Zoeppritz方程疊前多參數(shù)反演及密度敏感性分析

郭 強 張宏兵* 曹呈浩 韓飛龍 尚作萍

(①河海大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇南京 210098； ②中科院地質(zhì)與地球物理研究所，北京 100029；③河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇南京 210098)

·綜合研究·

Zoeppritz方程疊前多參數(shù)反演及密度敏感性分析

郭 強①張宏兵*①曹呈浩②韓飛龍①尚作萍③

(①河海大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇南京 210098； ②中科院地質(zhì)與地球物理研究所，北京 100029；③河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇南京 210098)

基于Zoeppritz方程或其近似公式的疊前地震反演應(yīng)用廣泛，但多參數(shù)(尤其是密度參數(shù))的同步反演結(jié)果不穩(wěn)定。通過邊界保護正則化和馬爾科夫隨機域的軟約束建立反演目標(biāo)函數(shù)，采用精確Zoeppritz方程進行反演，并使用快速模擬退火算法解非線性優(yōu)化問題。數(shù)值結(jié)果表明，在小角度時，密度參數(shù)對角度變化不敏感，但對反射系數(shù)絕對值變化的貢獻度最大；二維合成數(shù)據(jù)測試結(jié)果表明，該反演算法采用小角道集可以反演出滿意的密度結(jié)果； 實際資料反演結(jié)果提供了詳細的地層信息，且與測井?dāng)?shù)據(jù)基本吻合。

疊前多參數(shù)反演 密度敏感性 Zeoppritz方程 邊界保護正則化 馬爾科夫隨機域

1 引言

地震反演是一種最有效的地震數(shù)據(jù)定量解釋方法之一，根據(jù)其采用的正演物理模型，主要分為褶積模型反演和全波形反演[1,2]。褶積模型反演，無論在疊前還是疊后，都已得到廣泛的商業(yè)應(yīng)用；雖然基于聲波方程的全波形反演技術(shù)在地震成像上已有成功應(yīng)用，但基于彈性波動方程的全波形反演尚在理論探索階段[2]。此外，各種最優(yōu)化算法在地震反演中得到廣泛應(yīng)用，如廣義線性反演法[3]，共軛梯度法[4]和模擬退火法[5]等。其中快速模擬退火法[6，7]憑借其不依賴初始模型和不易陷入局部最小值的優(yōu)勢，已在很多領(lǐng)域得到成功應(yīng)用。

目前基于AVO理論的疊前地震反演應(yīng)用廣泛，它直接利用信息豐富的疊前道集數(shù)據(jù)，可以同步獲得縱波速度、橫波速度和密度[8]。但疊前地震反演仍然存在諸多問題，尤其是多參數(shù)反演結(jié)果的不穩(wěn)定性問題[9，10]。由于精確Zoeppritz方程的表達式計算過程復(fù)雜，現(xiàn)有的文獻及商業(yè)化軟件多使用其近似式計算疊前道集反射系數(shù)，如Aki-Richard近似式[11]、Shuey近似式[12]和Fatti近似式[13]等，但這些近似式需要一定的假設(shè)條件，會導(dǎo)致計算誤差[14]， 特別不利于密度參數(shù)的準(zhǔn)確提取[15，16]。此外，疊前地震反演需要解決反演病態(tài)問題[17]和地震帶限問題[18]，有關(guān)反演病態(tài)問題可以通過正則化方法得到解決[19-21]， 如邊界保護正則化方法[22-24]， 而帶限問題需要使用測井?dāng)?shù)據(jù)進行約束反演。

不同參數(shù)之間的差別會導(dǎo)致同步反演結(jié)果不穩(wěn)定，體現(xiàn)為反演的彈性參數(shù)對于振幅和角度變化的敏感性。密度參數(shù)反演一直是業(yè)界研究的重點，Kabir等[25]的研究表明密度參數(shù)和速度參數(shù)對反射系數(shù)變化的貢獻度呈互耦關(guān)系，其中密度在小角度時貢獻度較大，而速度在大角度時貢獻度較大，因此需要廣角道集進行反演才能解耦密度和速度信息； Zong等[26，27]指出流體模量和楊氏模量中的密度項很難被準(zhǔn)確估算，因為密度對振幅變化不敏感，因而直接計算得到的流體模量和楊氏模量并不準(zhǔn)確； Liang等[28]提出了改進的Fatii方程，該方程突出密度優(yōu)勢并提高密度參數(shù)對角度變化的敏感性，進而可以得到更準(zhǔn)確的反演密度結(jié)果。

研究彈性參數(shù)中的密度參數(shù)非常必要，尤其是研究多參數(shù)同步反演中的密度敏感性。首先，建立邊界保護正則化的目標(biāo)函數(shù)并結(jié)合快速模擬退火算法進行最優(yōu)化；其次，分析Zoeppritz方程中反射系數(shù)對密度參數(shù)和入射角變化的敏感性；最后，通過合成數(shù)據(jù)和實際資料測試驗證本文提出的方法。

2 方法原理

2.1 正演模型

疊前地震反演是基于褶積模型的反演，其理論基礎(chǔ)是AVO理論，即描述平面波反射和透射系數(shù)相對入射角變化的Zoeppritz方程，其矩陣表達式為[11]

(1)

其中

(2)

式中：R是反射系數(shù)；T是透射系數(shù)；v是速度；ρ是密度； 下標(biāo)“P”和“S”分別表示縱波和橫波， “1”和“2”分別代表入射介質(zhì)和透視介質(zhì)；θ1和θ2分別為縱波的入射角和透射角；φ1和φ2分別為轉(zhuǎn)換橫波的反射角和透射角。

2.2 目標(biāo)函數(shù)

通常使用褶積模型表征波阻抗反演的數(shù)學(xué)模型，即

Y=W(θ)*R(θ)+N

(3)

式中：Y為地震記錄；W(θ)為角度震源子波；R(θ)為地震反射系數(shù)序列；N為隨機噪聲。一般情況下，假設(shè)N服從高斯分布，其數(shù)學(xué)期望為零，協(xié)方差為σ。考慮到疊前反演是一個病態(tài)問題，需要在目標(biāo)函數(shù)中引入先驗信息約束，采用懲罰最小平方或者最大后驗概率估計，則目標(biāo)函數(shù)可以表示為測量數(shù)據(jù)估算可信度項、先驗信息項和約束項之和，即

J(Z)=J1(Z)+λ1J2(Z)+λ2J3(Z)

(4)

式中：J1為數(shù)據(jù)項；J2為先驗項；J3是約束項；φ[·]為勢函數(shù)；C1和C2為鄰域內(nèi)數(shù)據(jù)的點集；D(Z)為模型參數(shù)的梯度值；k是平滑階次；Z為待反演的模型參數(shù)，即縱波速度、橫波速度和密度。目標(biāo)函數(shù)中有3個正則化參數(shù)：用于平衡數(shù)據(jù)項和先驗項之間的相互影響的“平滑參數(shù)”λ1和λ2，用于在檢測的不連續(xù)處調(diào)節(jié)梯度值的“刻度參數(shù)”δ。此外，疊前多參數(shù)同步反演的先驗項J2由三部分組成

J2=J2P(vP)+J2S(vS)+J2D(ρ)

(5)

式中：J2P、J2S和J2D分別為vP、vS和ρ的先驗項。為此，對于三個模型參數(shù)，其對應(yīng)的δ值是不相同的。在式(4)中，目標(biāo)函數(shù)的先驗項和約束項是以勢函數(shù)φ的形式表達；J3項的表達形式與J2項相同，但其僅在有測井?dāng)?shù)據(jù)的地震道處表達。

332332123321S123321233233

圖1 關(guān)于像素點S的MRF的鄰域系統(tǒng)一階鄰域包含標(biāo)有“1”的4個點，n階鄰域包括標(biāo)有比n小的所有點

2.3 最優(yōu)化算法

反演問題可以看作是一個使目標(biāo)函數(shù)達到極小的過程。式(4)中模型參數(shù)與測量數(shù)據(jù)之間呈現(xiàn)高度的非線性，線性類反演方法很難使該目標(biāo)函數(shù)達到全局最優(yōu)解，因此，使用快速模擬退火(FSA)算法[5，6]完成目標(biāo)函數(shù)極小化。FSA不需要計算目標(biāo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，易于實現(xiàn)；并且不依賴于初始模型的選取，不易陷入局部最優(yōu)解。采用依賴于溫度的似Cauchy分布產(chǎn)生新的擾動模型，即

Z(m+1)=Z(m)+T(m)sign(ξ-0.5)×

(6)

式中：Z(m)和Z(m+1)分別為三參數(shù)當(dāng)前值和擾動后的值； [Zmin，Zmax]為三參數(shù)的取值范圍；ξ為[0，1]內(nèi)的隨機數(shù)；T(m)是當(dāng)前的溫度值。在每次迭代中，模型參數(shù)擾動后的值被接受的概率為

(7)

式中： ΔE是目標(biāo)函數(shù)在模型參數(shù)擾動前后的能量差；h是預(yù)設(shè)定的常數(shù)。可見，每次迭代中模型參數(shù)被接受(或拒絕)的概率與目標(biāo)函數(shù)能量的改變量有關(guān)。

3 密度敏感性分析

在地震反演中，密度項的獲取一直是個難題。因此，基于疊前反演的理論公式(精確Zoeppritz方程)，進行多參數(shù)同步反演中的密度參數(shù)敏感性的數(shù)值分析。

為了便于分析單個參數(shù)的敏感性，將式(1)中的多參數(shù)矩陣M改寫為

(8)

通過改變一個參數(shù)而固定其他兩種參數(shù)的方法，分析兩類模型反射系數(shù)對各參數(shù)和入射角變化的敏感性。圖2為第一類模型(正反射界面)反射系數(shù)隨入射角的變化曲線。由圖2c可以看出，在小角度范圍內(nèi)，曲線接近于水平(梯度為零)，并且不同密度的曲線基本平行，而隨著入射角的增加，各曲線的梯度逐漸改變。這表明，在小角度時，密度參數(shù)對角度變化不敏感，即密度參數(shù)的改變并不會影響AVO曲線的變化趨勢，因此在常規(guī)梯度類AVO反演中，采用小角道集難以準(zhǔn)確反演密度，而需要覆蓋近中、遠炮檢距的廣角道集才能獲取密度信息。圖2a和圖2b中曲線反映出，縱橫波速度參數(shù)也在適中和較大入射角范圍內(nèi)才對入射角的變化敏感。

進一步分析圖2可以發(fā)現(xiàn)，各參數(shù)(vP、vS和ρ)曲線在不同入射角度范圍內(nèi)的錯開程度是不同的，這表明不同參數(shù)在不同角度下對反射系數(shù)的貢獻度有所差異[25，31]。由圖2c可見，改變密度參數(shù)值后分別對應(yīng)的五條曲線在小角度時錯開最明顯，意味著密度在小角度時對反射系數(shù)的貢獻度(導(dǎo)致縱波反射系數(shù)絕對值改變的程度)最大，而隨著入射角度的增加，貢獻度降低；而縱橫波速度對反射系數(shù)的貢獻度呈現(xiàn)出相反的規(guī)律。圖3是第二類模型(負反射界面)的反射系數(shù)隨入射角的變化曲線，顯示出相同的變化規(guī)律。需要指出的是，以上分析結(jié)果適用于縱橫波速度比變化緩慢的地層，這符合大多數(shù)地層的特點。

由以上分析可知，在小角度時，由于密度的改變(或擾動)會產(chǎn)生較大的反射系數(shù)絕對值的變化，使目標(biāo)函數(shù)的能量差異變化增大，從而在模擬退火算法中，接受(或拒絕)該擾動的概率會增加，進而提高算法對密度參數(shù)的敏感性，提高密度反演結(jié)果的準(zhǔn)確性。

圖2 第一類模型縱波反射系數(shù)對縱波速度(a)、橫波速度(b)和密度(c)的敏感性分析

圖3 第二類模型縱波反射系數(shù)對縱波速度(a)、橫波速度(b)和密度(c)的敏感性分析

4 合成數(shù)據(jù)試算

二維模型為一個斷背斜構(gòu)造(圖4a～圖4c)，橫向共有61個CDP，間隔為12.5m，每道共151個采樣點，采樣間隔為2ms。每個CDP有17個角道集(角度間隔為3°，角度覆蓋范圍為0°～48°)。通過Zoeppritz方程計算反射系數(shù)，子波采用主頻分別為35、33和31Hz的帶限雷克子波(分別對應(yīng)小、中和大角道集)，并基于褶積模型合成地震道集。圖4d為縱波速度初始模型(與真實模型的相關(guān)系數(shù)為0.65)，密度初始模型與縱波速度初始模型相似。圖5為CDP 31的合成角道集。將第15道和第45道作為虛擬井(式(4)中的測井約束項J3)對反演過程進行約束。

使用0°～12°，24°～36°和36°～48°三組角度范圍不同的角道集進行三參數(shù)反演，結(jié)果如圖6所示。對比這些反演結(jié)果：可見縱波速度和橫波速度的反演結(jié)果之間差異較小，24°～36°角道集反演的縱波速度結(jié)果與真實模型(圖4a)吻合較好，尤其是斷層處的特征明顯，36°～48°角度的反演結(jié)果的地層分界面處不夠清晰，這可能是由于大角道集距數(shù)據(jù)受調(diào)諧效應(yīng)影響的結(jié)果；密度的反演結(jié)果比縱橫波速度的反演結(jié)果差，三組道集密度反演結(jié)果與真實模型(圖3c)的相關(guān)系數(shù)分別為0.86(0°～12°)、0.76(24°～36°)和0.73(36°～48°)，小角度道集反演的密度結(jié)果精度最高。取CDP 31(圖6中虛線所示)的三組密度反演結(jié)果與真實模型進行對比(圖7)，0°～12°角道集的密度結(jié)果與真實模型吻合最好。這表明，本文算法使用小角度道集可以取得較滿意的密度反演結(jié)果，但是，如果想同步獲得準(zhǔn)確的三參數(shù)結(jié)果，需要覆蓋近中、遠炮檢距的角道集。

圖4 縱波速度(a)、橫波速度(b)和密度(c)的真實模型及縱波速度的初始模型(d)

圖5 CDP 31的合成角道集入射角范圍為0°～48°，角度間隔為3°

圖7 CDP 31三組角道集密度反演結(jié)果對比

5 實際數(shù)據(jù)測試

圖8為中國南部M工區(qū)的一條二維任意線疊加剖面，共有1981個CDP。每個CDP的角道集均有15道，角度范圍為3°～45°，間隔為3°，道間距為12.5m，時間采樣間隔為2ms。三口井分別位于CDP 53(井1)、CDP 601(井2)和CDP 1745(井3)，用井1和井2的測井?dāng)?shù)據(jù)進行約束，井3進行驗證。

圖8 M工區(qū)二維地震剖面

圖9 縱波速度(a)及密度(b)的初始模型

應(yīng)用工區(qū)內(nèi)幾個主要地層的參數(shù)建立了縱波速度和密度的初始模型(圖9)。初始模型合成的地震道集與實際地震數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)僅為0.477。

在反演中，結(jié)合了高階和低階鄰域，即當(dāng)退火溫度T>0.005°時為三階，當(dāng)0.005°>T>0.001°時為二階，當(dāng)T<0.001°時為一階。優(yōu)化方法FSA的初始溫度為0.05°，終止溫度為0.00001°，溫度衰減系數(shù)為0.9，并在反演過程中，逐漸降低λ值，而逐漸增大δ值。最優(yōu)化算法和正則化參數(shù)與合成數(shù)據(jù)測試相同。

井3中的三套地層為泥巖、石灰?guī)r(目的層)和砂泥巖，對應(yīng)時間段分別為1680～1730ms、1730～1803ms和1803～1850ms；井2中也可見三套地層，其中泥巖和砂泥巖與井3中的相同，對應(yīng)時間段分別為1570～1600ms和1725～1780ms，但井2中的石灰?guī)r地層與井3中不同，這給井間約束增加了難度。圖10分別為3°～15°、21°～33°和33°～45°角道集的密度反演結(jié)果。對比圖10中的三組反演結(jié)果可見，小角道集反演的密度結(jié)果對地層細節(jié)信息(圖10a中箭頭所指)的分辨率最高。此外，由CDP 1745的三組密度反演結(jié)果與井3的密度測井曲線對比(圖11)可見，三組密度反演結(jié)果與測井曲線基本吻合，其中，入射角3°～15°的密度反演結(jié)果(圖11上)

圖10 實際地震資料不同角道集的密度反演結(jié)果

在1780～1810ms目的層段與測井曲線吻合最好，但是在目的層段上部(1680～1710ms)出現(xiàn)奇異值，這可能是隨機算法在反演過程中的不穩(wěn)定性造成的誤差。

6 結(jié)論與討論

本文基于精確Zoeppritz方程并結(jié)合邊界保護正則化和MRF鄰域建立疊前反演目標(biāo)函數(shù)，并采用快速模擬退火算法進行最優(yōu)化反演，著重分析了多參數(shù)同步反演中密度參數(shù)的反演問題，合成數(shù)據(jù)測試及實際資料反演取得了較好的效果。

數(shù)值分析結(jié)果表明，密度參數(shù)在小角度時對反射系數(shù)絕對值變化的貢獻程度最大，隨著角度的增加，貢獻度降低；縱橫波速度參數(shù)對反射系數(shù)的貢獻度呈相反的規(guī)律。

圖11 CDP 1745的三組角道集密度反演結(jié)果與井3密度測井曲線的對比

合成數(shù)據(jù)測試表明，本文算法可以在小角度情況下獲得滿意的密度反演結(jié)果；在實際資料反演中，獲得了帶有構(gòu)造細節(jié)的密度參數(shù)模型，并與測井資料基本吻合。但三參數(shù)的反演結(jié)果相互制約，獲得較好的密度反演結(jié)果，通常是以犧牲縱橫波速度的反演精度為代價。

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*江蘇省南京市河海大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院，210098。Email：hbzhang@hhu.edu.cn

本文于2016年10月3日收到，最終修改稿于2017年8月30日收到。

本項研究受國家自然科學(xué)基金項目(41374116、41674113)和中國海洋石油總公司科研項目(CNOOC-KJ125 ZDXM 07 LTD NFGC 2014-04)聯(lián)合資助。

1000-7210(2017)06-1218-08

郭強，張宏兵，曹呈浩，韓飛龍，尚作萍.Zoeppritz方程疊前多參數(shù)反演及密度敏感性分析.石油地球物理勘探，2017,52(6):1218-1225.

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10.13810/j.cnki.issn.1000-7210.2017.06.012

(本文編輯：宜明理)

郭強 博士研究生，1989年生；2012年畢業(yè)于中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)地球物理學(xué)專業(yè)，獲學(xué)士學(xué)位；現(xiàn)于河海大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院攻讀博士學(xué)位，主要從事地震數(shù)據(jù)反演與最優(yōu)化算法等研究。