)解的形式，可以得到方程(1)下列幾種形式的解：

若P=m2,Q=-(1+m2)，方程有橢圓正弦形式的解，即

(14)

若P=-m2,Q=2m2-1，方程有橢圓余弦形式的解，即

(15)

若P=-1,Q=2-m3，方程有第三種橢圓函數(shù)形式的解

(16)

當(dāng)m→1時(shí)，上述解(14)(15)(16)可退化為雙曲函數(shù).其中u1可以退化為雙曲正切函數(shù)

(17)

u2,u3都可以退化為雙曲正割函數(shù).

(18)

選取參數(shù)γ(t)為控制函數(shù)可得到需要的特定形式的孤立波解.例如，雙曲正切函數(shù)解u4若選取γ(t)=sint，可得到扭型孤立波

(19)

取A1=1,L=6,k=1時(shí)，u41的波形如圖1所示.

圖1 扭型孤立波解

如選取γ(t)=-t-2時(shí)，u4可得到奇異形孤子

(20)

取A1=1,L=6,k=1時(shí)，u42的波形如圖2所示.

圖2 奇異形孤子解

圖3 W型孤立波

若選取γ(t)=-cost，可得到W型孤立波

(21)

取A1=1,L=6,k=1時(shí)，可得u43的波形如圖3所示.

同理，參數(shù)γ(t)選取不同形式時(shí)，u5可得到M型孤立波，緊孤子解和反扭型孤子解等形式精確解.

情形二：P3≠0.

?th=?tfx-Qγ(t)f3(t).

(22)

(23)

方程的精確解可表示為

(24)

由方程(7)的行波解的形式，可以得到此時(shí)方程有下列幾種形式的解：

若Q=m2>0，方程具有下列形式的解

(25)

若P=m2,P3=3m>0,Q=-m2，

(26)

若P=-m2<0,Q=0，

(27)

若Q=0，

(28)

當(dāng)參數(shù)γ(x)選取不同形式時(shí)，由式(25)(26)(27)可以得到方程(1)許多新的精確解.

4 結(jié)論

本文在擬設(shè)法和齊次平衡法基礎(chǔ)上，將F展開(kāi)法做了推廣，使其形式更加簡(jiǎn)潔，適應(yīng)性更強(qiáng)，并成功求出了變系數(shù)組合KdV方程的一些精確解，分析了選取不同形式控制參數(shù)γ(x)，可得到不同形式的解，如W型孤立波、緊孤子解和扭型孤子解等.如何將該方法進(jìn)一步完善并推廣到高次非線性耦合方程的求解有待進(jìn)一步研究.

[1]Y C Hon,E G Fan.Soliton solutions and doubly periodic wave solutions for a new generalized coupled Hirota-Satsuma KdV system[J].Applied Mathematics and Computation,2003,146(2):813-827.

[2]盧殿臣,洪寶劍,田立新.帶強(qiáng)迫項(xiàng)變系數(shù)組合KdV方程的顯式精確解[J].物理學(xué)報(bào),2006,55(11):5617-5622.

[3]王慶.形變映射法及在一類(lèi)MKdV方程中的求解應(yīng)用研究[J].貴州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,29(4):8-11.

[4]婁威偉.用反散射方法求解——類(lèi)非自治非線性Schrodinger方程[D].蘭州:蘭州大學(xué),2011.

[5]曹生讓,盧殿臣.(2+1)維BBM方程的一類(lèi)新的精確解[J].科學(xué)技術(shù)與工程,2007,7(20):5316-5318.

[6]雍雪林,張鴻慶.推廣的投影Riccati方程法及其應(yīng)用[J].物理學(xué)報(bào),2005,54(6):2514-2519.

[7]張秋爽.擴(kuò)展F-函數(shù)展開(kāi)法與一些非線性偏微分方程精確解的研究[D].廣州:廣州大學(xué),2010.

ExactSolutionsofCombinedKdVEquationWithVariableCoefficientsControlledbyParameters

CAO Sheng-rang

(Nanjing Branch of Jiangsu Union Technical Institute, Nanjing Jiangsu 210019, China)

The variable coefficient combined KdV equation is reduced into ordinary differential equation through the postulation introducing a function. Based on the homogeneous balance method and the extension of the F expansion method, new exact solutions are obtained, which include control parameters. At the same time, the variation of the exact solutions with different control parameters is studied.

Variable coefficient combined KdV equation; homogeneous balance method; F expansion method; exact solution

O175.2

A

2095-7602(2017)12-0001-05

2017-06-19

曹生讓(1982- )，男，講師，碩士，從事微分方程精確解與多目標(biāo)優(yōu)化算法研究。