構(gòu)造相似三角形 破解一類(lèi)最值題

吳智勇

如圖1，已知直線AB：y=[-34]x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)E（2，0）在x軸上，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°<α<90°），連接E′A、E′B，求[23]E′B+E′A的最小值.

【思路突破】首先理解題目，弄清題目已知什么，用自己的語(yǔ)言敘述題目條件并與學(xué)過(guò)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái).題目已知直線AB：y=[-34]x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，告訴我們點(diǎn)A（4，0），B（0，3）.點(diǎn)E（2，0）在x軸上，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，則說(shuō)明點(diǎn)E′是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn).題目要求[23]E′B+E′A的最小值，這個(gè)問(wèn)題以前沒(méi)有見(jiàn)過(guò)，是個(gè)新問(wèn)題.與這個(gè)問(wèn)題相似的是求兩條折線段的和的最小值，那么我們能不能將[23]E′B轉(zhuǎn)化成某一條線段，從而將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問(wèn)題？又該從何處著手將[23]E′B轉(zhuǎn)化成系數(shù)為1的某一條線段？先進(jìn)行直覺(jué)判斷，題中的直線AB與y軸交于點(diǎn)B，其中OB=3，OE′=OE=2，比值恰好是[23]，由比值[23]猜想是否可以構(gòu)造一對(duì)相似比為[23]的相似三角形△COE′∽△E′OB？試試在y軸上取點(diǎn)C（0，[43]），連CE′，則[OCOE′]=[OE′OB]=[23]，又∠COE′=∠E′OB，所以△COE′∽△E′OB，從而[CE′BE′]=[OE′OB]=[23]，即CE′=[23]E′B，這樣欲尋找的[23]E′B+E′A的最小值就轉(zhuǎn)化為尋找CE′+E′A的最小值，由于點(diǎn)A、C是定點(diǎn)，因此只要點(diǎn)A、E′、C三點(diǎn)共線時(shí)就能取得最小值，[23]E′B+E′A=CE′+E′A≥AC，而AC=[OC2+OA2]=[（43）2+42]=

[4103]，因此[23]E′B+E′A的最小值為[4103].

【解后反思】解題要有靈感，不可呆板，題目要求[23]E′B+E′A的最小值，這是一個(gè)以前沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的新問(wèn)題.解題的切入口是聯(lián)想以前做過(guò)的問(wèn)題，將[23]E′B轉(zhuǎn)化成另一條線段CE′，從而將沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問(wèn)題.轉(zhuǎn)化的方法是由題目條件得出OB=3，O′E=OE=2，聯(lián)想比值[23]，從而將我們的思路往構(gòu)造相似三角形的方向上引導(dǎo)，轉(zhuǎn)化是解題的根本手段.

【同類(lèi)題鞏固】

1.如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C的半徑為2，點(diǎn)P為⊙C的一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則PA+[12]PB的最小值為 .

【解析】解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將[12]PB轉(zhuǎn)化為系數(shù)為1的某一線段，因此需要找一個(gè)定點(diǎn)，構(gòu)造一對(duì)相似三角形來(lái)轉(zhuǎn)化.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩定一動(dòng)”，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)得到線段和的最小值.考慮到BC=2PC，在CB上取點(diǎn)D，使CD=1，連接PC、PD，如圖4，則[CDCP]=[CPCB]=[12]，又∠PCD

=∠BCP，所以△CDP∽△CPB，DP=[12]BP，PA+[12]PB=PA+PD≥AD，當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立. AD=[CA2+CD2]=[37]，故PA+[12]PB的最小值為[37].

2.已知：⊙M的圓心為M（4，4），半徑為[22]，A（6，-1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在⊙M上，則PO+2PA的最小值為

【解析】考慮到OM=2PM，在OM上找一點(diǎn)B（3，3），連BP，則BM=[12]PM，由[BMPM]=[PMOM]=[12]，又∠M=∠M，所以△MBP∽△MPO，所以BP=[12]PO，PO+2PA=2（[12]PO+PA）=2（BP+PA）≥2BA，當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.根據(jù)勾股定理得AB=5，故PO+2PA的最小值為10.

3.已知：⊙B的圓心為B（1，1），交y軸于C（0，3），動(dòng)點(diǎn)P在⊙B上，連接PC、PO.則[2]PC

+[5]PO的最小值為 .

【解析】⊙B的半徑為[5]，OB=[2]，如圖8，連接BP，BO，在BO延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D（[-32]，[-32]），則DB=[522]，所以[OBPB]=[PBDB]=[25]，又∠B=∠B，所以△OBP∽△PBD，所以DP=[52PO]，[2PC]+[5PO]=[2]（PC+[52PO]）=[2]（PC+PD）≥[2CD]，當(dāng)C、P、D三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.故[2]PC+[5]PO的最小值為[35].

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）endprint