淺談高中數學線性變換的解題技巧

李浩然

摘 要：在新課改之后，要求高中生不僅要學會靈活運用學科基礎知識解決問題，還要利用課余時間學習自身興趣的知識點，使得每個人都能得到全面發展和鍛煉。高中線性變換雖然作為選修章節，但是其所蘊含的內容是銜接高中與大學的關鍵點，掌握線性變換的基礎知識也就是提前了解和學習了大學所要接觸的高等數學知識模塊，即矩陣問題。因此，筆者立足于高中選修的重要知識點——線性變換，先闡述其概念及性質，然后來探究如何巧妙解決高中數學中線性變換的難題，從而為初等數學過渡到高等數學做提前的準備。

關鍵詞：數學 線性變換 解題技巧

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2017）11-0-01

一、高中數學線性變換的概述

1.線性變換的概念

線性變換一般是指，在構建的xOy坐標系內，存在至少一個點或多個點的集合A與另一個相對應的至少一個或多個點的集合B兩者之間按照一定規則可以相互變換，且不同的點與所轉變后的點不相同，即在平面直角坐標系中，把形如 進行幾何變換，這就叫做線性變換。

2.線性變換的基本性質

線性變換具有三個基本性質，第一個性質是任何向量乘于零都為零，數學表達式為：T（0）=0；第二個性質是任何向量乘于任何一個負向量等于兩個向量相乘的負數，數學表達式為：T（-a）=-T（a）；第三個性質是線性變換滿足乘法交換律、結合律，即 ，其中A是一般矩陣， 是平面直角坐標系內任意的兩個向量， 是任意實數。

二、高中數學線性變換的解題技巧

1.數形結合

例1：在平面直角坐標系xOy中，已知平面區域A={（x，y）|x + y≤1，且x≥0，y≥0}，求平面區域B={（x + y，x - y）|（x，y）∈A}的面積。

解析：本題考察的是線性變換結合不等式的應用難點，解決該問題首先要分析題干信息，根據題目給出的信息列出平面區域A的不等式條件。由于本題平面區域B存在與平面區域A相重合的未知數，因此要假設兩個新的未知數替代B的條件，再將新的未知數條件代入A中就能很快確定B的向量表示，最后快速建立平面直角坐標系畫出平面區域B的圖形就能的出其面積的大小。

設：未知數 u=x+y，v=x-y

那么 x= ，y=

因為A中滿足 x+y≤1，x≥0，y≥0

所以u≤1，u+v≥0，u-v≥0.

如圖所示，可將未知數u 、v所含條件建立平面直角坐標系，其面積為：

S=1/2*2*1=1

2.線性變換的不變性

例2：已知在一個二階矩陣M對應變換的作用下，點A（4，4）變成了點A（6，8），點B（4，0）變成了點B（1，4），求該二階矩陣M。

解析：本題重點考察二階矩陣進行線性變換的過程及反推技巧，解決這類題目可以利用線性變換的性質，即線性變換滿足乘法的交換律及結合率，再結合二階矩陣運算規律進行代入求值。縱觀題目可以發現本題是將二階矩陣作為線性變換的條件，因此需要首先假設一個二階矩陣，再根據題干信息代入求值即可。

解析：本題考察的是對二階矩陣運算及線性變換中線段的轉換知識點部分，很多同學在看到該類型題目時總會不知所措，但只要認真挖掘題干信息，就能發現求解該種題目其實很簡單。首先根據題干信息求出M、N結合后的矩陣，再假設經過線性變換后的直線表達式的未知數，代入MN中就能有效解答該題目。

三、結束語

高中線性變換問題作為一種數學的轉換方法是高中數學學習中的選修項目，雖然其靈活和多變的特性導致了其難度程度較高，但其作為銜接初等數學與高等數學的知識點是高中生應該學習的重點。本文淺顯地分析了解決線性變換類型題的技巧，旨在分享筆者在學習過程中積累的經驗與解題的思路，讓更多的同學能夠在應對線性變換問題時有更多的解決途徑。學習高中線性變換知識能夠更好地為今后學習高等數學提供幫助，因此，作為高中生不僅應該熟練掌握課本上的知識，還應提前學習一些與課內相關的課外重點知識，為進入大學做準備。

參考文獻

[1]高中數學選修4-2

[2]巧建平面直角坐標系求解向量問題.《福建中學數學》.黃國斌.2015.endprint