數(shù)學(xué)中的“合分割補(bǔ)”思想

韋有禮

摘要 “合分割補(bǔ)”思想是整個(gè)中學(xué)階段中一個(gè)非常重要的思想，它在代數(shù)和幾何方面應(yīng)用廣泛，這四個(gè)字中“合”即為“合并”之意，“分”即為“分開(kāi)”、“拆開(kāi)”之意，“割”與“補(bǔ)”是相互的。本文通過(guò)擷取教學(xué)過(guò)程中的幾個(gè)例子來(lái)展現(xiàn)這種思想，幫助學(xué)生能夠有所啟發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

關(guān)鍵詞：合分割補(bǔ)，數(shù)列，函數(shù)，不等式

一、在數(shù)列中應(yīng)用

例：寫出下列數(shù)列通項(xiàng)公式

分析：求數(shù)列的通項(xiàng)公式要尋找項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系。第一個(gè)數(shù)列可看出 是1 個(gè)-1， 是2個(gè)-1 相乘， 是3個(gè)-1相乘，因此 。再來(lái)

求第二個(gè)，第二個(gè)與第一個(gè)數(shù)列有沒(méi)有一點(diǎn)關(guān)系呢？這是一個(gè)擺動(dòng)的數(shù)列，它能否轉(zhuǎn)化成第一個(gè)數(shù)列呢？此時(shí)就需要利用割補(bǔ)法去求

了，由于3與5的中間數(shù)是4，這里如果每一項(xiàng)都割掉中間數(shù) 的話，那么這個(gè)數(shù)列就變成 它和第一個(gè)數(shù)列是一樣的，這樣就可以寫出通項(xiàng)公式，并補(bǔ)上割掉的數(shù)，即 。類似地，第三個(gè)數(shù)列也要割掉中間數(shù) ，但此時(shí)變成 ，而這個(gè)數(shù)列恰好是第一個(gè)數(shù)列的1.5倍，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為 。

二、在函數(shù)中的運(yùn)用

我們?cè)谛W(xué)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則時(shí)，有這樣一條：同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，分子相加減。這條性質(zhì)的逆向用代數(shù)式表示為：

，雖然等式很明顯，但卻蘊(yùn)含著非常重要的合分思想。

例：求下列函數(shù)的值域

分析：這三個(gè)函數(shù)都是分式函數(shù)，不是熟悉的初等函數(shù)，但都可利用

這條性質(zhì)將其拆分為熟悉的初等函數(shù)。如第一個(gè)函數(shù)可化為

，

那么當(dāng) 時(shí)， ，從而第一個(gè)函數(shù)值域?yàn)椋?，3）。第二個(gè)函數(shù)當(dāng) 時(shí)，容易得到

從而函數(shù)值域?yàn)?。第三個(gè)函數(shù)在分解時(shí)候較為復(fù)雜，在這里采用整體思想，即把分母 看做一個(gè)整體，分子部分用這個(gè)整體來(lái)表示，則

由于 項(xiàng)展開(kāi)比 項(xiàng)多出了 ，所以要減去這部分，實(shí)際上這里還是利用割補(bǔ)的思想，當(dāng)然在這里有一個(gè)更形象的表述為：“有借有還”思想，即 “借”了 項(xiàng)變?yōu)椋╔+1），然后又“還”出即減去 項(xiàng)，使式子保持等價(jià)變形，而后邊的一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)也可用分母來(lái)表示，這樣處理的目的就是為了“湊”出和分母一樣的式子，再利用分?jǐn)?shù)運(yùn)算性質(zhì)將其拆開(kāi)：

由于 ，由基本不等式可得

，

所以函數(shù)的值域?yàn)?。

暢銷書(shū)籍《怎樣解題》中，波利亞提出在解題過(guò)程中要將不熟悉的條件轉(zhuǎn)化為熟悉的條件。以上求函數(shù)值域的問(wèn)題，充分利用了合分割補(bǔ)的思想，把不熟悉的函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，這樣問(wèn)題就會(huì)變得更加簡(jiǎn)單

三、在一些代數(shù)式的變形中的運(yùn)用

一些代數(shù)式的變形也涉及到這種思想，比如下面例題

例、因式分解

分析：為了分解這三個(gè)代數(shù)式，我們先令它們都等于零看做一個(gè)方程，比如第（1）個(gè)為 ，

觀察很容易發(fā)現(xiàn) 是方程的一個(gè)根，那么這個(gè)式子必有一個(gè)

因式 ，所以 ，

這里為什么 項(xiàng)后邊減去 這一項(xiàng)呢？實(shí)際上是為了把最高次 項(xiàng)分解出 這個(gè)因式，那么剩下的部分也一定能分解出 因式。這個(gè)過(guò)程形象地比喻為：有一堆糖果，其數(shù)量是多少不確定，只知道是5的倍數(shù)，現(xiàn)在從中取出10塊糖果（即取出數(shù)量是5的倍數(shù)），則剩下部分一定是5的倍數(shù)。第（2）個(gè)式子，通過(guò)試根可以看出 時(shí)， ，故有

第三個(gè)方程 試根發(fā)現(xiàn) 時(shí)滿足，類比上述過(guò)程原式可化為：

例2、證明：命題“如果一個(gè)三位數(shù)能夠被3 整除，那么這個(gè)三位數(shù)字之和也能被三整除”是真命題。

分析：假設(shè) 是三位數(shù) ，由于實(shí)數(shù)是十進(jìn)制的，因此這個(gè)數(shù)也可以寫成 ，現(xiàn)在問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 這個(gè)數(shù)能夠被3整除，利用合分割補(bǔ)思想我們可以把這個(gè)式子分離出一個(gè) ，此時(shí)變?yōu)?，由于上式中第一個(gè)括號(hào)里的數(shù)可以被3整除，因此要使 能夠被3整除，則 一定能夠被3整除。

以上只是筆者從三個(gè)方面來(lái)簡(jiǎn)單介紹合分割補(bǔ)思想的運(yùn)用，當(dāng)然還有很多的地方都利用到此思想，在此就不再一一介紹，合分割補(bǔ)思想是中學(xué)里邊非常重要的思想，我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)中要講解好這種思想，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。