平面向量的數(shù)量積

王曉溪

【摘要】在向量的代數(shù)形式下，選擇一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，將所求向量用基底表示，利用基底求解；在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與向量可以用坐標(biāo)表示，數(shù)量積等相關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算；這兩種思路是解決平面幾何問(wèn)題的基本方法。本文以4道高考題為例，分析總結(jié)用向量解決平面幾何問(wèn)題的兩種常用方法。

【關(guān)鍵詞】解析幾何；平面向量基本定理；基底；坐標(biāo)系

【中圖分類(lèi)號(hào)】G4 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）14-0275-01

平面向量數(shù)量積是高考的熱點(diǎn)，主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、幾何意義、向量的模、夾角以及垂直問(wèn)題。數(shù)量積的綜合應(yīng)用是高考的重點(diǎn)，常與平面幾何、三角函數(shù)、不等式、解析幾何等內(nèi)容結(jié)合考查。下面以4道高考題為例，分析總結(jié)用向量解決平面幾何問(wèn)題的兩種常用方法。

一、基底法

依據(jù)平面向量基本定理，適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，將所求向量用基底表示，利用基底求解。

例1、（2016.江蘇，13）如圖，在ΔABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，，則的值是 。

分析：用基底法求解，結(jié)合已知和所求，選擇和作為基底。

，

，

解得：

例2、（2015.湖南，8）已知點(diǎn)A，B，C在圓上運(yùn)動(dòng)，且.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），則的最大值為（ ）

A.6 B.7 C.8 D.9

分析：用基底法求解，選擇、作為基底。

（θ為與的夾角）

∴當(dāng)θ=0時(shí)，最大，故選B。

二、坐標(biāo)法

把幾何圖形置于適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，把數(shù)量積等相關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算。

例3、（2015.福建，9）已知，若點(diǎn)P是ΔABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于（ ）

A.13 B.15 C.19 D.21

分析：由容易建立坐標(biāo)系寫(xiě)出坐標(biāo)，用坐標(biāo)法求解。

如圖建立平面直角坐標(biāo)系。

故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）選A

例4、（2017.全國(guó)2，12）已知ΔABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（ ）

A.-2 B.

C. D.-1

分析：由等邊三角形，邊長(zhǎng)為2容易建立坐標(biāo)系寫(xiě)出坐標(biāo)，用坐標(biāo)法求解，如圖建立平面直角坐標(biāo)系。

，故選B。

向量具有代數(shù)和幾何的雙重特征，如向量運(yùn)算的平行四邊形法則、三角形法則、平面向量基本定理都可以認(rèn)為是從幾何角度來(lái)研究向量的特征；而引入坐標(biāo)后，就可以通過(guò)代數(shù)運(yùn)算來(lái)研究向量，凸顯向量的代數(shù)特征，為用代數(shù)的方法研究向量問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)。