基于殘差補償灰色馬爾科夫模型的校準間隔預測方法*

紀伊琳，錢政

（北京航空航天大學儀器科學與光電工程學院，北京100191）

0 引 言

測量儀器受各種外界環境因素和內部元器件老化的影響，準確度會隨著儀器使用時間的延長而逐漸降低，經過一段時間就會降低到難以滿足預期使用要求的程度。為確保儀器的準確度符合使用的要求，通常要求按照國家標準中規定的時間間隔對測量儀器進行校準。連續兩次校準的時間間隔定義為校準間隔。通過對電子儀器計量校準情況的調查，我們發現幾乎所有的電子儀器校準間隔均為一年。實際上，部分電子儀器使用頻率低、環境良好，且連續多年校準結果均未超差，該部分儀器的校準間隔完全可以適當延長；而部分電子測量儀器由于使用環境惡劣，且工作時間長、頻率高，其量值特性參數變化較大，容易出現超差情況，相應地校準間隔應該有所縮短。因此，將校準間隔統一規定為某一固定值并不合理。無論是校準間隔過短或者過長，都會帶來諸多問題。校準間隔選取過短，將導致儀器使用成本的上升，并降低儀器的使用效率；校準間隔選取過長，儀器在超出允許誤差限的情況下使用的風險將會加大［1］。因此，根據儀器的歷史數據和實際使用情況來進行校準間隔的預測，能夠很大程度地避免上述問題，具有重要的工程應用前景。

國際和國家標準均提出應根據儀器的自身特征、性能要求和使用情況來確定其校準周期［2-3］，以提高校準工作的效率。由于實際情況存在巨大的差異，文件中并未明確規定校準間隔確定的詳細步驟，僅給出幾個備選的方法，因此如何確定校準間隔仍有待進一步的研究［4-5］。確定校準間隔的方法，通常是通過對歷史數據建模（包括統計模型和非統計模型），推斷數據未來的發展變化趨勢，判斷其是否落在合格區間內，進而得到校準間隔的預測值。其中，統計模型的建立要求掌握與待校準儀器同一型號的多臺設備的歷史校準數據，并且只在儀器可靠性的變化符合指定模型的時候才能得到比較準確的校準結果。然而，實際的校準數據（尤其在校準初期）很難滿足上述的條件［6］，通常只能獲得少數同型號儀器在某些年份的歷史數據。文獻［7］采用灰色GM（1，1）模型對歷史校準數據進行處理和建模，從而預測出測量設備失效和需要校準的時間，實現對其質量的管理和控制。然而，一旦校準數據出現較大的波動性，GM（1，1）模型的預測準確度就會下降，表現為預測結果的殘差較大。

鑒于灰色理論以具有“小樣本”、“貧信息”特點的不確定性系統為研究對象［8］，本文采用灰色GM（1，1）模型預測校準數據的總體發展趨勢，求得真實值與預測值之間的殘差，繼而采用馬爾科夫狀態轉移矩陣預測殘差在總體趨勢下的未來狀態變化，從而建立基于殘差補償的灰色馬爾科夫預測模型，給出了校準間隔預測的具體步驟，使方法的有效性得到實例驗證。

1 建模思想

測量設備的校準數據是多種因素共同作用的結果，其中某些因素起到主導作用，另一部分因素對結果產生不穩定的影響。因此，可以把測量設備的歷史校準數據序列分成具有確定性的趨勢項和具有波動性的隨機項［9］。其中，趨勢項表征了設備本身固有的特性和使用條件等因素導致的穩定、長期的發展態勢；隨機項則表征了導致數據偏離穩定發展趨勢的各種隨機擾動。兩者性質不同，故本文采用不同的方法進行建模和預測，以求可以達到較高的準確度。

測量設備的校準周期比較長，通常以年為單位，因此導致了校準數據量非常有限，對數據量要求較大的算法，如神經網絡等，并不適用于這種情況。而灰色系統理論恰好適用于小樣本的研究對象，因此本文采用GM（1，1）模型對歷史校準數據進行預測，得到其總體發展趨勢。受各種隨機因素的影響，GM（1，1）模型的預測值會出現一定程度的偏差。本文求出GM（1，1）模型擬合原始數據的殘差，通過馬爾科夫預測模型對殘差進行合理的狀態劃分，用狀態轉移矩陣預測狀態的發展變化，能夠彌補灰色模型的不足，以較高的準確度獲得隨機項的預測結果。兩者結合可以優勢互補（如圖1所示），實現對電子設備校準間隔的科學預測，從而起到輔助決策的作用。

圖1 灰色馬爾科夫預測模型Fig.1 Grey-Markov prediction model

2 殘差補償灰色馬爾科夫預測模型

2.1 灰色 GM（1，1）模型建模

殘差補償灰色馬爾科夫預測模型的建立先要依據灰色理論，對校準數據進行建模。灰色GM（1，1）預測模型的建模機理如下所述［10］。

假定包含n個采樣數據的原始數據序列為：

經過一次累加生成后數據序列變成：

稱 x（0）（k）+ax（1）（k）=b為 GM（1，1）模型的原始形式。其中 a是發展系數，a，b是微分方程的參數。

對參數a，b的估計如下：

對 X（1）作緊鄰域生成，得到：

依據灰色理論建立一階微分方程：

該方程的解即為X（1）的預測值。

對式（7）做累減生成，可得到還原值：

這樣，我們就得到了歷史數據的灰色預測模型。不可避免地，歷史數據中包含的隨機因素（如環境因素）也被加入到模型中，進而對灰色預測模型的準確性造成了負面影響。

比較灰色預測模型的預測數據與真實的歷史數據，可以看到預測數據具有發展平穩的特點，而歷史數據則具有較明顯的波動特征。由于隨機因素的影響就是使校準數據呈現出波動性的特征，因此，可以將預測數據與歷史數據之間的殘差作為隨機項的表征，用馬爾科夫對殘差進行狀態劃分和預測，進而彌補灰色預測模型的不足。

2.2 殘差的馬爾科夫狀態預測

殘差即校準數據中的隨機項，定義為真實值與預測值的差值，是符合馬爾科夫鏈特點的非平穩隨機序列，表征了校準數據中隨機因素的影響，因此可以依據馬爾科夫理論進行狀態劃分和狀態預測。

在馬爾科夫模型的建立中，如何對數據進行狀態的劃分是一個難點，對模型的預測效果有很大的影響。狀態的劃分包括狀態數量和狀態區間上下限的確定，如果狀態劃分不合理，將嚴重影響預測結果的準確度，難以得到可靠的預測值。現有的狀態劃分往往是依據數據的分布情況人為確定的。為了科學合理地劃分不同的狀態，本文采用了如下的步驟。

根據馬爾科夫模型，數據序列由狀態Ei，經過k步轉移之后到狀態Ej的概率稱為k步轉移概率pij（k）。當 k=1，就是一步狀態轉移概率 pij。假設根據樣本資料可知狀態Ei出現的次數為mi，由狀態Ei轉移到狀態 Ej的次數為 mij，則一步狀態轉移概率為：

如果把系統所有的一步狀態轉移概率構造成一個矩陣，那么這個矩陣就叫做一步轉移概率矩陣。表達式如下：

前文根據測量儀器校準數據的特點，將數據劃分為四個狀態，因此，一步轉移概率矩陣應為四階方陣。由于已經確定了殘差序列中各個元素對應的狀態，統計序列中ε（0）各個狀態轉移的具體頻數，用式（10）計算狀態轉移概率，可得一步狀態轉移矩陣P：

假設初始狀態向量s0，根據馬爾科夫預測模型，s1=s0P，s2=s0P2，…，sn=s0Pn，可以得到預測狀態向量。根據預測狀態向量中的最大值，判斷殘差轉移后最有可能的狀態Ei，隨機項預測結果最可能為狀態Ei對應區間的中位數：

式中Ciup為狀態Ei對應區間的上限；Cidown為區間的下限。

2.3 殘差補償灰色馬爾科夫預測模型

以上完成了模型的趨勢項和隨機項的估計，計算兩者的代數和，則最終的估計結果為：

隨著時間的推移，影響系統的隨機因素可能發生改變，因此，依據歷史數據建立的預測模型只對緊隨其后的幾個數據有較高的預測準確度。實際應用中，可以考慮舍棄距離當前時刻較遠的歷史數據，并將新信息加入模型進行預測，以獲得較準確的預測結果。

3 仿真實驗與結果分析

在某電子測量設備校準間隔確定方法研究項目中，為了確定科學合理的校準間隔，項目對美國某公司的型號為Fluke45的數字萬用表進行了長期監測，得到了能反映測量設備性能的關鍵參數的校準值。本文對這部分數據進行研究，通過對歷史數據建立模型來預測其后續的發展變化是否超出合格范圍的上下限，進而判斷未來的一段時間內校準間隔是否需要進行調整。這部分數據如表1所示。

表1 Fluke45的歷史校準數據Tab.1 Historical calibration data of Fluke45

給定10 V電壓作為標準值校準數字萬用表，根據數字萬用表的校準規程，如果作為關鍵參數的電壓校準值落在區間［9.98，10.02］內，則表示校準結果合格。將數字萬用表Fluke45的校準值作為原始數據序列，分別用灰色GM（1，1）模型和殘差補償灰色馬爾科夫模型對數據進行處理，得到的結果如圖2和圖3所示。

圖2 灰色GM（1，1）模型的預測結果Fig.2 Prediction results of GM（1，1）model

從圖2中可以看出，灰色GM（1，1）模型很好地跟隨了關鍵參數的發展趨勢。比較灰色預測模型的預測數據與真實的歷史數據，可以看到預測數據具有發展平穩的特點，而歷史數據則具有較明顯的波動特征。由于隨機因素的影響正是使校準數據呈現出波動性的特征，可以得知現有的灰色預測模型仍不能體現出隨機因素對校準數據的影響。

圖3 殘差補償灰色馬爾科夫模型的預測結果Fig.3 Prediction results of residual compensation Grey-Markovmodel

因此，可以將預測數據與歷史數據之間的殘差作為隨機項的表征，用馬爾科夫對殘差進行狀態劃分和預測，進而彌補灰色預測模型的不足。圖3給出了殘差補償灰色馬爾科夫預測模型的預測結果，預測結果的前八個點沒有引入馬爾科夫預測模型的修正，其結果與圖2相同；隨后四個點引入了馬爾科夫預測模型對殘差的狀態進行預測，進而修正原有的預測值。

表2給出了2011年～2014年兩個模型預測結果的相對誤差，其中，模型1和模型2分別是灰色GM（1，1）模型和殘差補償灰色馬爾科夫預測模型。對比兩個模型的相對誤差，可以看出，加入殘差補償的模型具有更高的預測精度，相對誤差明顯小于單純的灰色 GM（1，1）模型。

表2 灰色GM（1，1）模型與殘差補償灰色馬爾科夫模型預測結果對比Tab.2 Comparison of prediction results of GM（1，1）model and residual compensation Grey-Markov model

因此，可以得出以下結論：修正后的模型可以反映隨機波動項的變化，其擬合值更接近真實的校準結果，相比灰色GM（1，1）模型具有更高的準確度。建立殘差補償灰色馬爾科夫預測模型對校準值進行預測，可以看出數字萬用表的電壓校準值在未來兩年不會超出合格區間［9.98，10.02］，因此，這段時間內可以不對數字萬用表進行校準，校準間隔可以適當延長。

在校準數據較少的情況下，殘差灰色馬爾科夫預測模型除了預測數據總體的走向，還體現了殘差隨機變化的過程，灰色預測與馬爾科夫預測的結合很好地反映了測量儀器關鍵參數的發展過程，適于校準間隔的預測與優化。

4 結束語

文章基于灰色預測和馬爾科夫預測的各自優勢，采用灰色GM（1，1）模型預測校準數據的總體趨勢，求得殘差后利用馬爾科夫模型分析殘差的狀態轉移過程，將隨機因素的影響加入預測模型中，使得模型在數據受到波動性較大的隨機因素影響的情況下仍有較好的預測能力，提高了模型的預測準確度。

實際校準數據表明，殘差補償灰色馬爾科夫模型可以有效預測測量儀器關鍵參數隨時間的發展和變化，實現校準間隔的預測，有效地避免校準間隔選取不合理的問題，提高校準工作的效率。