交流電弧爐供電網波動電壓超短期混沌預測方法*

王育飛，孫路，張劍云，薛花

（1.上海電力學院電氣工程學院，上海200090；2.國網義烏供電公司工程管理部，浙江義烏322000）

0 引 言

交流電弧爐作為電力系統中典型的沖擊性負荷，對供電網的電能質量具有重大影響，其中電壓波動問題最為顯著、也最難以克服［1］。國內外對電弧爐引起的供電網電壓波動問題進行了大量的研究，主要集中在電弧爐模型的建立［2-3］和電壓波動的抑制兩個方面［4-8］。模型研究大多將電弧爐作為一個隨機負載，根據實際電弧的物理機理建立微分方程數學模型來模擬電壓波動。但由于電弧的變化具有高度非線性和強隨機性，建立精確、實用的電弧爐數學模型非常困難，而目前的研究也反映了這一點。電壓波動抑制措施研究主要通過在電弧爐供電網側加裝無功功率補償裝置來降低電壓波動的水平。目前工程上多采用SVC就近補償無功來抑制電壓波動，但SVC內部晶閘管的開通和關斷存在觸發延遲［9］，致使無功實際補償時刻與預補償時刻不一致，實時補償能力有限，電壓波動抑制效果很難得到進一步提高。

事實上，電弧爐系統是一個十分復雜的系統，供電網電壓波動受眾多因素影響，因此通過建立精確的電弧爐數學模型不太現實。而混沌理論可以對表面貌似隨機、無序的現象進行分析建模，已在各領域復雜對象的分析研究中得到了應用［10-14］。電弧弧長的變化雖然表現出隨機性，但電弧位于整個電弧爐系統的末端，這種隨機性未必能夠在系統首端即供電網側得到保持，因為同一供電網往往連接著其它負載，它們對供電網的電壓也存在一定的影響。因此可以利用混沌理論對電弧爐供電網波動電壓進行分析研究，同時利用該理論的預測功能對電壓進行預測，若能與SVC有效結合，將大大提高電壓波動的抑制效果。目前國內外利用混沌理論對電弧爐系統參數進行研究的文獻較少，且都局限于對靠近電弧爐末端的參數研究，未考慮供電網側參數的變化，而供電網電壓正是電力工作者極為關注的對象，它關系到電力系統的全局穩定性。

基于某煉鋼廠采集得到的電弧爐供電網電壓有效值時間序列，首先，通過相空間重構技術建立電壓時間序列的分析模型和計算時間序列最大Lyapunov指數，從定性和定量兩方面確定系統混沌特性；然后，分別采用最大Lyapunov指數預測法和加權一階局域預測法對電壓進行超短期預測并作對比分析。結果表明，兩種方法都能夠很好地預測系統的超短期變化趨勢，而加權一階局域預測法相較于最大Lyapunov指數預測法能在更寬的時間范圍內對電壓進行較準確的預測。通過混沌預測，提前掌握電弧爐供電網的超短期電壓變化情況，對于結合SVC有效提高電壓波動的抑制水平，保證供電網及電力系統的安全穩定具有重要的實際意義。

1 電弧爐供電網電壓的測量

選取某煉鋼廠交流電弧爐供電系統作為電壓檢測對象，如圖1所示。其中，T1為工廠用電配電變壓器，T2為電弧爐供電系統變壓器。通過安裝在變壓器T1二次側的電壓互感器測量33 kV母線上某相相電壓的有效值。電弧爐在熔化期電壓波動最為劇烈，因此電壓測量時間設置在熔化期。由于目前SVC的響應時間已達到毫秒級，理想狀態下為20 ms左右［15］，故設定電壓有效值采樣時間為Δt=0.02 s，即一個工頻周期。圖2是測量得到的電弧爐系統相電壓有效值時間序列數據，在60 s內共3 000個數據。

如圖2所示，相電壓有效值在基準值18.95 kV附近波動，波動幅值為100 V左右，各點波動幅值之間無明顯規律。相對于基 準值，電壓波動幅值不是很大，這是因為煉鋼廠已用SVC對無功作了補償，使得電壓波動程度大大下降了。但這100 V的波動對于同一供電網中的其它負載仍存在危害，因此進一步降低電壓波動仍十分必要。

圖1 交流電弧爐供電系統Fig.1 Power supply system of AC EAF

圖2 電壓有效值測量數據Fig.2 Measured data of voltage value

2 電壓時間序列混沌特性分析

2.1 相空間重構參數的確定

系統的相空間重構可以將表面看似復雜且毫無規律的時間序列從一維擴展到多維，恢復系統的混沌吸引子，以此提取系統內部蘊含的規律和豐富信息。將圖2所示的電壓有效值數據組成時間序列，記為 u（ti），i=1，2，…，N（N為序列長度），重構相空間如式（1）。

其中，τ=lΔt（l=1，2，…）為延遲時間；m為嵌入維數；U（k）（k=1，2，…，M）為延遲向量，亦即相空間中的點；M=N-（m-1）l為相點的個數。

互信息法從概率的角度對時間序列的延遲時間進行確定，實際計算時，考慮到延遲時間τ是采樣時間Δt的倍數，即τ=lΔt，取互信息函數為l的函數，并定義l為延遲量。基于互信息法確定系統電壓時間序列最佳延遲量確定如圖3所示。

圖3 電弧爐系統電壓時間序列互信息量曲線Fig.3 Mutual information curve of EAF voltage time series

電壓時間序列互信息量在開始階段隨著延遲量的增大迅速下降，在延遲量l=1時出現第一個局部極小值點，確定為系統的最優延遲量，最優延遲時間τ=0.02 s。

基于Cao氏法在偽最近鄰域法中閾值選擇上的優勢，采用Cao氏法確定電壓時間序列最優嵌入維數。基于互信息法確定的最優延遲量，引入E1（m）和E2（m）兩個變量作為最優嵌入維數選擇標準，當E2（m）不始終為1且E1（m）隨 m的增加達到飽和時，確定系統最優嵌入維數為m+1。采用Cao氏法確定電弧爐電壓時間序列最佳嵌入維數如圖4所示。

從圖4中可以看出，嵌入維數m從1增加到16，E2（m）的值始終在數值1附近波動，而E1（m）的值逐漸增大并趨向于1值而達到飽和。當嵌入維數增加到6維時，E1（m）的值增長速度變緩，達到飽和狀態。可確定電弧爐電壓時間序列最優嵌入維數m=7。

圖4 嵌入維數變化曲線Fig.4 Changing curve of embedding dimension variation

利用確定的m和l重構相空間，得到電弧爐電壓時間序列二維相圖如圖5所示。二維相圖曲線具有自相似軌跡，且呈現出雙渦卷結構，與Lorenz混沌吸引子圖對比分析，可定性判斷出電弧爐電壓時間序列具有混沌特性。由于測得的電壓時間序列數據中大量的噪聲信號影響，在一定程度上破壞了相空間軌跡中相鄰相點之間原有的相關性，使得相點的演化發生錯位。因此與平滑的Lorenz系統混沌吸引子軌跡相比，電壓時間序列相圖中系統空間軌跡呈現出許多的毛刺和凸起。

圖5 電壓時間序列二維相圖Fig.5 Two-dimension phase diagram of voltage time series

2.2 最大Lyapunov指數的提取

為了更加直觀的判斷電弧爐電壓時間序列的混沌特性，選取最大Lyapunov指數對系統特性進行定量判斷。采用小數據量法求取指數值如圖6所示。

圖6 計算最大Lyapunov指數的y（k）-k曲線圖Fig.6 The y（k）-k curve for maximum Lyapunov exponent computing

圖6中，紅線為用最小二乘法擬合的曲線y（k）-k的平均線，其斜率即為電壓時間序列最大Lyapunov指數。圖6中紅線的斜率為0.022 1，指數值大于零，說明電壓時間序列演化軌跡呈現出發散形態，定量判斷出電弧爐供電網電壓時間序列存在混沌特性。

基于電弧爐供電網電壓時間序列特性的定性和定量判斷，確定系統混沌特性。混沌系統的短期行為具有一定的確定性，因此電弧爐供電網電壓波動預測具有可行性。

3 電壓時間序列混沌預測

為簡便起見，不考慮采樣時間，將電壓有效值時間序列記為 u（1），u（2），…，u（N），保持重構參數不變，則重構相空間變為式（2）：

其中 u（M+（m-1）l）即為 u（N）。下面用兩種不同的方法對電壓有效值時間序列進行預測。

3.1 基于最大Lyapunov指數的電壓預測

設λ1為電壓有效值時間序列的最大Lyapunov指數，選取UM為重構相空間中的預測中心點，尋找UM最近鄰域點UK，兩者之間的歐氏距離為dM（0），有：

其中Uj對應UM的鄰近點，UM和UK經一步演化，即經過一個采樣時間后分別成為UM+1和UK+1，根據最大Lyapunov指數的定義，有：

式中對應的未知參量只有UM+1中的最后一個分量為 UM+1，m，對應為 u（M+1+（m-1）l）=u（N+1）為預測值，有：

其中：

式（5）中，正負號的選取可通過判斷相空間中兩矢量之間的夾角確定。當兩向量之間的夾角較小時說明兩空間矢量越接近［16］，可通過以下方式判斷：

假設空間中的兩個矢量為：

V=（x1，x2，…，xm），W=（y1，y2…，ym）

它們之間的夾角為：

記取“+”號時的電壓有效值預測值為ui+，取“-”號時的電壓有效值預測值為ui-，u+=（ui+，ui-1，…，ui-n），u-=（ui-，ui-1，…，ui-n），u'=（uj，uj-1，…，uj-n），j=i-1，再分別計算 u+與 u'、u-與 u'的夾角，分別記為 θ+、θ-。若 θ+＜θ-，式（5）取“+”；反之，取“-”。

3.2 考慮鄰域點位置影響的電壓預測

首先確定預測中心點UM的若干個鄰域點，設定一極小的正數ε作為歐氏距離，若UM周圍的點滿足：

則確定了UM的k（k為整數）個鄰域點Uj。根據相空間軌跡，確定鄰域點Uj的下一演化點Uj+1，尋找Uj和Uj+1之間的關系，使得：

其中，A、B為擬合參數，為待求值：

A=［a1，a2，…，am］T

在 Uj+1中，僅最后一個分量 uj+1+（m-1）l為未知量，亦即預測量，有：

事實上，不同的鄰域點對預測中心點的演化影響不同，其中離預測中心點越近的鄰域點對預測結果的影響越大。為此，在式（8）中引入一權值Wi（i=1，2，…k）如下：

其中，di為選取的預測中心點與對應的第i個鄰域點Ui之間的空間距離；dmin為所有距離中的最小值。參照式（8），有：

求出式（12）中的參數，則預測點為：

3.3 預測結果及分析

以圖2中包含3 000個電壓有效值的時間序列重構相空間，重構參數以及最大Lyapunov指數參照上文所得結果，采用以上兩種預測方法對從第3 001個點開始的后60個數據點進行預測，并將這60個點分成前后三組，每組20個。圖7給出了兩種方法的預測值與實測值的對比結果。

圖7（a）為前20個點 （第3 001～第3 020數據點）的預測結果。兩種方法的預測值與實測值均比較接近，能動態跟蹤電壓的變化。其中，基于最大Lyapunov指數預測法（簡稱方法一）的平均相對誤差為0.053%，加權一階局域預測法（簡稱方法二）的平均相對誤差為0.033%，說明方法二的預測精度比方法一要高。圖7（b）為中間20個點（第3 021～3 040數據點）的預測結果。方法一的平均相對誤差為0.062%，方法二的平均相對誤差為0.041%，與圖7（a）類似，但兩種方法的誤差均有所增加。圖7（c）為后20個點（第3 041～3 060數據點）的預測結果。方法一和方法二的相對誤差分別為0.106%和0.065%，亦較圖7（b）有所增長。由此可見，方法一和方法二均能在較短時間內反映電壓有效值的變化趨勢，且相對誤差很小。隨著預測長度的增加，相對誤差逐漸增大，但方法一比方法增加得快，說明隨著誤差的逐漸累積，方法一最終將先于方法二超出誤差允許范圍，即可預測范圍。這可以從兩種方法的預測原理上加以解釋。方法一以最大Lyapunov指數建立電壓有效值預測模型，而最大Lyapunov指數表示的是整個相空間軌跡的平均發散程度，因此式（2）僅僅是對相空間軌跡演化真實規律的近似，用軌跡平均發散率代替動態變化的發散率必然導致預測誤差的逐漸積累，而且累積速度可能加快。方法二由于考慮了鄰域點位置對預測中心點的影響，通過鄰域點的演化跟蹤預測中心點的演化，從而建立兩者之間的緊密聯系，預測誤差增長較為平緩，因此該方法更適合作為電壓有效值時間序列的預測方法。

圖7 兩種方法的電壓有效值預測結果Fig.7 Voltage prediction result of the two methods

4 結束語

提出用混沌理論對交流電弧爐供電網電壓有效值時間序列進行特性分析并做超短期預測。通過現場測量得到電壓有效值時間序列，采用互信息法和Cao氏法分別確定最佳的延遲時間和嵌入維數并重構相空間；繪制二維相空間圖，并計算最大Lyapunov指數。結果表明電壓波動具有混沌特性，可以用混沌的方法對電壓進行預測。

分別采用基于最大Lyapunov指數法和加權一階局域預測法對電壓時間序列進行超短期預測，結果表明，混沌預測能夠較好地反映交流電弧爐供電網電壓有效值時間序列的變化趨勢，超短期預測精度高，且加權一階局域預測法比最大Lyapunov指數法的預測精度更高，適合作為電壓有效值時間序列的預測方法。