復(fù)雜形態(tài)回線源激發(fā)電磁場的矢量有限元解

李建慧 胡祥云 陳 斌 劉亞軍 郭士明

(①中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)地球物理與空間信息學(xué)院，湖北武漢 430074；②中國礦業(yè)大學(xué)深部巖土力學(xué)與地下工程國家重點實驗室，江蘇徐州 221116)

·非地震·

復(fù)雜形態(tài)回線源激發(fā)電磁場的矢量有限元解

李建慧①②胡祥云*①陳 斌①劉亞軍①郭士明①

(①中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)地球物理與空間信息學(xué)院，湖北武漢 430074；②中國礦業(yè)大學(xué)深部巖土力學(xué)與地下工程國家重點實驗室，江蘇徐州 221116)

回線源瞬變電磁法實際工作中，發(fā)射回線易發(fā)生形變，這將影響資料處理解釋的精度。為此，基于電磁場數(shù)值模擬的總場算法，利用矢量有限元法實現(xiàn)了鋪設(shè)于水平地表的復(fù)雜回線源電磁場的三維正演。復(fù)雜回線源可視為由一系列首尾相接的電偶源組成，這些電偶源可進(jìn)一步分解為與笛卡爾坐標(biāo)系中水平坐標(biāo)軸平行的一對正交電偶源。通過對比鋪設(shè)于均勻半空間表面的圓形回線圓心處磁場脈沖響應(yīng)的一維解析解和矢量有限元法解，驗證了三維正演算法的正確性。對于復(fù)雜形態(tài)高導(dǎo)體地電模型，計算了矩形回線、圓形回線和普通四邊形回線激發(fā)的磁場脈沖響應(yīng)。結(jié)果表明，發(fā)射回線形狀主要影響早期電磁響應(yīng)。

復(fù)雜形態(tài)回線源 矢量有限元法 非結(jié)構(gòu)化四面體

1 引言

目前，回線源瞬變電磁法已廣泛應(yīng)用于金屬礦產(chǎn)勘探[1,2]、環(huán)境水文調(diào)查與監(jiān)測[3-8]等領(lǐng)域。回線源瞬變電磁法，尤其是大定源裝置，野外工作易受起伏地形、河流、公路等影響，導(dǎo)致回線源并非按照既定方案鋪設(shè)，而是存在一定畸變，比如發(fā)射回線在垂直方向起伏或水平方向傾斜等。如果三維正演計算不考慮發(fā)射回線的這種畸變，將對資料處理解釋造成不利影響。

瞬變電磁法的三維正演問題大致有兩種策略：時步法和頻譜法。時步法是以某一時刻電磁場三維分布狀態(tài)作為初始值，用顯式差分法或隱式差分法離散時間域電磁場微分方程，并逐步迭代直接獲取時間域電磁場的一種數(shù)值方法。其中，每一時間步均需采用數(shù)值方法，比如有限差分法[9-11]、有限元法[12]等，求解一次空間域電磁場。頻譜法通常由傅里葉逆變換或拉普拉斯逆變換將頻率域或拉普拉斯域電磁場數(shù)值解轉(zhuǎn)換至?xí)r間域，這些電磁場數(shù)值解可由積分方程法[13]、有限元法[14,15]等獲得。上述研究中，發(fā)射源形態(tài)規(guī)則，比如鋪設(shè)于水平地表的矩形回線或接地長導(dǎo)線等，并沒有考慮形態(tài)復(fù)雜的發(fā)射源，比如圓形回線、普通四邊形回線等。目前，有人研究了復(fù)雜形態(tài)發(fā)射源的正演計算。Yin等[16]提出了頻率域航空電磁法，對發(fā)射—接收裝置姿態(tài)變化引起電磁場畸變進(jìn)行校正；嵇艷鞠等[17]將該校正技術(shù)應(yīng)用于航空瞬變電磁法中心回線裝置，為航空電磁測量數(shù)據(jù)的精確處理和解釋奠定了理論基礎(chǔ)；劉云鶴等[18]采用一維正演分析了海洋可控源電磁法中電偶源姿態(tài)變化引起的電磁場誤差分布特征；韓波等[19]和嚴(yán)波等[20]基于電磁場數(shù)值模擬的背景場/異常場算法，分別利用有限體積法和有限差分法實現(xiàn)了長導(dǎo)線源海洋可控源電磁法的三維正演，并考慮了長導(dǎo)線垂向彎曲引起的電磁場畸變。

基于電磁場數(shù)值模擬的總場算法，利用矢量有限元法開展水平鋪設(shè)的復(fù)雜回線源的電磁場三維正演，比如圓形回線和普通四邊形回線。目前，總場算法已廣泛應(yīng)用于電磁場數(shù)值模擬，其不僅可避免計算異常體區(qū)域的背景電磁場，還有利于高效地模擬復(fù)雜地電模型和處理復(fù)雜發(fā)射源[21-23]。將復(fù)雜回線源視為由一系列首尾相接的水平電偶源組成，但這些電偶源的空間展布并非全都平行于笛卡爾坐標(biāo)系的水平坐標(biāo)軸。采用矩形塊單元或規(guī)則四面體單元無法精確處理這些電偶源，因此需要采用非結(jié)構(gòu)化四面體網(wǎng)格結(jié)合局部加密技術(shù)精確描述這些復(fù)雜場源。

2 矢量有限元法

矢量有限元法將自由度定義在棱邊上，自動滿足電場切向分量連續(xù)、法向分量不連續(xù)的條件，避免了節(jié)點有限元法中強(qiáng)加法向分量連續(xù)的條件而產(chǎn)生的偽解。目前，基于非結(jié)構(gòu)化四面體網(wǎng)格的矢量有限元法已廣泛應(yīng)用于可控源電磁法三維正演[23-25]。

2.1 矢量有限元法方程

在準(zhǔn)靜態(tài)采用正諧時eiω t的條件下，麥克斯韋方程組中的電場E和磁場H的旋度方程為

(1)

(2)

式中：B為磁感應(yīng)強(qiáng)度，B=μH，μ為磁導(dǎo)率，不考慮磁導(dǎo)率變化對電磁場的影響，故μ取真空中的磁導(dǎo)率μ0；ω為角頻率，其值等于2πf，f為頻率；σ為地電模型電導(dǎo)率；Js為場源電流密度。將式(2)帶入式(1)，得到頻率域電場總場雙旋度方程

(3)

采用矢量有限元法離散式(3)，最終可得

(4)

2.2 加載場源

(5)

式中：δ表示狄拉克函數(shù);I表示電流;X表示x方向的單位矢量。

圖1 回線源劃分為多個電偶源的示意圖

(6)

式中Y表示y方向的單位矢量。

圖2 電偶源ds分解示意圖

3 算法驗證

從矢量有限元法加載場源的角度分析，圓形回線可看作復(fù)雜回線的一個特例。本文以電導(dǎo)率為0.01S/m的均勻半空間為例，通過計算圓形回線圓心處磁場的一維解析解(見附錄A)來驗證矢量有限元解的正確性。計算環(huán)境為Ubuntu 14.04系統(tǒng)和GNU Fortran編譯器，硬件為Intel Xeon CPU E5-2640 v3處理器和64GB內(nèi)存臺式機(jī)。

非結(jié)構(gòu)化四面體網(wǎng)格剖分和顯示分別采用TetGen 1.5.1-beta1[30]和ParaView 4.3.1[31]。采用TetGen網(wǎng)格剖分時，四面體外接圓半徑與其最短棱邊的最大比值設(shè)置為1.4，二面角最小值設(shè)置為16°，并局部加密測點和圓形回線附近網(wǎng)格。網(wǎng)格局部加密時，將測點和每條線段的兩個端點分別作為一個正四面體中心，該四面體的四個頂點即為加密點。本例中正四面體棱邊長度設(shè)置為1m。

計算區(qū)域為20km×20km×20km，其中空氣層和均勻半空間厚度各為10km，空氣電導(dǎo)率設(shè)置為10-8S/m。矢量有限元法求解時，首先將圓形回線近似等分為首尾相接的48、100或200段。局部加密每條直線段兩個端點附近的網(wǎng)格，因此每條直線段會分布于多個四面體之中，用以近似圓形回線的電偶源數(shù)目也遠(yuǎn)多于48、100或200。表1給出了網(wǎng)格剖分的詳細(xì)參數(shù)及相應(yīng)的矢量有限元法計算時間。圖3是100段近似情況下，半徑100m圓形回線的非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格剖分示意圖。

表1 均勻半空間模型的網(wǎng)格剖分方案及相應(yīng)的

圖3 100條線段近似情況下，半徑為100m的圓形回線的非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格剖分示意圖

圖4是半徑為50m的圓形回線在均勻半空間表面激發(fā)磁感應(yīng)強(qiáng)度脈沖響應(yīng)的矢量有限元解，可見矢量有限元解與一維解析解吻合良好，相對誤差在4.5%以內(nèi)，相對誤差并沒有隨著直線段數(shù)目的增多而下降，并且各個時刻的數(shù)值起伏較大。圖5為三個尺度的圓形回線在均勻半空間表面激發(fā)脈沖響應(yīng)的矢量有限元解，這三個圓形回線均被近似為100段。結(jié)果表明： 三個尺度圓形回線的矢量有限元解均具有較高精度，與一維解析解的相對誤差均小于4%。

圖4 對于0.01S/m的均勻半空間模型，半徑a=50m的圓形回線在其圓心處激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度脈沖響應(yīng)及相對誤差

圖5 半徑a=50m、100m和200m的圓形回線在0.01S/m均勻半空間表面激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度脈沖響應(yīng)及相對誤差

4 算例

以復(fù)雜形態(tài)高導(dǎo)體模型為例，研究矩形回線、圓形回線和普通四邊形回線激發(fā)的磁場脈沖響應(yīng)特征。該高導(dǎo)體三維形態(tài)與加拿大紐芬蘭和拉布拉多省的Ovoid大規(guī)模硫化物礦體一致[22]，如圖6a、圖6b和圖6c所示；與發(fā)射回線的位置關(guān)系如圖6c、圖6d和圖6e所示。其中，矩形回線與圓心回線面積相同，矩形回線邊長為500m，圓形回線半徑為282.1m；普通四邊形回線的發(fā)射面積比矩形回線略小。121個測點布置于三類發(fā)射回線內(nèi)外，詳見圖6f。地下半空間和高導(dǎo)體電導(dǎo)率分別設(shè)置為0.01S/m和1S/m，計算區(qū)域為50km×50km×50km，不同發(fā)射回線的網(wǎng)格剖分情況詳見表2。

表2 復(fù)雜形狀高導(dǎo)體模型的網(wǎng)格剖分方案

圖7為測點(555800m,6243165m,110m)和(555500m,6242965m,110m)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度脈沖響應(yīng)。前一個測點位于矩形回線中心和圓形回線圓心，后一測點位于發(fā)射回線外部(圖6f)。對于這兩個測點，三類發(fā)射回線激發(fā)的脈沖響應(yīng)總體趨勢一致，但在早期存在明顯差異。對于前一個測點，普通四邊形回線激發(fā)的早期脈沖響應(yīng)幅值比其他兩個回線更大，這是由于普通四邊形回線的兩條傾斜邊距離測點更近。而對于后一個測點，圓形回線激發(fā)的脈沖響應(yīng)由負(fù)到正的變號時刻略晚，這是由于圓形回線距離該測點更遠(yuǎn)。另外，普通四邊形回線激發(fā)的脈沖響應(yīng)比其他兩類回線在晚期時刻的數(shù)值略小。這是由于不同形狀的發(fā)射回線在發(fā)射周期的末期均可視為一個磁偶源，電磁場分布狀態(tài)和幅值大小與發(fā)射回線形狀幾無關(guān)系，僅與發(fā)射磁矩有關(guān)。普通四邊形回線的磁矩略小，因此其激發(fā)的晚期脈沖響應(yīng)也略小。

圖8～圖10分別為矩形回線、圓形回線和普通四邊形回線激發(fā)磁感應(yīng)強(qiáng)度脈沖響應(yīng)的不同時刻等值線圖。在0.053ms時刻，三類發(fā)射回線在其內(nèi)部的脈沖響應(yīng)等值線形態(tài)與其回線形態(tài)基本一致，受高導(dǎo)體影響微弱；在0.356ms時刻，等值線形態(tài)受紅色、白色和綠色線框分別表示矩形回線、圓形回線和普通四邊形回線；兩個紅色實心點分別表示測點(555800m,6243165m,110m)和(555500m,6242965m,110m)，白色實心點表示其他測點回線形態(tài)影響減弱，高導(dǎo)體的影響凸顯；在2.395ms和32.9ms時刻，等值線形態(tài)主要受高導(dǎo)體影響。這些現(xiàn)象說明：脈沖響應(yīng)等值線形態(tài)在早期與發(fā)射回線形態(tài)密切相關(guān)，受高導(dǎo)體影響較小；而在晚期與發(fā)射回線形態(tài)幾乎無關(guān)，主要受高導(dǎo)體影響。

圖6 復(fù)雜形態(tài)高導(dǎo)體模型、發(fā)射回線以及測點布置示意圖

(a)高導(dǎo)體在z-x平面的投影； (b)高導(dǎo)體在z-y平面的投影； (c)矩形回線與礦體在海拔110m平面的位置關(guān)系示意圖； (d)圓形回線與礦體在海拔110m平面的位置關(guān)系示意圖； (e)普通四邊形回線與礦體在海拔110m平面的位置關(guān)系示意圖； (f)三類發(fā)射回線與測點的位置關(guān)系示意圖

圖7 復(fù)雜形狀高導(dǎo)體模型在不同發(fā)射回線激發(fā)時的磁感應(yīng)強(qiáng)度脈沖響應(yīng)垂直分量

圖8 對于復(fù)雜形態(tài)高導(dǎo)體模型，矩形回線激發(fā)的不同時刻磁感應(yīng)強(qiáng)度脈沖響應(yīng)

圖9 對于復(fù)雜形態(tài)高導(dǎo)體模型，圓形回線激發(fā)的不同時刻磁感應(yīng)強(qiáng)度脈沖響應(yīng)

圖10 對于復(fù)雜形態(tài)高導(dǎo)體模型，普通四邊形回線激發(fā)的不同時刻磁感應(yīng)強(qiáng)度脈沖響應(yīng)

5 結(jié)束語

水平鋪設(shè)的復(fù)雜回線源可分解為一系列首尾相接的電偶源，并可將這些電偶源進(jìn)一步分解為與笛卡爾坐標(biāo)系中水平坐標(biāo)軸平行的一對正交電偶源。本文以這種方式在矢量有限元法分析中加載了復(fù)雜回線源。在鋪設(shè)于均勻半空間表面的圓形回線模型中，解析法和矢量有限元法分別計算的圓心處磁感應(yīng)強(qiáng)度脈沖響應(yīng)吻合良好，說明了上述場源加載方式正確可行。以復(fù)雜形態(tài)高導(dǎo)體模型為例，采用矢量有限元法計算了矩形回線、圓形回線和普通四邊形回線激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度脈沖響應(yīng)，并發(fā)現(xiàn)早期脈沖響應(yīng)主要受發(fā)射回線形態(tài)的影響，而晚期脈沖響應(yīng)幾乎不受回線形態(tài)影響。

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附錄A圓形回線在圓心處激發(fā)的解析解

采用正諧時eiω μ條件下，鋪設(shè)于水平地表的圓形發(fā)射回線在其圓心處激發(fā)的磁場垂直分量為[32]

(A-1)

式中：I為電流強(qiáng)度；a為圓形回線半徑；λ為空間波數(shù)；J1為一階Bessel函數(shù)；rTE為地表反射系數(shù)，可寫作

(A-2)

(A-3)

(A-4)

*湖北省武漢市洪山區(qū)魯磨路388號,430074。Email：xyhu@cug.edu.cn

本文于2016年9月13日收到，最終修改稿于2017年9月13日收到。

本項研究受國家自然科學(xué)基金項目(41504088、41474055)和中國礦業(yè)大學(xué)深部巖土力學(xué)與地下工程國家重點實驗室開放基金項目(SKLGDUEK1312)聯(lián)合資助。

1000-7210(2017)06-1324-09

李建慧,胡祥云,陳斌,劉亞軍,郭士明.復(fù)雜形態(tài)回線源激發(fā)電磁場的矢量有限元解.石油地球物理勘探，2017,52(6):1324-1332.

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10.13810/j.cnki.issn.1000-7210.2017.06.024

(本文編輯：劉海櫻)

李建慧 副教授,博士,1982年生; 2005年獲昆明理工大學(xué)資源環(huán)境與城鄉(xiāng)規(guī)劃管理專業(yè)學(xué)士學(xué)位; 2008年獲中國礦業(yè)大學(xué)地球探測與信息技術(shù)專業(yè)碩士學(xué)位; 2011年獲中南大學(xué)地球探測與信息技術(shù)專業(yè)博士學(xué)位; 現(xiàn)在中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)地球物理與空間信息學(xué)院從事電法勘探教學(xué)與科研工作。