高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)不定積分求法研究

賀皖松，吳 娟

(亳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部， 安徽 亳州 236800)

高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)不定積分求法研究

賀皖松，吳 娟

(亳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部， 安徽 亳州 236800)

高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分求法是多元函數(shù)積分求法的基礎(chǔ)，在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中起舉足輕重的作用.根據(jù)調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生對高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)的多種不定積分方法混淆不清，機(jī)械套用公式，套用積分方法的現(xiàn)象屢見不鮮，沒有真正理解高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分方法的真諦.系統(tǒng)研究一元函數(shù)的不定積分的方法、本質(zhì)特點(diǎn)，積分準(zhǔn)則，結(jié)合代表性例題，給出求不定積分的基本步驟，對激發(fā)學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)的興趣，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)，提高教學(xué)質(zhì)量，都具有十分重要的意義[1].

高等數(shù)學(xué)；一元函數(shù)；不定積分；方法；步驟

引言

為深入了解高等院校學(xué)生對高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)不定積分方法的掌握情況，筆者從亳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院、亳州學(xué)院、安慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院、淮北職業(yè)技術(shù)學(xué)院,對四所院校的2016級已學(xué)過高等數(shù)學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)選取了200學(xué)生作為樣本，共發(fā)放問卷200份，收回有效問卷200份，回收率100%.經(jīng)整理取得的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)見表1-2.

表2 學(xué)生對高數(shù)一元函數(shù)不定積分方法未掌握的主要原因

從表1，表2我們明顯看出，有55%的學(xué)生沒有真正掌握高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)的積分方法，沒有掌握積分方法的主要原因是：積分方法概念模糊，多種積分方法混淆不清，積分計(jì)算的基本步驟思路不清等.因此研究一元函數(shù)的積分方法、準(zhǔn)則，計(jì)算步驟，使學(xué)生真正地理解、掌握一元函數(shù)的積分方法不僅對學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)具有實(shí)際指導(dǎo)意義，而且也有利于激發(fā)學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣；也為廣大教育工作者在高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分方法的教學(xué)中提供參考.

1 一元函數(shù)不定積分方法

一元函數(shù)的不定積分方法從大的方面分為直接積分法、換元積分法與分部積分法，其中換元積分法包括第一類換元積分法［2］與第二類換元積分法.每種積分方法有各自的特點(diǎn)與適用范圍，深刻理解不同積分方法的本質(zhì)特點(diǎn)與精神實(shí)質(zhì)是掌握一元函數(shù)積分方法的前提.

1.1 直接積分法

直接積分法的關(guān)鍵之處是對不定積分的概念及其基本的積分公式的熟練掌握程度，因此，教師在授課時(shí)必須采用靈活多樣的教學(xué)方法與手段強(qiáng)調(diào)不定積分的概念、基本積分公式的推導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生做適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生徹底掌握直接積分方法.

1.2 換元積分法

換元積分法有兩種情況，一種是第一類換元積分法；一種是第二類換元積分法.

第一類換元積分法也稱為湊微分法［2］，其本質(zhì)是把被積函數(shù)的一部分通過微分的性質(zhì)湊到微分符號的里面，轉(zhuǎn)化成基本的積分公式的形式，再利用基本積分公式求出所求的 積 分.例 如 求 積 分分 析：與結(jié)合，湊成換元結(jié)合基本的積分公式求出所求的結(jié)果.如

第二類換元積分法簡稱為去根號法，去根號的常用方法有簡單根式代換、三角代換、倒代換、雙曲代換、歐拉代換等［3］.無論何種代換，其本質(zhì)就是利用合適的脫除根號的方法脫除根號，經(jīng)化簡變形，結(jié)合基本積分公式及積分性質(zhì)，求出所求的積分.例如求積分使用直接積分法與第一類換元積分法都無法求出結(jié)果，必須使用第二類換元積分法才能求出所求積分.詳細(xì)解析過程如下：令則兩邊微分，則上述求解的過程，其本質(zhì)用數(shù)學(xué)公式來表示就是：設(shè) 是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，且如果則有如下等式成立：其中是的反函數(shù).

第二類換元積分法的三角代換、倒代換等代換與簡單根式代換本質(zhì)相同，就是利用有關(guān)三角恒等式去根號，化簡變形，求出結(jié)果的過程.

1.3 分部積分法

需要指出的是，有時(shí)分部積分法與換元積分法結(jié)合使用，才能求出所求的不定積分，如求積分其求解過程如下：

1.4 特殊類函數(shù)的積分法

這里的特殊類型函數(shù)積分是指有理分式函數(shù)、有理式三角函數(shù)等的積分.

有理分式求積分常用的方法是把被積函數(shù)用待定系數(shù)法［2］分解為若干個(gè)真分式函數(shù)的代數(shù)和，然后結(jié)合積分性質(zhì)，逐項(xiàng)積分求出結(jié)果.如求積分解答如下：把被積函數(shù)

三角函數(shù)有理式的積分常用的方法有萬能公式換元法、“1”的妙用法，分母簡化法、以及降冪法等，解題時(shí)要具體情況具體對待，要遵循一元函數(shù)求積分的簡易性準(zhǔn)則，不能一概而論.

2 求一元函數(shù)不定積分應(yīng)遵循的準(zhǔn)則

求一元函數(shù)的不定積分，有一定的章法可循，體現(xiàn)在要遵循的準(zhǔn)則上.

2.1 客觀性準(zhǔn)則

求一元函數(shù)的不定積分，首先要遵循積分方法的客觀性準(zhǔn)則.就是在求不定積分時(shí)，應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)來選擇與其相對應(yīng)的最為恰當(dāng)?shù)姆e分方法，而不是隨意去選擇任何一種積分方法.被積函數(shù)的客觀性本質(zhì)特點(diǎn)，決定積分方法的客觀性.

2.2 檢驗(yàn)性準(zhǔn)則

求一元函數(shù)的不定積分，就是求被積函數(shù)的全體原函數(shù).由于一個(gè)函數(shù)的全體原函數(shù)有無窮多個(gè)，但是在遵循客觀性準(zhǔn)則前提下，有時(shí)采用不同的方法所求的結(jié)果從外表上看可能不一樣，因此，就必須對所求的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).方法很簡單，只要對所求出的結(jié)果求導(dǎo)數(shù)，觀察求導(dǎo)后是否與被積函數(shù)完全相同.如果完全相同，則所求的積分是正確的，否則就是錯(cuò)誤的.對所求的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)的準(zhǔn)則，是確保結(jié)論正確，糾正錯(cuò)誤的有效途徑，必須遵循.

3 求一元函數(shù)不定積分的基本步驟

一元函數(shù)不定積分有其本身固有的客觀規(guī)律，按其規(guī)律求不定積分就能少走彎路.其規(guī)律體現(xiàn)在求積分的基本步驟上.

首先，觀察被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)其本質(zhì)結(jié)構(gòu)特征確定與之對應(yīng)的積分方法，求出積分.如果被積函數(shù)在形式上與基本積分公式一致或經(jīng)化簡、變形就能化成基本積分公式的形式，就采用直接積分法，求出所求的積分；如果通過湊微分，能化成基本積分公式的形式，就采用第一類換元積分方法求出積分；如果被積函數(shù)中含有根號，且根號只有通過換元的方法才能脫除，則采用第二類換元積分法求積分；如果被積函數(shù)是兩類不同性質(zhì)的函數(shù)的乘積形式，則采用分部積分法求之；如果被積函數(shù)是有理分式函數(shù)或有理式三角函數(shù)，則采用與之對應(yīng)的積分方法求出所要求的積分.其次，要檢驗(yàn)所求結(jié)果的正確性.最后，要反思，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，不斷完善積分方法，促進(jìn)學(xué)習(xí)興趣的提高.

4 結(jié)論

掌握一元函數(shù)的不定積分方法并不太難，只要真正理解每一種積分方法的特點(diǎn)、準(zhǔn)則、步驟，反復(fù)練習(xí)，勤于思考，就有可能做到游刃有余.掌握了一元函數(shù)不定積分的求法，對一元函數(shù)定積分的計(jì)算，對高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分的學(xué)習(xí)，對激發(fā)學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣都具有十分重要的意義.盡管隨著許多數(shù)學(xué)軟件如SPSS、等的開發(fā)與應(yīng)用，求一元函數(shù)的不定積分可以用電腦代替人腦，但是掌握并理解一元函數(shù)的積分方法的特點(diǎn)、求解步驟等仍然具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義，因?yàn)橹挥姓嬲莆樟擞嘘P(guān)積分方法的真諦，才有可能開發(fā)出更好、更優(yōu)秀的積分計(jì)算軟件.相信在不久的將來，一定有更多、更好的積分計(jì)算軟件問世.

[1]徐琪霞，趙蕊芬.會(huì)計(jì)實(shí)踐教學(xué)存在的問題及解決措施[J].經(jīng)濟(jì)師，2012（10）：92-93.

[2]曹勇.淺談不定積分的常用方法[J].科技信息，2012(10)：131+133.

[3]伍麗嫦.不定積分方法歸類[J].中國校外教育（理論），2007（8）:76+78-79.

[4]大學(xué)文科數(shù)學(xué)知識點(diǎn)與試題及解答[DB/OL].豆丁網(wǎng)，2015-08-25.http://www.docin.com/p-488808920.html

[5]同濟(jì)大學(xué)，天津大學(xué) 等.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2008:153 .

A Study of the Methods of Calculating Indefinite Integration of One-Variable Functions in Advanced Mathematics

HE Wan-song，WU Juan

(Basic Teaching Department，Bozhou Vocational and Technical College， Bozhou 236800，China)

Calculating integration of one-variable functions in advanced mathematics is the preliminary of calculating integration of multivariable functions, and plays a vital role in the study of advanced mathematics.According to research, many students are confused by the variety of methods to Indefinite integrate one-variable functions in advanced mathematics.Quite a few of them would inflexibly and blindly apply the formulate and the algorithms without understanding the essence of the methods of integrating one-variable functions in advanced mathematics.It is of great significance for stimulating students’ interest in studying advanced mathematics well, building solid foundation for study in the future,and improving teaching quality, to systematically study the methods and nature of Indefinite integration of one-variable functions as well as its guide-lines, and provide the basic steps and general procedures of Indefinite integration with reference to typical examples.

advanced mathematics； function of one variable,； indefinite integral；method ；step

O172.2

A

2095-7408（2017）05-0012-04

2017-09-19

2017年度安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計(jì)劃項(xiàng)目“數(shù)學(xué)建模在高職藥學(xué)類專業(yè)教學(xué)改革中的創(chuàng)新應(yīng)用研究”（gxy2017216）.

賀皖松（1972— ），安徽亳州人，講師，碩士，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)及數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析研究.