非奇異M-矩陣及其逆矩陣Hadamard積最小特征值的新估計

劉 新

（四川信息職業(yè)技術(shù)學院 基礎(chǔ)教育部， 四川 廣元 628017）

非奇異M-矩陣及其逆矩陣Hadamard積最小特征值的新估計

劉 新

（四川信息職業(yè)技術(shù)學院 基礎(chǔ)教育部， 四川 廣元 628017）

設(shè)A是非奇異矩陣，利用圓盤定理和逆矩陣元素的估計式，給出AοA-1的最小特征值的一些新下界估計式.通過理論分析與數(shù)值算例，說明新估計式改進了現(xiàn)有的一些結(jié)果.

矩陣； Hadamard積； 最小特征值； 圓盤定理

1 引言

2 預(yù)備知識

定義1[1,2]設(shè)則矩陣A可表示為A=λI-Q，其中Q≥0, 當λ≥ρ（Q）時，則稱A為M_矩陣.

定 義2[1,2]設(shè)∈Mn，A0.B表示為A和B的對應(yīng)元素作乘積得到的n階方陣，即而 A0.B稱為矩陣A與矩陣B的Hadamard積 .

定義3[1,2]設(shè)那么矩陣A的最小特征值可記為(其中σ(A)表示A的譜).

關(guān) 于 τ（AοA-1） 的 研 究，F(xiàn)iedler和Markham首先在文獻[2]中得出結(jié)論：若A和B

2007年，李厚彪等[3]改進了上述結(jié)果，得出：

李耀堂等人[4]改進李厚彪等人的結(jié)論，得到如下估計結(jié)果：

2011年，李耀堂，劉新等人[5]又改進了上述結(jié)果：

2013年，楊曉英等人在文獻[6]中給出了如下一個估計式：

2012年，文獻[7]中得出如下結(jié)論：

3、記號與引理

我們先給出一些記號,記[2-6]:

引理1[5]設(shè)A=（aij）∈Mn是行嚴格對角占優(yōu)M矩陣， A-1=（βij），則

引理2[5]設(shè)A=（aij）∈Mn是行嚴格對角占優(yōu)M矩陣, A-1=（βij）是雙隨機矩陣， 則

引理 3[8]設(shè)為正實數(shù)，則矩陣A的所有特征值都位于下列范圍之中

4 、τ（AοA-1）的估計

定理1 設(shè)A=（aij）∈Mn是不可約M矩陣,是雙隨機矩陣，則

證明: 由于A-1是雙隨機矩陣, 由文獻[4，定理3.2]可知，0＜mj≤1，i∈N.

令 λ=τ（AοA-1）, 由 引 理3知, 存 在i0（1 ≤ i0≤ n）, 使得

注：若A是可約矩陣，記G=（gij）為 n×n階置換矩陣，其中其余元素都為零.對于足夠小的正數(shù)ε，矩陣A-εG的所有順序主子式均為正.所以當ε＞0足夠小時，A-εG就是不可約M矩陣.用A-εG代替A，再令ε→0，則由連續(xù)性知結(jié)論仍然成立.

定理2 設(shè)A=（aij）∈ Mn為 M矩陣, A-1=（βij）為雙隨機矩陣，則

且

證明: 由文獻[5]中定理3.6的證明過程，可知

注: 由定理2的結(jié)論可知，定理1的結(jié)果優(yōu)于（3）式和（5）式.

由文獻[3，定理2.3]，文獻[1，定理4.6.5]和定理1，可得如下結(jié)果

5 算例分析

本例子引自文獻[3-6]，設(shè)

下面利用已有的估計式和本文的結(jié)論對τ（AοA-1）進行估計運算：

由本文定理1得：τ（AοA-1）≥0.9262；

事實上，τ（AοA-1）≥.09756.

由上述估計結(jié)果知, 定理1很好地改進了文獻[2-7]的結(jié)果.

[1]陳景良, 陳向暉.特殊矩陣[M].北京：清華大學出版社, 2000: 276-278, 296, 440-441.

[2]Fiedler M, Markham T.An inequality for the Hadamard product of an M-matrix and inverse M-matrix[J].Linear Algebra and Applications, 1988, 101(3): 1-8.

[3]Li Houbiao, Huang Tingzhu, Shen Shuqian, et al.Lower bounds for the minimum eigenvalue of Hadamard product of an M-matrix and its inverse[J].Linear Algebra and Applications, 2007, 420(1): 235-247.

[4]Li Yaotang, Chen Fubin, Wang Defeng.New lower bounds on eigenvalue of the Hadamard product of an M-matrix and its inverse[J].LinearAlgebra and Applications, 2009, 430(4):1423-1431.

[5]Li Yaotang, Liu Xin, Yang Xiaoying et al.Some new lower bounds for the minimum eigenvalue of the Hadamard product of an M-matrix and its inverse[J].Electronic Journal of Linear Algebra, 2011, 22(6): 630-643.

[6]楊曉英, 韓惠麗, 劉新.M-矩陣與其逆矩陣的Hadamard積最小特征值下界的估計[J].西南大學學報(自然科學版), 2013,35(6): 34-38.

[7]劉新, 楊曉英.M-矩陣與其逆矩陣的Hadamard積最小特征值的新下界[J].四川理工學院學報(自然科學版), 2012,25(2): 84-87.

[8]Vargar S.Minimal Gerschgorin sets[J].Pacific Journal of Mathematics, 1965, 15(2): 719-729.

[9]趙建興，桑彩麗.非奇異M-矩陣的Hadamard積的最小特征值的下界序列[J].西南師范大學學報(自然科學版), 2016,41(8): 1-5.

New Estimate for the Smallest Eigenvalue of Hadamard Product of Nonsingular M-matrices

LIU Xin

( Department of Basic Education, Sichuan Information Technology College, Guangyuan 628017, China )

If A is a nonsingular M-matrix.Some new lower bounds for the minimum eigenvalue of AοA-1are given by using Disk theorem and estimation formula for the elements of inverse matrix.Theoretical analysis and numerical example show that the new bounds improve several results in the literature.

M-matrix; Hadamard product; minimum eigenvalue; Disk theorem

O151.21

A

2095-7408（2017）05-0006-03

2017-07-10

四川省教育廳自然科學基金項目(NO.15ZB0465).

劉新(1983— )，男，山東濟寧人，講師，碩士，主要從事矩陣理論與應(yīng)用研究.