圓周運動中臨界問題的解法

張懷英

摘 要：臨界點就是指物體由這種狀態轉化為另一種狀態的條件，圓周運動中的臨界常常會有“最小”、“最大”、“恰好”等詞語，臨界狀態是圓周運動中最為常見也是難以解決的知識。高考中關于圓周運動的臨界問題也是常考的內容。

關鍵詞：最值點；關鍵點；合理轉化

圓周運動與平拋運動等曲線運動不同，引入了向心力這一概念，有自己獨特的解決方法以及解題公式。而對于臨界情況的探討，在本文中分別介紹三種不同情況以及舉例分析，希望可以幫助學生更好的理解并掌握此類問題的解法。

一、 定位最值點，巧解豎直平面內臨界問題

豎直平面內的臨界問題是最為典型的變速圓周運動，在高中物理階段我們只需要掌握物理最低點以及物理最高點就可以了，因為常在這里出現臨界情況。課堂上學習的繩模型以及桿模型相信學生都有所掌握，就不在這里詳細介紹。

【例1】 如圖所示，質量為m的小球固定在輕桿一端，小球在豎直平面內繞桿的另一端O做半徑為R的圓周運動，以下說法中錯誤的是（）

A. 小球過最高點時，桿所受的彈力不可以為零

B. 小球過最高點時，最小速度為gR

C. 小球過最高點時，桿對球的作用力可以與球所受重力方向相反，此時桿對球的作用力一定小于或等于重力

D. 小球過最低點時，小球所受重力方向與桿對球的作用力一定相反

【解析】 首先判斷出本題是桿模型，即有支持力物體過最高點問題。這時過最高點的速度是可以為0的，而在繩模型中過最高點的最小速度為gR。v=gR是桿模型問題過最高點分情況討論的分界線。若等于它，就是只有重力提供向心力的情況，這時桿所受彈力為0。若小于它，重力大于所需要的向心力，桿就要給球提供向上的支持力，此時最大的支持力就是球在最高點速度為零時的情況，支持力和重力相等。若大于它，重力小于向心力，桿就會提供一個拉力，拉力大小與速度大小有關。而在最低點時，向心力向上，而小球所受重力卻向下，桿對球的作用力一定比重力大并且反向。這樣才會使合力向上提供向心力。綜上，選擇AB。

【點撥】 本題中雖為桿模型，但是其中的選項卻多次涉及繩模型中的臨界情況，這給學生的解題帶來困惑，需要學生掌握根本的推理過程，不能死記硬背結論，否則容易混淆，導致錯選。這也是對學生掌握知識靈活性與穩固性的一種檢驗。

二、 抓住關鍵點，計算水平面內的臨界問題

水平面內的圓周運動臨界情況多與摩擦力以及繩的拉力有關，因為這些力的引入會讓分析過程變得復雜，大大增加題目的難度。這類題目需要學生具有良好的分析推理能力，抓住關鍵點（如角速度、力等）進行分析，會使條理思路清晰，便于解題。

【點撥】 本題可以說是多種情況多種力的完美結合，題中既有力的臨界問題又和圓周運動相結合，體現了近年來高考的熱點，即知識的綜合運用。關鍵點的掌握是需要學生多加練習的，不能盲目的認為向心力或者角速度就是突破點，我們必須因題而議。

三、 合理轉化，攻破傾斜平面內臨界問題

傾斜平面的難點就在于力的方向與傳統的水平或者豎直方向不同，我們若掌握力的合成分解，把我向心力的根本來源，就可以化傾斜為水平或者豎直，進而再利用上面提到的相關方法或者思路解題，這是此種情況需要學生掌握的關鍵。

【例3】 如圖所示，長為L的細繩一段固定在傾角為θ的光滑傾斜平面上，另一端有一質量為m的小球，小球沿斜面做圓周運動，小球若能通過最高點，則在最低點的速度最小為多少。

【解析】 觀察發現，本題與豎直平面內的繩模型類似，如果可以轉化為豎直平面內的問題，那解題就相對簡單了很多。這時我們引入等效重力，這一物理概念不光在此處提到，在電磁場中也是經常引出的，目的就是將重力分解，讓其中的一個力實現與重力類似的效果，進而方便解題。如右圖所示，將重力進行如下分解。即分解后g′=gsinθ。由豎直平面內的繩模型過最高點問題，我們可以直接得出T≥5mg′，即v≥2g′L=2gLsinθ。

【點撥】 傾斜平面內的圓周運動看似復雜，需要分析的力有很多，但是只要我們的思想可以轉化，正如本題中所示，便可以實現問題的簡化。傾斜平面也就不再是學生懼怕的難點，知識的靈活運用是解決物理問題的關鍵所在。

通過對三種情況下圓周運動問題的討論，基本上覆蓋了常規的圓周運動中的臨界問題（電磁場中的圓周運動除外）。通過不同知識的相互結合，使問題的難度變得更高。我們通過上面的討論講解，可以看出解題方法是類似的，即分析臨界狀態時物體的力、角速度、速度等物理量，再根據相關知識得出最終結論。endprint