嵌套陣列最大似然估計測向算法

2017-12-20 11:13:24陳璐畢大平崔瑞韓佳輝

航空學報 2017年11期

關鍵詞：信號

陳璐，畢大平，崔瑞，韓佳輝

1.電子工程學院，合肥 230037 2.安徽省電子制約技術重點實驗室，合肥 230037

嵌套陣列最大似然估計測向算法

陳璐1,*，畢大平1, 2，崔瑞1，韓佳輝1

1.電子工程學院，合肥 230037 2.安徽省電子制約技術重點實驗室，合肥 230037

針對在輻射源個數(shù)未知的條件下嵌套陣列難以估計多個輻射源角度的問題，提出了基于最大似然估計(MLE)的嵌套陣列角度估計算法。算法在嵌套陣列模型的基礎上，首先通過推導陣列截獲多輻射源信號的最大似然函數(shù)及其梯度，利用最速下降法估計出空域中所有潛在輻射源的角度；然后，通過多元假設檢驗，利用最大似然比與門限進行比較，確定出空域中所有潛在輻射源中某一時刻發(fā)射信號的活躍輻射源角度，排除其余噪聲形成的虛假輻射源角度，解決了在輻射源個數(shù)未知條件下嵌套陣列對多個輻射源角度估計問題。仿真結果表明：與傳統(tǒng)多重信號分類(MUSIC)算法相比，該算法在輻射源數(shù)目未知、存在相干信號、低信噪比(SNR)、低快拍數(shù)條件下，均具有較好的角度估計精度，并且算法形成的虛擬陣列自由度是空間平滑MUSIC算法的2倍；多元假設檢驗法比傳統(tǒng)信源數(shù)目估計算法在低信噪比條件下和處理相干信號方面具有明顯優(yōu)勢。

嵌套陣列；最大似然估計；角度估計；多元假設檢驗；信源數(shù)目

多輻射源角度估計一直是電子對抗領域研究的重難點問題，傳統(tǒng)的角度估計方法主要基于均勻線性陣列提出的，均勻線陣(Uniform Linear Array，ULA)具有結構簡單、測向誤差小、分辨率高等優(yōu)點[1]，但由于空間采樣Nyquist定理的限制，均勻線陣陣列間隔必需小于接收信號半波長,使得均勻陣列陣元間距較小，存在通道間串擾的問題，并且均勻線陣的測向自由度受陣元個數(shù)的限制[2]，導致均勻線陣很難同時對空域中數(shù)目多于陣元數(shù)量的輻射源角度進行估計，為解決這一問題Moffet提出了最小冗余陣列理論[3]，通過研究發(fā)現(xiàn)，在陣元個數(shù)相同時，利用非均勻陣列的布局形式能夠有效提高自由度和測向分辨率。不同的非均勻陣列布局的形式能夠適用不同的性能要求，提高了測向設備的靈活性[4-6]。

為進一步提高非均勻陣列的自由度，文獻[7-8]在最小冗余陣的基礎上，通過構造增廣協(xié)方差矩陣，能夠使原有的最小冗余陣自由度進一步提高。但是有限采樣的增廣協(xié)方差矩陣不是半正定的，因此不滿足協(xié)方差矩陣的要求。文獻[9-10]通過設計算法將增廣協(xié)方差矩陣轉化為正定的Toeplitz矩陣，然而算法的復雜度較高，影響了其在具體問題中的應用。文獻[11]通過引入Khatri-Rao積運算對接收信號進行處理，將N個陣元的均勻陣列的自由度提高到了2N-1,但是這種方法要求信號為偽平穩(wěn)信號，不能應用于平穩(wěn)信號。在此基礎上，文獻[12]提出差分共陣的概念，通過對多級嵌套陣接收的信號進行Khatri-Rao積變換，構成自由度極高的虛擬陣列，在陣元數(shù)相同的前提下，差分共陣顯著提高了傳統(tǒng)均勻線陣的測向能力。然而文章中采用的測向算法為空間平滑多重信號分類(MUSIC)算法，空間平滑MUSIC算法使虛擬陣列的自由度損失了一半，同時對相干信號角度估計的效果較差[13-14]。

在文獻[12]的基礎上，為進一步提高陣列自由度，本文嘗試通過最大似然算法進行多輻射源角度估計。無論是MUSIC算法還是最大似然估計算法，使用的前提條件是已知輻射源數(shù)目[15-16]，在實際對非合作輻射源的處理中很難滿足這一條件。文獻[17]利用Manikas提出的自適應信號參數(shù)估計和分類(Adaptive Signals Parameter Estimation and Classification, ASPECT)算法[18]，通過消除Pisarenko算法諧波分解過程中產(chǎn)生的偽峰，估計出信號角度信息的同時，判斷出輻射源數(shù)目。該方法能夠在輻射源數(shù)目未知的前提下估計角度信息，但是算法要求信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)較高且無法對相干信號進行處理。文獻[19]在新的Capon波束形成優(yōu)化框架下，提出了MUSIC-like算法，該算法能夠在信源數(shù)目未知的前提下對角度信息進行估計，但算法要求在每個方向上進行掃描都要計算廣義特征值，導致算法計算量較大，并且無法處理相干信號。本文在嵌套陣列框架下，研究信源個數(shù)未知并存在相干信號條件下的多輻射源角度估計問題。傳統(tǒng)的最大似然估計算法多數(shù)采用交替投影進行求解，交替投影的前提是已知輻射源數(shù)目，因此，無法利用交替投影法求解。本文通過對嵌套陣列的最大似然函數(shù)進行求解，推導出了最大似然函數(shù)梯度的封閉表達式，利用最速下降法對空域中所有潛在輻射源角度信息進行估計，然后利用多元假設檢驗的方法找出所有潛在輻射源中某一時刻的活躍輻射源，排除噪聲形成的虛假輻射源，從而實現(xiàn)在輻射源數(shù)目未知條件下利用嵌套陣列對空域中多個活躍輻射源進行同時測向，并且形成的虛擬陣列是文獻[12]的虛擬陣列自由度的2倍。仿真表明本文提出的方法能夠在低信噪比條件下實現(xiàn)對相干信號多輻射源測向，且性能優(yōu)于傳統(tǒng)測向算法。

1 嵌套陣列模型

(1)

式中:Sin為第i級第n個陣元位置。其陣列自由度為可表示為

(2)

表明嵌套陣列能夠有效提高陣列識別信號源的數(shù)量。

圖1 嵌套陣列結構圖Fig.1 Structure of nested array

2 多輻射源信號模型

假設空域中存在K個相互獨立的潛在輻射源從θ=[θ1,θ2,…，θK]個方向(θ為入射信號與陣列法線的夾角，如圖1)，某一時刻t,有K0(K0≤K)個輻射源向M級嵌套陣元發(fā)射信號，這K0個輻射源被稱為這一時刻的活躍輻射源，且數(shù)目未知，其他K-K0個輻射源被稱為這一時刻的非活躍輻射源。

由于t時刻活躍輻射源數(shù)目未知，將K個潛在輻射源均視為活躍輻射源，則陣列輸出為[23]

x(t)=A(θ)s(t)+n(t)

(3)

由于信號源之間相互獨立，信號源s(t)的協(xié)方差矩陣為Rss=diag{ρ1,ρ2,…,ρK},其中ρk為第k個信號源的功率。則接收信號x(t)的協(xié)方差矩陣為

Rxx=E{x(t)xH(t)}=

A(θ)E{s(t)sH(t)}AH(θ)+E{n(t)nH(t)}=

(4)

向量化Rxx可得

(5)

(6)

(7)

新的虛擬陣列能夠有效地擴展原有陣列的孔徑，提高陣列自由度。p=[ρ1,ρ2，…，ρK]T，是由輻射源信號功率組成的矢量，將其作為虛擬陣列的輸入信號矢量，可以視為K個全相干信號。對全相參信號進行角度估計，經(jīng)典MUSIC算法無法實現(xiàn)，空間平滑MUSIC算法會使虛擬陣列自由損失一半[12]，最大似然估計算法是解決這一問題的常用方法。交替投影法常被用來求解最大似然函數(shù)角度估計問題，但隱含條件為已知輻射源個數(shù)，在輻射源個數(shù)未知條件下，該方法無法求解最大似然函數(shù)角度估計(Maximum Likelihood Estimation, MLE)問題。

3 最速下降法最大似然函數(shù)角度估計

將空域中所有潛在K個輻射源作為測向目標，推導虛擬陣列的最大似然函數(shù)和梯度。

(8)

則由虛擬陣元組成的新陣列接收的數(shù)據(jù)矢量滿足概率密度函數(shù)

(9)

(10)

(11)

對式(11)取對數(shù)得

(12)

(13)

(14)

式中：均值和方差滿足(詳細推導見附錄A)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

將均值和方差代入式(12)，可以變?yōu)?/p>

(20)

根據(jù)Sylvester恒等行列式，可得

(21)

根據(jù)Woodbury定理，可得

(22)

將式(21)和式(22)代入式(20)，可化簡為

(23)

忽略常量因子可得

(24)

因此，對多個輻射源角度估計值為

(25)

利用最速下降法對式(25)進行求解可得

(26)

(27)

文獻[12]中采用前向空間平滑MUSIC算法，要求平滑的子陣列陣元數(shù)要大于信號數(shù)目，文章中的平滑子陣列陣元數(shù)為Ω/2,因此最多估計Ω/2個信號源方向，導致僅利用了虛擬陣列自由度的一半。通過式(26)可以得到K個輻射源角度，最大似然估計方法能夠估計Ω個方向輻射源角度。根據(jù)最速下降法在K個方向上求得K個角度，其中僅包含K0個活躍輻射源，其他K-K0個角度為噪聲形成的虛假角度，下面通過多元假設檢驗的方法找出K0個活躍輻射源角度。

4 信源數(shù)目估計

傳統(tǒng)的最大似然估計測向方法需要首先通過信息論、蓋氏圓、矩陣分解等方法確定信號源數(shù)目，然后利用交替投影等方法估計信號源角度，本文提出的多元假設檢驗算法可以有效避免信號源數(shù)目估計這一繁瑣運算，通過下面的方法直接估計出活躍信號源角度。

假設空域中存在K個信號源，K值的大小由先驗信息獲得，為空域中所有可能輻射源數(shù)目之和，嵌套陣列在某一時刻接收到K0(K0≤K)個信號源輻射的信號，這K0個信號源被稱為這一時刻的活躍信號源，K0的數(shù)目未知，嵌套陣列接收的數(shù)據(jù)構成的最大似然估計函數(shù)的值由這K0個活躍信號源決定，與其他K-K0個緘默信號源無關。文獻[24]推導了傳統(tǒng)最大似然函數(shù)的上界滿足：

(28)

(29)

利用上文提出的嵌套陣列最大似然角度估計算法，估計出K個信號源的角度。這K個信號源的角度中只有K0個真實角度，其他均為虛假角度。根據(jù)最大似然估計的性質(zhì)，真實角度對最大似然函數(shù)的值存在影響，虛假角度不影響最大似然函數(shù)的值，通過計算K個信號源角度分別對最大似然估計函數(shù)的影響度，影響度低的角度為虛假角度，這樣能夠找出K-K0個虛假角度。

(30)

空域中K個信號源信號都被嵌套陣列接收時，記為H0,除了θi之外，空域中其他K-1個信號源信號都被嵌套陣列接收時，記為Hi,利用對數(shù)似然比檢驗的方法進行判決：

(31)

(32)

(33)

對數(shù)似然比R為

(34)

利用似然比與門限之間的關系，確定檢測的角度是否為真實角度。通過多元假設檢驗的方法可以在前期最速下降法估計的K個角度中確定K0個活躍輻射源的真實角度。

5 仿真分析

假設存在由6個陣元組成的均勻線陣，陣元間距為d,分別用MUSIC算法和MLE算法對5個窄帶輻射源方位進行估計，輻射源角度分別為：10°、30°、40°、60°和80°，在信噪比為0 dB,已知信源個數(shù)條件下，得到圖2(a)和圖2(b)。

假設存在6個陣元組成二級嵌套陣列，陣元間距分別為d、d、d、3d和3d,直接利用接收數(shù)據(jù)通過MUSIC算法和MLE算法對5個窄帶輻射源方位進行估計，輻射源角度分別為：10°、30°、40°、60°和80°，在信噪比為0 dB,已知信源個數(shù)條件下，得到圖2(c)和圖2(d)。

從圖2(a)和圖2(b)中可以看出，當輻射源數(shù)目達到均勻線陣測向自由度時， MUSIC和MLE兩種測向算法存在目標角度丟失、測向誤差大的缺點。從圖2(c)和圖2(d)中可以看出，直接利用接收數(shù)據(jù)進行測向，MUSIC算法測向精度較高，但存在虛假角度；MLE算法無虛假角度出現(xiàn)，但是算法測向精度不高。通過前后的對比實驗可知，嵌套陣列的布局方式增大了陣列孔徑，但是常規(guī)的測向方法不能得到較好的測向結果。

圖2 兩種陣列常規(guī)MUSIC和MLE算法測向結果Fig.2 Direction finding results of conventional MUSIC and MLE algorithms based on two arrays

已知信源個數(shù)條件下，利用第2部分的嵌套陣列信號處理模型，對二級嵌套陣列接收數(shù)據(jù)進行預處理之后，利用空間平滑MUSIC(Spatial Smoothing-MUSIC, SS-MUSIC)和MLE算法對10個輻射源進行測向，輻射源角度分別為-70°、-60°、-40°、-30°、-10°、10°、30°、40°、60°和70°。實驗初始值采用等間隔初值，在-90°～90°等間隔取10個值。信噪比相同，仿真得到圖3(a)和圖3(b)。在存在4個相干輻射源條件下，其他條件不變，仿真得到圖3(c)和圖3(d)。

從圖3(a)和圖3(b)可以看出，通過本文第2節(jié)的信號模型處理之后，嵌套陣列具有擴大陣列孔徑的效果，并且SS-MUSIC和MLE算法都有較高的測向精度和準確度。由于SS-MUSIC計算協(xié)方差時僅用到虛擬陣列一半的陣元，所以導致算法自由度損失了一半，而MLE算法利用的是全部虛擬陣元，因此自由度是前者的2倍。從圖3(c)和圖3(d)可以看出，和均勻陣列一樣，在嵌套陣列測向中，MUSIC算法難以處理相干信號，而相干信號對MLE算法測向結果無影響。

在已知信源個數(shù)條件下，當不存在相干信號時，以6陣元二級嵌套陣為陣列模型，分別用SS-MUSIC和MLE算法在不同信噪比SNR和不同快拍數(shù)條件下，對K=10個信號，進行N=500次蒙特卡羅實驗，利用式(35)計算均方誤差，得到圖4。

圖3 數(shù)據(jù)預處理后嵌套陣列兩種算法測向結果Fig.3 Direction finding results of two algorithms based on nested arrays after data preprocessing

圖4 兩種算法測向性能比較Fig.4 Comparison of two algorithms for direction finding

(35)

從圖4(a)可以看出，當信噪比SNR>0 dB時，SS-MUSIC和MLE兩種算法的測向精度基本相同，誤差均小于0.2°,說明嵌套陣列下兩種測向算法均具有較高的測向精度。當信噪比SNR<0 dB時，兩種測向算法的角度估計精度有明顯下降，但是MLE算法的測向精度要高于MUSIC算法，因為，MUSIC算法在信噪比較低時，會有部分噪聲子空間泄漏到信號子空間，導致測向精度下降，所以MUSIC算法對噪聲的敏感度要比MLE算法高。從圖4(b)可以看出，當快拍數(shù)大于300時，MLE算法和MUSIC算法測向精度均較高，當快拍數(shù)小于300時，MLE算法的測向精度略高于MUSIC算法。

在輻射源個數(shù)未知的前提下，利用本文中的多元假設檢驗進行目標個數(shù)的估計。假設空域中共有10個潛在輻射源，角度分別為-70°、-60°、-40°、-30°、-10°、10°、30°、40°、60°和70°,在某一時刻發(fā)射信號的活躍輻射源為-10°、10°、40°和70°,利用本文中的多元假設檢驗的方法進行仿真，得到圖5(a)和圖5(b)。

圖5 多元假設檢驗Fig.5 Multiple hypothesis testing

對不同信源數(shù)目估計方法進行仿真分析。在不同信噪比條件下，存在5個角度分別為10°、30°、40°、60°和80°的信源，假設信源數(shù)目未知，分別采用本文提出的多元假設檢驗(Multiple Hypothesis Test, MUL TEST)、蓋氏圓估計(Gerschgorin Disk Estimation, GDE)、最小描述長度(Minimum Description Length, MDL)準則和基于Akaike信息論準則(Akaike Information Criteria, AIC) 4種算法對信源數(shù)目進行估計，當不存在相干信號源時，得到圖6(a)，當存在相干信號源時，得到圖6(b)。

圖6(a)可以看出，在信噪比SNR<-15 dB條件下，前述的4種信源估計算法的估計正確概率均小于0.3，但是，多元假設檢驗估計方法正確率略高于其他3種算法。當信噪比-15 dB≤SNR≤-9 dB時，隨著信噪比的增加，多元假設檢驗估計方法和MDL算法信源估計正確率均迅速提高，并且多元假設檢驗估計方法正確率高于后者，其他兩種方法的正確率仍然小于0.3。當信噪比SNR>-9 dB時，隨著信噪比的增加，多元假設檢驗估計方法和MDL算法信源估計正確率分別達到0.93和0.97，GDE算法和AIC算法迅速提高到0.97左右，并且隨著信噪比不斷增加，正確率不再繼續(xù)提高。通過分析可知，在信噪比較低時，多元假設檢驗方法明顯優(yōu)于其他3種信源估計算法，在信噪比較高時，多元假設檢驗方法略遜于其他3種算法，但正確率仍達到了0.93以上。

圖6(b)可以看出，在存在相干信源的條件下，GDE、MDL和AIC算法隨著信噪比的增加，信源估計正確率均無提高，均小于0.2。由于多元假設檢驗采用最大似然估計的思想，因此信源估計正確率沒有受到相干信源的影響，在信噪比SNR>-9 dB時，正確率仍然達到了0.93左右，說明在存在相干信源時，多元假設檢驗明顯優(yōu)于其他3種信源估計算法。

圖6 4種信源數(shù)目估計算法比較Fig.6 Comparison of four algorithms for source number estimation

6 結論

1) 本文提出了在輻射源個數(shù)未知的條件下嵌套陣列多輻射源角度估計算法，在嵌套陣列接收信號模型的基礎上，推導了嵌套陣列多輻射源信號的最大似然函數(shù)及其梯度，利用最速下降法同時估計多個輻射源方位。

2) 針對輻射個數(shù)未知的問題，本文提出了基于最大似然比的多元假設檢驗信源數(shù)目估計算法，仿真實驗表明，多元假設檢驗信源估計方法在低信噪比、相干信號處理算法方面均優(yōu)于傳統(tǒng)的3種信源估計算法。

3) 嵌套陣列極大提高了相同陣元數(shù)目條件下均勻陣列的測向自由度，嵌套陣列最大似然估計算法在低信噪比、低快拍數(shù)、相干信號處理方面均優(yōu)于嵌套陣列MUSIC算法。

本文僅涉及窄帶信號測向方面的問題，如何將算法推廣到寬帶信號測向方面是下一步研究的重點。

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DOAestimationalgorithmbasedonmaximumlikelihoodestimationfornestedarray

CHENLu1,*,BIDaping1,2,CUIRui1,HANJiahui1

1.ElectronicEngineeringInstitute,Hefei230037,China2.KeyLaboratoryofElectronicRestriction,Hefei230037,China

Toestimatetheanglesofmultipleradiationsourceswithunknownnumbersofsignals,thispaperpresentsanalgorithmforangleestimationofthenestedarraybasedonMaximumLikelihoodEstimation(MLE).Basedonthenestedarraymodel,themaximumlikelihoodfunctionanditsgradientofthemultiplesignalsinterceptedbythenestedarrayarederived.Theanglesofallradiationsourcesintheairspaceareestimatedbythesteepestdescentmethod.Usingthemethodofmultiplehypothesistesting,themaximumlikelihoodratioandthethresholdarecomparedtodeterminetheactiveradiationsourceangleofthetransmittedsignalatacertaintimeandexcludefalsesourceangles.TheproblemofDOAestimationofmultipleradiationsourceswithunknownnumberofsignalsbythenestedarrayisthussolved.Thesimulationresultsshowthatundertheconditionsofunknownnumberoftheradiationsource,existingcoherentsignal,lowSignaltoNoiseRatio(SNR),andlowsamplingnumber,theproposedalgorithmhasbetterperformanceinangleestimationthantraditionalMUltipleSIgnalClassification(MUSIC)algorithm.ThemethodofmultiplehypothesistestinghasmoreadvantagesthantraditionalsourcenumberestimationalgorithmsundertheconditionoflowSNRandintheprocessingofcoherentsignals.

nestedarray;MaximumLikelihoodEstimation(MLE);angleestimation;multiplehypothesistesting;numberofsignals

2017-03-02；Revised2017-05-15；Accepted2017-06-22；Publishedonline2017-06-291322

URL：http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171125.html

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10.7527/S1000-6893.2017.321212

V219；TN971.1

1000-6893(2017)11-321212-12

2017-03-02；退修日期2017-05-15；錄用日期2017-06-22；< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡出版時間

時間：2017-06-291322

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國家自然科學基金(61671453)；安徽省自然科學基金 (1608085MF123)

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陳璐，畢大平，崔瑞，等．嵌套陣列最大似然估計測向算法J．航空學報,2017,38(11):321212.CHENL,BIDP,CUIR,etal.DOAestimationalgorithmbasedonmaximumlikelihoodestimationfornestedarrayJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(11):321212.

(責任編輯：蘇磊)

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