對泰勒級數展開倍角公式的單擺周期研究

單長吉，張 瑤，楊海燕，徐 楠，龍 燁

（昭通學院 物理與信息工程學院，云南 昭通 657000）

對泰勒級數展開倍角公式的單擺周期研究

單長吉，張 瑤，楊海燕，徐 楠，龍 燁

（昭通學院 物理與信息工程學院，云南 昭通 657000）

利用泰勒級數對高倍角進行展開，得到一系列單擺周期近似公式，并與已有的單擺周期近似公式進行比較，結果表明：泰勒級數展開的一系列公式精度較高，能夠加深對單擺周期涵義的理解.

倍角公式； 泰勒級數； 近似公式； 局部常化

單擺是大學物理中的一個重要實驗，但實驗用的公式僅適用擺角θ≤5°，擺角大時將產生較大的誤差.因此，有必要推導出一些適用于大擺角的周期近似公式.本文將在參考文獻[1]-[2]提出的倍角公式方法基礎上，利用泰勒級數展開高倍角，從而得到一系列的單擺周期近似公式，并對公式進行討論.

1 定義腳標

因文中字符較多，特別對文中腳標進行如下定義:Tabc，a為倍角數；b表示為泰勒級數展開的級數，二級展開用數字1來表示，三級展開用數字2來表示；c為待定系數所在公式的序數.如λ411表示：用泰勒級數二級展開的四倍角公式，需要確定的第一個待定系數.

2 預備公式

單擺無阻尼振動的動力學方程為：

角振幅時θ0→0的周期極限為：

正弦函數四倍角到七倍角的公式如下：

3 應用泰勒級數對高倍角展開的單擺周期近似公式推導

以四倍角為例，來說明泰勒級數展開在倍角公式中得應用.將公式（3）局部常化如下：

則其泰勒級數二級、三級展開近似值為：

將(7)式局部常化結合（9）式有：

將（11）式代入（1）式四倍角得泰勒級數二級的單擺周期近似公式為 ：

同理將（10）式代入（7）式，綜合后代入（1）式得：四倍角泰勒級數三級展開單擺周期近似公式為：

同理，五倍角泰勒級數二級展開的單擺周期近似公式為：

五倍角泰勒級數三級展開的單擺周期近似公式為：

六倍角泰勒級數二、三級展開的單擺周期近似公式分別為：

七倍角泰勒級數二級、三級展開的單擺周期近似公式分別為：

從公式（12）-（19），可以看出需要確定公式中的待定系數[4]-[5].將上述周期公式Tab（a為倍角數；b為泰勒級數展開級數，數字1為泰勒級數二級展開，數字2為泰勒級數三級展開，下同；）改寫為的形式，將實測周期T（擺角：間隔：2°；）與T0之比寫為利用Matlab軟件，求出yab與y的最小二乘法誤差為極小值時，相應的 和 就是修正后的待定系數值.

以四倍角為例，來說明待定系數的確定過程.

表1給出了各級倍角采用泰勒級數展開時的待定系數，圖1-圖8分別為采用泰勒級數展開的各級倍角近似公式與實測值之間的最小二乘法誤差圖.

表1.泰勒級數展開待定系數表

圖1.四倍角泰勒二級展開誤差圖

圖2.四倍角泰勒三級展開誤差圖

圖3.五倍角泰勒級數二級展開誤差圖

圖4.五倍角泰勒級數三級展開誤差圖

圖5.六倍角泰勒級數二級展開誤差圖

圖6.六倍角泰勒三級展開誤差圖

圖7.七倍角泰勒級數二級展開誤差圖

圖8.七倍角泰勒三級展開誤差圖

4 泰勒展開的近似單擺周期公式精度比較

表2 利用泰勒級數展開近似公式與實測值誤差

從文獻[6]中，可知目前已有的部分單擺周期近似公式如下，其形式采用

利用最小二乘法，將（20）式-（27）式與實測值的誤差進行比較，圖9-圖16為誤差圖，表3為（20）式-（27）式的誤差精度.

圖9.y1與實測值的誤差

圖10.y2與實測值的誤差

圖11.y3與實測值的誤差

圖12.y4與實測值的誤差

圖13.y5與實測值的誤差

圖14.y6與實測值的誤差

圖15.y7與實測值的誤差

圖16.y8與實測值的誤差

表3 已有公式與實測值的誤差

5 討論

（1）從公式（12）-公式（19）結合表1可以看出，隨著倍角的增加，需要確定的待定系數的數目也隨之增加；這在客觀上增加了推導近似公式的難度.

（2）從圖1-圖8結合表2可以看出：倍角數相同時，四,六,七倍角數的二級近似周期均比自身三級近似周期精確，五倍角的三級近似周期比二級近似周期精確.

（3）從圖9-圖16結合表3與表2的比較結果，能夠看出用泰勒級數展開倍角推導出的單擺周期近似公式的精度要高于已有的近似公式.

（4）從圖1-圖16可以看出，誤差在4°，6°時較大，這是因為本文采取的與實測值進行比較，由于小角度時存在扭擺，造成誤差相對其他組角度時大一些，但并不影響對近似公式的整體評價.

小結

通過利用泰勒級數對高倍角展開，從而得到單擺周期的近似解，為研究單擺周期提供了新的思路，另一方面，對于加深對單擺周期的理解也是大有幫助的.

[1]譚志中.求大擺角單擺周期近似解的“局部常化”方法[J].大學物理，2005,12(24):14-17.

[2]譚志中，羅禮進.用局部常化三倍角公式研究單擺周期[J].大學物理，2007,26(11):25-28.

[3]于鳳軍，景義林.一個單擺周期近似公式[J].大學物理,2007,26(5):18-19.

[4]單長吉，潘夢鵠，李林，等.用局部常化倍角公式研究單擺周期的討論[J].高師理科學刊，2011，31（1）：54-56.

[5]鞠衍清，張風雷.單擺運動周期近似公式的數值推導及修正[J].大學物理，2007,26(5)：15-17.

[6]鞠衍清，張風雷.基于MATLAB的單擺周期的比較[J].大學物理，2007,26(3)：6-9.

A Study Of The Simple Pendulum Period of High Angle Formula On Taylor Series Expansion

SHAN Chang-ji, ZHANG Yao, YANG Hai-yan, XU Nan, LONG Ye
(School of Physics and Information Engineering, Zhaotong University, Zhaotong 657000)

A series of single pendulum approximate formula are derived by using Taylor series expansion for the high angle.Though these formulas comparing with the existed approximate formula of single pendulum ,the results show that: a series of formula of high precision Taylor series expansion, can deepen understand for the meaning of the period of single pendulum.

high angle formula; Taylor series; approximation formula; local normalization

O313

A

2095-7408（2017）05-0020-05

2017-03-21

云南省教育廳科學研究基金資助項目 (2014Y499) .

單長吉（1979- ），男，吉林省吉林市人，副教授，碩士，主要從事大學物理教學與科研工作.