二次函數與三角形的綜合性問題

劉從凱

二次函數是初中數學知識結構的一個樞紐，在中考中占舉足輕重的地位，二次函數綜合題更成了歷年來各省市中考試題中常見的重要題型.今天讓我們一起來領略二次函數與三角形的綜合題在中考中的風采吧！

一、二次函數與直角三角形

例1 （2017·徐州）已知二次函數y=[49]x2-4的圖像與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，⊙C的半徑為[5]，P為⊙C上一動點.

（1）點B，C的坐標分別為B（ ），C（ ）；

（2）是否存在點P，使得△PBC為直角三角形？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由.

【解析】（1）令y=0，則x=±3，令x=0，則y=-4，∴B（3，0），C（0，-4）.

（2）存在點P，使得△PBC為直角三角形.

①當PB與⊙C相切時，△PBC為直角三角形，如圖1，連接BC，

∵OB=3，OC=4，∴BC=5，

∵CP2⊥BP2，CP2=[5]，∴BP2=[25]，

過P2作P2E⊥x軸于E，P2F⊥y軸于F，

則△CP2F∽△BP2E，相似比為1∶2，

設OF=P2E=2x，則OE=FP2=x，

∴[BECF]=[3-x2x-4]=2，∴x=[115]，

∴P2（[115]，[-225]），

過P1作P1G⊥x軸于G，P1H⊥y軸于H，

同理求得P1（-1，-2）.

②當BC⊥PC時，△PBC為直角三角形，

如圖2，過P4作P4H⊥y軸于H，

則△BOC∽△CHP4，

∴[CHOB]=[P4HOC]=[P4CBC]=[55]，

可得P4（[455]，[-355]-4），

同理P3（[-455]，[355]-4）.

【點評】第（2）問要根據直角頂點進行分類討論，當點P為直角頂點時，PB與⊙C相切，當點C為直角頂點時，根據相似三角形的判定和性質即可得到結論.

二、二次函數與等腰三角形

例2 （2017·南寧）如圖3，拋物線y=ax2-[23]ax-9a與坐標軸交于A，B，C三點，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點D，交BC于點E，過點D的直線l與射線AC，AB分別交于點M，N.

（1）直接寫出a的值、點A的坐標及拋物線的對稱軸；

（2）點P為拋物線的對稱軸上一動點，若△PAD為等腰三角形，求出點P的坐標.

【解析】（1）∵C（0，3），

∴-9a=3，解得：a=[-13].

令y=0可得：點A（[-3]，0），B（[33]，0）.

拋物線的對稱軸為x=[3].

（2）∵OA=[3]，OC=3，∴∠CAO=60°.

∵AE為∠BAC的平分線，

∴∠DAO=30°，∴DO=1.

設點P的坐標為（[3]，a）.

依據兩點間的距離公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a-1）2.

當AD=PA時，4=12+a2，方程無解；

當AD=DP時，4=3+（a-1）2，解得a=2或a=0；

當AP=DP時，12+a2=3+（a-1）2，解得a=-4.

∴點P（[3]，2）或（[3]，0）或（[3]，-4）.

【點評】在問題（1）中要注意待定系數法的應用，分類討論是解答問題（2）的關鍵.

三、二次函數與相似三角形

例3 （2017·海南）拋物線y=ax2+bx+3經過點A（1，0）和點B（5，0）.

（1）求該拋物線所對應的函數解析式.

（2）該拋物線與直線y=[35]x+3相交于C、D兩點，點P是拋物線上的動點且位于x軸下方，直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點M、N.連接PB，過點C作CQ⊥PM，垂足為點Q，如圖4，是否存在點P，使得△CNQ與△PBM相似？若存在，求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由.

【解析】（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經過點A（1，0）和點B（5，0），

∴該拋物線解析式為y=[35]x2-[185]x+3.

（2）存在.∵∠CQN=∠PMB=90°，

∴當△CNQ與△PBM相似時，有[NQCQ]=[PMBM]或[NQCQ]=[BMPM]兩種情況，

設N（t，[35]t+3），P（t，[35]t2-[185]t+3），

∴CQ=t，NQ=[35]t，∴BM=5-t，

PM=[35t2-185t+3]=[-35t2+185t-3]，

當[NQCQ]=[PMBM]時，解得t=2或t=5（舍去），此時P（2，[-95]）；

當[NQCQ]=[BMPM]時，解得t=[349]或t=5（舍去），此時P（[349]，[-5527]）.

【點評】在（1）中我們要注意待定系數法的應用；在（2）中我們利用P、N點坐標，可以分別表示出線段的長，利用相似三角形的性質確定出相應線段的比，從而列出方程求解即可.要注意當兩相似三角形有一組角對應相等的時候，需分兩種情況進行討論.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區實驗初級中學）endprint