基于Hopf分岔的電力系統(tǒng)HVDC穩(wěn)定直流分段控制策略

任民

（安徽省電力公司電力科學(xué)研究院計(jì)量中心，合肥230088）

0 引 言

HVDC技術(shù)可用于解決大量存在的交流電力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)以及動(dòng)態(tài)不穩(wěn)定問(wèn)題。在交流電網(wǎng)的HVDC線路整合中有三種主要方法［1-3］：HVDC電網(wǎng)與交流輸電網(wǎng)結(jié)合；在交流電網(wǎng)的交流母線之間嵌入HVDC線路；直流分割。直流分割作為文章研究重點(diǎn)，是指一個(gè)大的交流電網(wǎng)通過(guò)HVDC線路連接分解成更小的段連接。由HVDC線路構(gòu)成各電網(wǎng)段的主電源傳輸通道。

雖然已經(jīng)有關(guān)于直流分割的交流電網(wǎng)研究，但并未對(duì)其在提高電力系統(tǒng)穩(wěn)定性方面進(jìn)行充分的調(diào)查和量化。文章的重點(diǎn)是確定直流分段交流系統(tǒng)的最佳工作點(diǎn)，以提高穩(wěn)定裕度和改善的交流段的振蕩模式的阻尼。文獻(xiàn)［4-13］討論各種工作點(diǎn)的調(diào)整策略，以提高穩(wěn)定裕度，降低電力系統(tǒng)的低頻振蕩。其中，文獻(xiàn)［4-5］基于同步電機(jī)的電壓控制，文獻(xiàn)［6-8］基于無(wú)功功率控制，文獻(xiàn)［9-11］基于有功功率控制，文獻(xiàn)［12-13］穩(wěn)定約束研究傳統(tǒng)最優(yōu)潮流（OPF）問(wèn)題的Hopf分岔現(xiàn)象。但是上述策略中均未使用HVDC設(shè)定值調(diào)整實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定性改進(jìn)。

1 相關(guān)工作

基于無(wú)功功率控制方法，需要用到可控的無(wú)功功率器件，這是難以實(shí)現(xiàn)的。基于有功功率控制方法難以進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用，因?yàn)榇蠖鄶?shù)發(fā)電機(jī)不能進(jìn)行自動(dòng)發(fā)電控制（AGC），可能需要花費(fèi)幾分鐘的時(shí)間來(lái)回應(yīng)和再發(fā)送指令。此外，文獻(xiàn)［5，9-11］需要正負(fù)敏感性，這對(duì)于確保有功和無(wú)功功率平衡并不充分。

圖1給出每種方案進(jìn)行電網(wǎng)平衡和頻率調(diào)節(jié)的持續(xù)時(shí)間。主控制發(fā)生在干擾產(chǎn)生后幾秒以內(nèi)，二級(jí)控制部署在分鐘時(shí)間框架內(nèi)，依靠電力供應(yīng)商進(jìn)行直接控制（發(fā)電機(jī)和負(fù)荷調(diào)度）。次級(jí)控制的最常見(jiàn)類型是通過(guò)AGC進(jìn)行控制。對(duì)于不在AGC的發(fā)電機(jī)組，三級(jí)控制用來(lái)重新調(diào)度發(fā)電機(jī)組和改變系統(tǒng)工作點(diǎn)。與三級(jí)控制的直接調(diào)整發(fā)電機(jī)（從幾分鐘內(nèi)到幾小時(shí)內(nèi)）不同，這里提出HVDC設(shè)定值快速調(diào)整策略通過(guò)其主控制器直接進(jìn)行發(fā)電機(jī)調(diào)度。由于該方法通過(guò)主控制器進(jìn)行調(diào)度，因此其控制時(shí)間大幅縮短，可在秒級(jí)時(shí)間框架內(nèi)完成。與交流線路相比，HVDC鏈路的功率流的可控性較高，可用來(lái)調(diào)整直流分段交流系統(tǒng)的工作點(diǎn)，移動(dòng)臨界特征值的實(shí)部進(jìn)一步遠(yuǎn)離虛軸，因此，可增加振蕩模式的穩(wěn)定裕度和阻尼比。文章研究重點(diǎn)是確定HVDC線路的最佳設(shè)定點(diǎn)，從而獲得穩(wěn)定裕度較高的Hopf點(diǎn)和高阻尼比。Hopf分岔理論用來(lái)控制HVDC線路的功率流，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)操作點(diǎn)的改變。

圖1 電網(wǎng)平衡和頻率調(diào)節(jié)的控制連續(xù)性Fig.1 Control continuity of power balance and frequency control

改變直流有源功率設(shè)定值，可間接地實(shí)現(xiàn)發(fā)電機(jī)的有功功率和無(wú)功功率輸出調(diào)度。與以前依靠發(fā)電機(jī)直接控制的方法進(jìn)行對(duì)比，該方法可對(duì)實(shí)時(shí)事件做出更迅速的反應(yīng)，如線路中斷，因?yàn)榘l(fā)電機(jī)自動(dòng)調(diào)整是基于有功和無(wú)功功率進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)研究表明最佳HVDC設(shè)定值可用于：系統(tǒng)故障的暫態(tài)穩(wěn)定；魯棒性故障和負(fù)載因子的變化的預(yù)測(cè)控制。

2 研究背景

2.1 系統(tǒng)模型描述

這里研究對(duì)象有兩個(gè)：2段系統(tǒng)和3段系統(tǒng)，與2段系統(tǒng)相比，3段系統(tǒng)更具有一般性。盡管如此，在為更好的闡述所提算法的優(yōu)越性，仍然考慮將2段列入研究對(duì)象。其中，2段系統(tǒng)是由兩個(gè)相同的系統(tǒng)片段構(gòu)成，每個(gè)系統(tǒng)均為一個(gè)IEEE14總線系統(tǒng)，而3段系統(tǒng)是由三個(gè)相同的IEEE14總線系統(tǒng)構(gòu)成。

在2段系統(tǒng)中，兩個(gè)相同的系統(tǒng)段通過(guò)兩個(gè)HVDC整流器連接：HVDC1和 HVDC2。同理，在3段系統(tǒng)中，三個(gè)相同的系統(tǒng)段通過(guò)三個(gè)HVDC整流器連接：HVDC1、HVDC2和HVDC3。雖然交流子系統(tǒng)的配置相同，但是因?yàn)檫B接的高壓直流輸電線路的連接點(diǎn)和每段高壓直流輸電線路的注入和吸收功率不同，導(dǎo)致子系統(tǒng)呈現(xiàn)不同的電力特性，并表現(xiàn)出不同的振蕩模式。

研究中，交流系統(tǒng)包括渦輪發(fā)電機(jī)（T-G）機(jī)組及其控制器，交流輸電線路和變壓器。機(jī)電一體化系統(tǒng)由圓形轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)同步控制電機(jī)（SM）和渦輪系統(tǒng)構(gòu)成。每個(gè)SM的電氣系統(tǒng)表示為四階系統(tǒng)，包括勵(lì)磁繞組、轉(zhuǎn)子-軸阻尼繞組以及轉(zhuǎn)子-軸雙阻尼繞組。這里假定SM的磁回路是線性的。每個(gè)T-G機(jī)組配備有一個(gè)IEEE I型激振器和一個(gè)TGOV1調(diào)速器。T-G機(jī)組旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)是由一個(gè)單一的剛體模型構(gòu)成。由變壓器和交流輸電線路組成的交流輸電網(wǎng)絡(luò)是基于網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)方程的正序代數(shù)方程。文獻(xiàn)［6］利用注入建模方法進(jìn)行高壓直流輸電系統(tǒng)表示。各換流站表示為對(duì)應(yīng)換流變壓器電抗的等效電源；因此，高壓直流輸電線路的HVDC鏈路模型只對(duì)代數(shù)方程產(chǎn)生影響。

2.2 系統(tǒng)代數(shù)方程

將介紹交流系統(tǒng)代數(shù)方程的HVDC系統(tǒng)模型集成方法。令g（x，y，λ）=0表示SMs的定子電路的代數(shù)方程組見(jiàn)式（1），網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)方程見(jiàn)式（2），坐標(biāo)變換方程見(jiàn)式（3），以及高壓直流輸電系統(tǒng)代數(shù)方程組見(jiàn)式（4）。

網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)代數(shù)方程表示交流輸電網(wǎng)絡(luò)，形式為：

坐標(biāo)變換的代數(shù)方程組為：

所有HVDC總線的直流線性代數(shù)方程組為：

多機(jī)交直流系統(tǒng)的向量微分代數(shù)方程為：

3 Hopf分岔點(diǎn)雅可比靈敏度計(jì)算

所研究的電力系統(tǒng)模型形式如下：

式中 x∈Rnx，y∈Rny和λ∈Rm分別是動(dòng)態(tài)狀態(tài)變量、代數(shù)變量和參數(shù)向量。˙x=f（x，y，λ）和0=g（x，y，λ）分別代表微分和代數(shù)方程，其中：

式（12）中，通過(guò) F=［fT，gT］T，F(xiàn)∶Rnz+m→Rnz，nz=nx+ny，z=［xT，yT］T，F(xiàn)（z0，λ0）=0可定義系統(tǒng)的平衡點(diǎn)（z0，λ0）。

當(dāng)參數(shù)小變化會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的行為突然改變時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生分岔現(xiàn)象。基于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)流形和平衡點(diǎn)，分岔現(xiàn)象可以是局部的或全局的。文 中主要研究局部分岔問(wèn)題，特別是Hopf分岔問(wèn)題，可以基于線性系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的特征值進(jìn)行確定：

式中 fx是f對(duì)于x的雅可比矩陣；fy是f對(duì)于y的雅可比矩陣；gx是g對(duì)于x的雅可比矩陣；gy是g對(duì)于y的雅可比矩陣。直接計(jì)算Fx的特征值需要進(jìn)行g(shù)y矩陣求逆操作，這會(huì)導(dǎo)致稀疏性破壞。為保留稀疏性，直接采用式（12）的雅克比方法解決“廣義”特征值問(wèn)題，并確定的Fx特征值Λ和特征向量e1，形式如下：

式中 Fz為 F對(duì)于z的雅可比矩陣。根據(jù)式（15）獲得的Fz的廣義特征值，相當(dāng)于系統(tǒng)狀態(tài)矩陣Fx的特征值。對(duì)于Hopf分岔現(xiàn)象，F(xiàn)的復(fù)數(shù)特征值隨著系統(tǒng)參數(shù)的逐漸變化，逐漸穿越復(fù)平面。系統(tǒng)參數(shù)向量λ=［μ，p］為不可控參數(shù)μ，例如系統(tǒng)負(fù)荷，以及一組可控參數(shù)p，例如HVDC設(shè)定點(diǎn)值。當(dāng)不可控參數(shù)沿應(yīng)力方向μ0在固定可控參數(shù)p0情況下增加，當(dāng)復(fù)特征值實(shí)部為0時(shí)，系統(tǒng)到達(dá)不可控制參數(shù)值μ*2的Hopf分岔點(diǎn)，此時(shí)該系統(tǒng)不再是小信號(hào)穩(wěn)定的。穩(wěn)定裕度可定義為：

式中Fλ為F對(duì)于λ的雅可比矩陣。M相對(duì)于參數(shù)p的靈敏度是一個(gè)普通向量相對(duì)于∑Hopf的縮放投影。∑Hopf的法向量可通過(guò)對(duì)參數(shù)本征值的實(shí)部敏感性進(jìn)行確定：

式中 Fzz為 nz×nz×nz張量，是 F相對(duì)于 z的Hessian矩陣，F(xiàn)zλ為nz×nz×m的張量，是F相對(duì)于z和λ的Hessian矩陣。d和e為Fz相對(duì)于jω*的歸一化的右和左特征向量，滿足de=1和|d|=1。d和e可通過(guò)求解廣義特征值進(jìn)行確定，此外，如果：

那么：

式中Mp|p0即為考慮控制參數(shù)的敏感性穩(wěn)定裕度。

4 優(yōu)化計(jì)算過(guò)程

本研究目的是控制圖2和圖3所示HVDC輸電鏈路有源功率流，從而提高2段和3段電力系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。因此，將HVDC線路的有功功率設(shè)定值p作為控制參數(shù)。因?yàn)镸p|p0是N的縮放投影，運(yùn)動(dòng)方向遠(yuǎn)離Hopf曲面意味著穩(wěn)定裕度和振蕩模式阻尼比的增加。在優(yōu)化過(guò)程中，阻尼比計(jì)算相對(duì)于穩(wěn)定裕度更為簡(jiǎn)單，同時(shí)增加阻尼比會(huì)傾向于增加穩(wěn)定裕度。因此，為了提高穩(wěn)定裕度，目標(biāo)是最大限度地提高阻尼比的最小阻尼模式。

為獲得HVDC系統(tǒng)的最佳工作點(diǎn)（最高阻尼比），可對(duì)以下問(wèn)題進(jìn)行求解：

其中：

式中PDC和nmode分別是直流連接的有源功率向量和振蕩模式的數(shù)量。其目標(biāo)是要確定獲取最小阻尼振蕩模式的最大阻尼比的直流連接有功功率設(shè)定值。在約束式（22）中，前兩個(gè)約束是確保系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)，第三個(gè)約束是對(duì)直流母線注入功率進(jìn)行限制。優(yōu)化過(guò)程步驟如圖2所示。

圖2 優(yōu)化流程圖Fig.2 Flow chart of optimization

然后對(duì)［αmin，αmax］中的K個(gè)等間隔點(diǎn)進(jìn)行測(cè)試。在線路搜索過(guò)程中，基于調(diào)速器的功率流（GBPF），求解每次更新后的直流值。在（GBPF）問(wèn)題中：（1）每段的凈直流負(fù)載，定義為從相鄰的段注入和吸收的直流電源之間的差異，該值是確定的；（2）從初始解的凈直流負(fù)載變化進(jìn)行計(jì)算；（3）在每一段，在每個(gè)發(fā)電單元的輸出變化可由其下降特性測(cè)定。基于工作點(diǎn)的徑向基函數(shù)對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行線性化，然后用來(lái)計(jì)算振蕩的阻尼比模式，并對(duì)目標(biāo)函數(shù)（21）進(jìn)行評(píng)估。

5 實(shí)驗(yàn)分析

在這一部分中，基于Matlab/Simulink仿真環(huán)境對(duì)兩個(gè)案例進(jìn)行研究。本算法得到的每個(gè)測(cè)試系統(tǒng)在最佳工作點(diǎn)的穩(wěn)定裕度和特征值與傳統(tǒng)方法獲得的成本最小化的優(yōu)化解決方案進(jìn)行對(duì)比。此后，無(wú)任何約束的傳統(tǒng)優(yōu)化解決方案，作為本算法的基礎(chǔ)解決方案。

5.1 案例1：2段系統(tǒng)研究

假定HVDC線路是無(wú)損的，即Prec=-Pinv；因此，只有2個(gè)可控參數(shù)，PDC1和PDC2，取值范圍是［-1，1］。在系統(tǒng)中所有負(fù)載相對(duì)于基準(zhǔn)值的變化為：

式中β是負(fù)載因子。對(duì)HVDC線路的有功功率初始設(shè)定值為PDC1=-0.90 p.u，PDC2=-0.74 p.u。在初始工作點(diǎn)，所有具有負(fù)實(shí)部特征值的系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。當(dāng)β由0到0.997 5變化時(shí)，該2段系統(tǒng)的Hopf分岔點(diǎn)為β*=0.997 5。

圖3顯示了在β*=0.997 5時(shí)，與振蕩模式相關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)特征值的頻率小于2 Hz，而阻尼比小于0.5。當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行在傳統(tǒng)OPF方案時(shí)，該系統(tǒng)是Hopf分岔的。然而，在HVDC設(shè)定值進(jìn)行調(diào)整時(shí)，最接近虛軸的振動(dòng)特征值的實(shí)部為-1.1，穩(wěn)定性上要優(yōu)于傳統(tǒng)OPF方案。

圖3 兩操作點(diǎn)的系統(tǒng)特征值對(duì)比Fig.3 Comparison of the system eigenvalues of two operating points

圖4給出了發(fā)電成本增加和阻尼比增加之間的權(quán)衡過(guò)程。上圖顯示出隨α變化的最接近虛軸的振蕩特征值實(shí)數(shù)部分。下圖顯示從優(yōu)化問(wèn)題得到解決方案，可導(dǎo)致振蕩模式阻尼比的增加，αopt=0.17。然而，阻尼增加會(huì)伴隨著發(fā)電成本增加，αopt選取需要根據(jù)實(shí)際情況決定。

圖4 發(fā)電成本及參數(shù)σ與優(yōu)化步長(zhǎng)Fig.4 Cost of power generation and the parameters and the optimal step size

5.2 案例2：3段系統(tǒng)研究

本案例研究中的可控參數(shù)位：PDC1、PDC2和PDC3。由于負(fù)載變化導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生 Hopf分岔現(xiàn)象。在Hopf分岔點(diǎn)，利用可控參數(shù)對(duì)臨界特征值的實(shí)部靈敏度進(jìn)行計(jì)算，并利用靈敏度信息，調(diào)整HVDC直流遠(yuǎn)離虛軸特征值。

圖5所示為與α相關(guān)的最接近虛軸的振蕩特征值的實(shí)部隨阻尼比σ的變化情況，其呈現(xiàn)出先降低后增加的現(xiàn)象，也就是αopt=0.02是算法穩(wěn)定性最好的步長(zhǎng)值。

圖5 參數(shù)σ隨最優(yōu)步長(zhǎng)變化Fig.5 Parameter changes with the optimal step size

圖6顯示了阻尼比小于0.3及頻率小于2 Hz的振動(dòng)模式相關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)特征值。當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行在最優(yōu)潮流的解決方案（OPF）時(shí)，所有的特征值均位于虛軸的左側(cè)。當(dāng)負(fù)載增加時(shí)，特征值移向虛軸直到系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔。而直流設(shè)定值調(diào)整（HVDC），振蕩模式遠(yuǎn)離虛軸，并且振蕩模式的阻尼比增加。

為驗(yàn)證特征值分析的結(jié)果，這里同時(shí)也給出時(shí)域仿真結(jié)果。圖7給出3段系統(tǒng)片段3的T-G單元有功功率偏差結(jié)果，故障發(fā)生在片段3的總線14處，在0.5 s時(shí)產(chǎn)生0.6 s時(shí)消失。在故障發(fā)生之前，該系統(tǒng)工作在傳統(tǒng)OPF方案下，并且處于Hopf分岔狀態(tài)。

圖6 三操作點(diǎn)的系統(tǒng)特征值對(duì)比Fig.6 Comparison of the system eigenvalues of three operating points

圖7表明，當(dāng)直流設(shè)定值進(jìn)行調(diào)整后（故障被清除后），振蕩動(dòng)力學(xué)阻尼比調(diào)整和穩(wěn)定速度要快于OPF方案，控制穩(wěn)定時(shí)間小于5 s，而根據(jù)實(shí)際的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，后者震蕩時(shí)間超過(guò)20 s。這體現(xiàn)了本文所提方法的快速控制優(yōu)勢(shì)。

圖7 片段3發(fā)電機(jī)組有功功率偏差Fig.7 Deviation of the active power of the 3-fragment generating set

表1給出在最佳工作點(diǎn)的發(fā)電機(jī)輸出的變化，以補(bǔ)償HVDC上的功率流變化。因?yàn)樵谧罴压ぷ鼽c(diǎn)，可通過(guò)HVDC的連接2和3對(duì)片段3進(jìn)行功率注入，以降低片段3的T-G單元發(fā)電量。同時(shí)由于由片段2向片段3注入功率，會(huì)導(dǎo)致片段2的T-G單元發(fā)電量增加，同時(shí)也導(dǎo)致片段1的T-G單元發(fā)電量略微增加。

表1 系統(tǒng)T-G單元發(fā)電量Tab.1 Generation capacity of system T-G unit

6 結(jié)束語(yǔ)

提出一種電力系統(tǒng)直流分段Hopf分岔雅可比靈敏度HVDC穩(wěn)定控制策略，可快速解決電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)不穩(wěn)定問(wèn)題。該策略基于Hopf分岔點(diǎn)雅可比靈敏度，采取HVDC線路工作點(diǎn)調(diào)整策略。通過(guò)在2段和3段系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示所提算法具有較高的控制精度和快速的控制速度。