以“本”為本，“一將”統“三軍”

李紅

同學們在學習二次函數時要熟練掌握基本定義、圖像性質，進而能靈活應用，現在的中考題又多是課本例題、習題的變式或延伸，因而同學們尤其應重視對課本的學習.

原題呈現

蘇科版《數學》九年級下冊第17頁例題：畫出二次函數y=-x2-4x-5的圖像，并指出它的開口方向、頂點坐標、對稱軸、最大值或最小值.

【分析】要畫二次函數一般式y=ax2+bx+c圖像，可先將函數表達式變成頂點式y=a（x-h）2+k的形式，由a判斷開口方向，頂點為（h，k），對稱軸是直線x=h，當x=h時y的最值是k.

解：y=-x2-4x-5=-（x+2）2-1，二次項系數

-1<0，函數圖像開口向下，頂點坐標是（-2，

-1），對稱軸是直線x=-2，二次函數y=-x2-4x-5圖像如圖1.

【點評】本題考查的是二次函數的基礎知識，解題關鍵是二次函數形式的轉化.

延展一 不畫圖像，判斷二次函數y=-x2

-4x-5的圖像與x軸是否有公共點.

【分析】當y=0時，拋物線y=ax2+bx+c轉化為一元二次方程ax2+bx+c=0，所以通過判斷Δ=b2-4ac與0的大小，可以確定拋物線與x軸的公共點個數：（1）b2-4ac>0，拋物線與x軸有兩個公共點（一元二次方程有兩個不相等的實數根）；（2）b2-4ac=0，拋物線與x軸有一個公共點（一元二次方程有兩個相等的實數根）；（3）b2-4ac<0，拋物線與x軸沒有公共點（一元二次方程沒有實數根）.

解：b2-4ac=（-4）2-4×（-1）×（-5）<0，所以方程-x2-4x-5=0沒有實數根，二次函數y=-x2

-4x-5的圖像與x軸沒有公共點.

延展二 拋物線y1=-x2-4x-5與直線y2=

-x-5交于（x1，y1）、（x2，y2）兩點，求y1>y2時x的范圍.

【分析】求直線與拋物線交點的坐標，實質是求兩個函數的解析式聯立的方程組的解，畫出圖像，根據圖像可以直接寫出范圍.要求y1>y2時x的范圍，即為函數y1的圖像在y2圖像上方的部分的x的范圍，反之亦然.

解：方程組[y=-x2-4x-5，y=-x-5]的解為[x1=-3，y1=-2，][x2=0，y2=-5.]

兩個函數在同一平面直角坐標系中的圖像如圖2，當y1>y2時，x的范圍是-3

延展三 將二次函數y=-x2-4x-5的圖像向上平移5個單位，向右平移3個單位后與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于C點，對稱軸上是否存在點P，使PA+PC最小.

【分析】求平移后函數圖像與坐標軸交點的坐標，首先要求平移后函數的解析式，一般先化成頂點式，再按上（+）下（-），左（+）右（-）方式寫出平移后的解析式，令x=0或y=0代入可求.線段和（或差）的最值問題，利用兩點之間線段最短，找對稱點解決.

解：因為平移后拋物線y=-（x-1）2+4，當y=0時，x1=3，x2=-1；當x=0時，y=3，所以A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）.連接BC交對稱軸x=1于點P，因為A、B關于對稱軸對稱，則P為求作的點，所以PA+PC=PB+PC=BC=[32].

延展四 Q為直線BC上方的拋物線y=

-（x-1）2+4上任意一點，求△BCQ面積的最大值及此時Q點的坐標.

【分析】在平面直角坐標系中研究一些圖形面積時，可采用割補法將復雜、不規則的圖形分割成若干個三角形計算.分割方法一般采用橫向或縱向比較容易計算.

解：過Q作x軸垂線交直線BC于點M.

設直線BC的解析式為y=kx+b，則有[k=-1，b=3，]故直線BC的解析式為y=-x+3.

設Q點的橫坐標是m，得Q（m，-m2+2m+3），M（m，-m+3），所以QM=-m2+3m（0

S△BQC=S△QMC+S△QMB=[12]QM·OB=[12]（-m2+3m）·3=[-32]（m-[32]）2+[278]，所以當m=[32]時，△BCQ的最大面積是[278]，此時Q的坐標為（[32]，[154]）.

（作者單位：江蘇省宿遷市湖濱新區實驗中學）