基于擴展有限元研究裂紋擴展過程

(四川大學建筑與環境學院 四川 成都 610065)

基于擴展有限元研究裂紋擴展過程

田何易曾祥國

(四川大學建筑與環境學院四川成都610065)

擴展有限元(extended finite element method,XFEM)在現代社會科學研究領域中扮演者重要的角色，對于求解不連續問題有著其獨特的優勢，相比傳統有限元中的諸多限制，擴展有限元對于多元化問題同樣得以解決。裂紋擴展過程考慮到其不穩定性和奇異性，采用擴展有限元可簡化其計算難度，使結果更精確化，提高結果的可靠性。

擴展有限元；裂紋擴展；permix；位移偏移

一、引言

隨著時代進步，對于各種事故的風險評估由最初的基本誘因(如環境、人員、技術制度等)漸漸發展至如今的精確原因分析，從宏觀原因到微觀原因是一個必然的趨勢。因此，對于裂紋擴展過程務必有一個清晰的認識，進而達到延長結構壽命，降低人物損失的目的。故國內外學者對于裂紋擴展均進行了深入研究，在理論與實踐方面均進行了大量的工作。如高階擴展數值流形法[1]改進了傳統的數值流形法[2]，更為準確地預測裂紋擴展方向，提出裂紋擴展過程中適用于大小變形的物理覆蓋系統的更新算法。彈塑性疲勞中的裂紋擴展過程[3]模擬了裂紋擴展在彈塑性體中的擴展過程，驗證了裂紋擴展過程中溫度的變化亦可適用于裂紋擴展規律。單軸壓縮下的裂紋擴展研究[4]。

因裂紋擴展過程中會涉及到斷裂的問題，因此有限元的工作原理與特性決定了它將不再適用于裂紋擴展[5]。1999年美國西北大學Belytschko[6]基于有限元工作模式下求解不連續問題的擴展有限元法(extended finite element method，XFEM)。該方法的核心在于反應不連續跳躍函數及裂尖漸進位移場函數，通過獨立于裂紋區的有限元網格(裂紋擴展亦不需重構網格)分析如裂紋、孔洞等不連續問題。

二、具例分析

(一)軟件簡介。Permix是一款采用先進的數值方法對相關問題進行模擬分析，適用于多尺度模擬的軟件平臺。其核心在于基于Fortran2003平臺有限元的編譯，利用其特有性能建造相關或開源或商業界面，以致完成諸如等式求解器、有限元部分、分子動力學部分等的任務。

本文以permix為基礎平臺，模擬了一側預制裂紋的受拉殼模型，耦合了有限元與擴展有限元的問題，并隨時間遞增觀察其裂紋擴展情況以及分析X，Y方向位移分布規律并計算了自裂紋開裂至停止期間的應力強度因子，觀察其變化情況。

圖1 模型與預制裂紋

(二)范例與分析。如圖1，設一長為2m寬為1m的矩形薄壁板，并于一側預制一條長為0.45m的裂紋(紅色標出)，并標注裂紋左右兩點A、B，以便之后對比分析，根據permix運行定則裂紋附近區域為XFEM分析區域，其他區域為FEM分析區域。現在右端作用一個除上下端點外值為900KN的均布作用力，上下兩端則作用450KN的力，定義時間步長為70s前為10s，73-80s為1s，共作用80s，材料定義為彈性模量為200Mpa，泊松比為0.3的空材料。

0-30s過程為施力過程，在右側施力未達到設定值之前裂紋均未出現擴展；73-80s為施力值達到設定值后裂紋出現向右擴展的現象。在裂紋初始端兩邊裂紋的間距最大，隨著裂紋的擴展間距逐漸減小，最后至裂尖重合，裂紋在擴展開始時向右偏轉，擴展有限元單元則隨著裂紋的擴展而不斷的進行調整。

同時，其X方向的位移云圖如圖2所示

圖2 X方向的應力云圖

Y方向的應力云圖如圖3：

圖3 Y方向的位移云圖

在X方向的位移云圖中可以看出，0-30s階段裂紋未出現擴展，但裂紋右側已經出現了少量的X方向的偏移，73-80s階段裂紋明顯向右擴展且自裂紋起始端開始直至最右施力處，X方向位移呈現出隨Y方向坐標的階梯狀增長，在最右施力端達到最大值。

同樣，在Y方向的位移云圖中，0-30s依然保持穩定不增長狀態，73-80s階段則跟X方向位移云圖類似，出現隨X方向坐標的階梯狀增長。

現對裂尖位移進行分析，根據裂尖擴展方向，得到其裂尖位移圖4：

圖4 裂尖位移圖

同時根據裂尖位移圖得出裂尖速度圖：

圖5 裂尖速度圖

根據圖5，由于73s以前裂紋未擴展，即位移為零，故不納入探討范圍。自73s開始，裂紋出現擴展，裂尖X，Y方向均出現位移，并于79s時停止。X，Y方向速度均隨時間處于遞增狀態，兩個方向速度處于較均勻遞增，且Y方向的速度增速高于X方向，故兩方向速度雖時間增加越來越接近。

三、結論

(1)對于求解裂紋問題擴展有限元法比有限元法更能適應于跟蹤研究裂紋面，簡化了裂紋尖端附近網格過密的問題[7]，因其網格獨立特性，對于復雜裂紋、計算效率及精度以及J積分計算等方面均有其不可替代的優勢。

(2)根據算例表明，裂紋擴展與作用力的大小和方向有直接關系[8]，裂紋的作用力一側當裂紋擴展時會出現明顯的偏移且速率亦逐漸增加，而裂紋另一側當裂紋擴展時則幾乎沒有發生偏移現象。

(3)對于裂紋未開始擴展時施加作用力出現的位移增量，認為是材料受力的彈性增量。

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[8]楊珺.平面裂紋擴展分析的擴展有限元法[D].南京航空航天大學,2007.

StudyonProcessofCrackPropagationBasedonXFEM

TIANHe-yi，ZengXiang-guo

(SichuanUniversity，Sichuan，610065)

XFEM;crack propagation;permix;displacement deviation

Abstruct:XFEM(extended finite element method)counts a lot in modern social science.Comparing the stereotype of traditional FEM(finite element method),XFEM can fix discontinuous and diversified problem.Crack propagation,considering its instability and singularity,should be solved by XFEM to simplify related problems to precise result.

田何易(1992-)，男，漢族，四川人，在讀研究生，四川大學建筑與環境學院，工程力學；曾祥國(1960-)，男，漢族，教授，四川大學建筑與環境學院，研究方向計算固體力學。