對線性代數的研究性教學法的若干思考

王高振

【摘要】首先嘗試對線性代數的研究性教學法的若干思考與建議，其次從幾個方面闡述開展研究性教學法的必要性，最后給出線性代數的研究性教學法的若干措施與建議。

【關鍵詞】線性代數；研究性教學法；合作探究學習

【Abstract】Firstly we try to give some thoughts and suggestions on the research teaching method of linear algebra， secondly from several aspects explain to the necessity of research teaching method， finally give some measures and suggestions on the research teaching method of linear algebra.

【key words】linear Algebra；research teaching method；cooperative inquiry learning

【中圖分類號】O1-4 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）14-0027-02

線性代數是理工科專業學生的一門重要的數學基礎課程，能培養學生抽象邏輯思維能力和科學創新能力。線性代數這門課程有著它獨特的抽象美、邏輯美、縝密的嚴謹，從而也造就了想把它學好需要下很大的功夫。筆者在多年的教學實踐中發現大多數學生在學習線性代數中感到困難重重和枯燥乏味，而這種現象存在的根本原因在于學生沒能掌握學習線性代數的正確方法。而研究性學習是在教師的引導下，以問題解決為中心，以學習合作探究為特點，用合作探討的方式去主動獲取知識與解決生活中的實際問題。鑒于此，這就要求廣大的數學教育工作者在線性代數課程的教學實踐中勇于嘗試研究性教學方法，在文獻[1]，[2]，[5]中，作者都從自己的教學實踐中提出對線性代數的研究性教學法的策略和建議。本文也就線性代數的研究性教學法做些若干思考和建議。

一、開展線性代數的研究性教學的幾個步驟

1.研究性教學中應著重細節的培養

俗話說得好“細節決定成敗”，所以我們在教學中應注重對學生處理細節能力的培養，只有把細節做好，才能開展線性代數的研究性教學和學習，否則就像地基沒打好就在上面蓋房子注定房子會倒塌一樣。在筆者多年教學中發現存在一種非常普遍的現象，就是有一部分學生在學習完線性代數這門課程后，仍然對行列式與矩陣的記號不分。還有行列式運算中每步都應該用等號連接，但還是好多學生都用箭頭來連接。而在矩陣變換中每步都用箭頭連接，但還是好多學生都把它用等號連接。這些看似無關緊要的小毛病，嚴格來說這些都是致命的錯誤。所以我們在教學中應注重學生對細枝末節的處理技巧，不應在細小的環節上栽跟頭呀！

2.研究性教學中應講透概念的本質

概念是線性代數這門課程的奠基石，只有對概念理解透和掌握，才能學習起來線性代數這門課程得心應手。而傳統教學往往忽視了這一點或者做的不夠這么好，這就要求在研究性教學中應加強對概念理解的訓練，從而要求老師一定要先把概念講清，然后列舉針對所講的概念的例子讓學生參透概念的本質，弄清概念的來龍去脈。比如很多人認為克萊姆法則徒有華麗的外表，而沒有多大的實際應用。殊不知它的理論性很強，但告訴我們什么樣的方程組滿足特定的條件就存在解，并且解可準確的解出，它給我們探討一般方程組解的存在性問題提供了可借鑒的思想源泉。再比如講到矩陣的方冪時一定要再次強調矩陣乘法的前提，只有理解到這一點才明白為什么只有方陣才可以有冪。研究性學習中應多注重與平行的知識點的串并聯學習，倒不是一味的模仿，不然就會掉進“陷阱”里。如數的簡便運算公式，，等并不能簡單地搬到矩陣的冪中，這時老師可以拋磚引玉地向學生拋出問題“這個等式是否正確”，讓學生動手動腦分組研究討論，老師從側面引導學生從矩陣的冪的定義本身出發思考這個問題，表示2個的乘積，然后熟悉運用矩陣乘法就可以得到，從而加深學生對該知識點的牢固掌握。

3.合理設計教學過程，注重學生合作探究學習

如講到矩陣的秩，應著重強調秩是矩陣的本質屬性，否則學生會認為秩是人為賦予矩陣的特性。k階子式的概念也應著重強調，它來源矩陣，但卻有著與母體矩陣完全不同的性質，這是因為k階子式為k階行列式而非矩陣。對矩陣的秩的概念講解時定要逐字逐句地分析，一定把概念的本質清晰準確地向學生傳達，為A中至少有一個r階子式不為零，且它的所有的r+1階（若存在的話）全都為零，應強調“至少”和“所有”兩個字眼，然后向學生拋出問題“設，那么A的r+2， ，r+3，…階子式應為多少？”，引導學生得出上述的結論應為全都為零，從而為A的非零子式的最高階數，然后可以啟發引導學生借助圖像把結論形象地表示出來。

在研究與的特征值與特征向量有何聯系時，教師可以設置問題情境，合理引導學生開展合作探究學習。先提示學生從特殊的矩陣出發探討得出結論，然后把得出的結論是否可以推到一般的矩陣。具體為若為實對稱矩陣，則與有完全相同的特征值和特征向量，這一特殊結果是否具有一般化呢？啟發學生應該緊抓矩陣的特征值與特征向量的本質定義出發，合作探究，從而推測得出關于一般矩陣與其轉置矩陣的特征值與特征向量間的關系的正確結論。該如何證明呢？讓學生分組來進行討論，引導學生從矩陣的所有的特征值都為它的特征方程的根的角度出發，得出根據得出與有相同的特征值，但是通過上述式子未必得出與一定有著相同的特征向量，這時因為特征向量應為其所對應的齊次線性方程組的非零解，如果從這一點出發似乎問題不怎么好解決，原因就在矩陣是泛指的，從而方程組也是不具體的，如果這時仍從正面解決問題，似乎走進了死胡同里，這時就應要求審時度勢地啟發學生從問題的反面來思考，即舉了簡單地反例來說明與未必有著相同的特征向量。endprint

通常求矩陣的逆的方法就是，但是好多學生都不能真確地寫出。這因為在他們的腦海里并沒有真正地領悟到的真諦，構造就是把行列式和矩陣巧妙地融合在一起，而矩陣的逆的定義并沒有給出行之有效的求逆矩陣的方法，只是告訴逆矩陣存在的條件，而行列式展開定理告訴我們一個很漂亮的結論，即一行（列）各元與其代數余子式的乘積之和為行列式的值；即一行（列）各元與另一行（列）代數余子式的乘積之和為零。從而借助這一漂亮的結論來構造方陣的特殊伙伴—伴隨矩陣，并且兩者有著完美的性質，與逆矩陣定義中的等式有著驚人的相似，從而啟發我們可以從這里尋找求逆矩陣的方法。

當我們讓學生分組討論線性方程組的解會有多少情況時，可以啟發學生從幾何的角度出發，（1）和（2）分別代表平面上的直線方程，而平面上的任意兩條直線的位置關系有：相交，平行，重合。而該方程組的解就為（1）和（2）所代表平面上的兩直線的交點的坐標。從而決定了該方程組的解只有3種情況：惟一解（相交），無解（平行），無窮解（重合）。反過來也可以通過方程組的解來判別平面上的兩直線的位置關系。在學生掌握二元線性方程組的解的情形后，啟發學生能把上述結論推廣到通過來討論3維空間中的3個平面的位置關系，并讓學生寫出相應的研究報告，從而可以鍛煉學生的發散思維的能力和創新研究的能力。

4.研究性學習中應注重知識點的串并聯

行列式和矩陣是線性代數的兩個重要的基本工具，后續內容基本上都圍繞這兩個知識點展開和加深的。學生往往學習起來感到非常困難，原因就在忽視了知識點的梳理和串并聯，因為線性代數的好多知識點是承前啟后的和彼此關聯和相似的。在線性代數研究性教學中讓學生做好知識點的梳理和串并聯，能給他們學習線性代數帶來很大的便捷。比如向量可由向量組：線性表出的充要條件為線性方程組有解，所以線性表出只是比解非齊次方程組多披了一層神秘的面紗而已。向量組：線性相關的充要條件為線性方程組有非零解，所以線性相關只是比解齊次方程組多披了一層神秘的面紗而已。讓學生勇于撥開云霧見青天發現問題的本質，找到與之相關較容易的知識點來解決。在研究性學習中讓學生養成善于發現問題和知識點的橫縱向的串聯與類比，從而可以做到知識的鞏固和加深與升華。

二、結束語

在線性代數研究性教學中應時刻以學生為主體，教師為引導的基本發展策略，充分挖掘學生的內在潛能，激發學生主動接受知識的主觀能動性，向課堂教學要最大的效率。同時在線性代數研究性教學中要注意學生的個體差異的實際情況，按照學生的發展實際情況把他們分成若干個討論小組，注意到學習小組間的均衡發展和良性競爭，發揚小組間互助互利的優良傳統，結合教師適量適度地引導和啟發，從而達到每個學生都能得到最全面的發展和創新潛能的最大程度地被開發出來，最終線性代數的教學效果收獲到最完美的效果。

參考文獻

[1]李尚志.從問題出發引入線性代數概念[J].高等數學研究，2008，（9）：6-15.

[2]同濟大學應用數學系.線性代數[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]胡冠章，王殿軍.應用近世代數[M].北京：清華大學出版社，2006.

[4]孫杰.應用型人才培養中的線性代數課程教學模式的研究與實踐[J].赤峰學院學報，2009，（25）：21-22.

[5]周全華.淺析線性代數的高效教學方法[J].數學學習與研究，2013（15）：13-14.endprint