數學中的“合分割補”思想

韋有禮

摘要 “合分割補”思想是整個中學階段中一個非常重要的思想，它在代數和幾何方面應用廣泛，這四個字中“合”即為“合并”之意，“分”即為“分開”、“拆開”之意，“割”與“補”是相互的。本文通過擷取教學過程中的幾個例子來展現這種思想，幫助學生能夠有所啟發，培養學生學習數學的積極性。

關鍵詞：合分割補，數列，函數，不等式

一、在數列中應用

例：寫出下列數列通項公式

分析：求數列的通項公式要尋找項與序號之間的關系。第一個數列可看出 是1 個-1， 是2個-1 相乘， 是3個-1相乘，因此 。再來

求第二個，第二個與第一個數列有沒有一點關系呢？這是一個擺動的數列，它能否轉化成第一個數列呢？此時就需要利用割補法去求

了，由于3與5的中間數是4，這里如果每一項都割掉中間數 的話，那么這個數列就變成 它和第一個數列是一樣的，這樣就可以寫出通項公式，并補上割掉的數，即 。類似地，第三個數列也要割掉中間數 ，但此時變成 ，而這個數列恰好是第一個數列的1.5倍，因此數列的通項公式為 。

二、在函數中的運用

我們在小學學習分數的運算法則時，有這樣一條：同分母分數相加減，分母不變，分子相加減。這條性質的逆向用代數式表示為：

，雖然等式很明顯，但卻蘊含著非常重要的合分思想。

例：求下列函數的值域

分析：這三個函數都是分式函數，不是熟悉的初等函數，但都可利用

這條性質將其拆分為熟悉的初等函數。如第一個函數可化為

，

那么當 時， ，從而第一個函數值域為（2，3）。第二個函數當 時，容易得到

從而函數值域為 。第三個函數在分解時候較為復雜，在這里采用整體思想，即把分母 看做一個整體，分子部分用這個整體來表示，則

由于 項展開比 項多出了 ，所以要減去這部分，實際上這里還是利用割補的思想，當然在這里有一個更形象的表述為：“有借有還”思想，即 “借”了 項變為（X+1），然后又“還”出即減去 項，使式子保持等價變形，而后邊的一次項及常數項也可用分母來表示，這樣處理的目的就是為了“湊”出和分母一樣的式子，再利用分數運算性質將其拆開：

由于 ，由基本不等式可得

，

所以函數的值域為 。

暢銷書籍《怎樣解題》中，波利亞提出在解題過程中要將不熟悉的條件轉化為熟悉的條件。以上求函數值域的問題，充分利用了合分割補的思想，把不熟悉的函數轉化為熟悉的函數，這樣問題就會變得更加簡單

三、在一些代數式的變形中的運用

一些代數式的變形也涉及到這種思想，比如下面例題

例、因式分解

分析：為了分解這三個代數式，我們先令它們都等于零看做一個方程，比如第（1）個為 ，

觀察很容易發現 是方程的一個根，那么這個式子必有一個

因式 ，所以 ，

這里為什么 項后邊減去 這一項呢？實際上是為了把最高次 項分解出 這個因式，那么剩下的部分也一定能分解出 因式。這個過程形象地比喻為：有一堆糖果，其數量是多少不確定，只知道是5的倍數，現在從中取出10塊糖果（即取出數量是5的倍數），則剩下部分一定是5的倍數。第（2）個式子，通過試根可以看出 時， ，故有

第三個方程 試根發現 時滿足，類比上述過程原式可化為：

例2、證明：命題“如果一個三位數能夠被3 整除，那么這個三位數字之和也能被三整除”是真命題。

分析：假設 是三位數 ，由于實數是十進制的，因此這個數也可以寫成 ，現在問題轉化為 這個數能夠被3整除，利用合分割補思想我們可以把這個式子分離出一個 ，此時變為 ，由于上式中第一個括號里的數可以被3整除，因此要使 能夠被3整除，則 一定能夠被3整除。

以上只是筆者從三個方面來簡單介紹合分割補思想的運用，當然還有很多的地方都利用到此思想，在此就不再一一介紹，合分割補思想是中學里邊非常重要的思想，我們在平時教學中要講解好這種思想，提高學生數學思維能力。