數形結合解二次函數的圖像信息題

馬曉銘

二次函數的圖像信息題是根據拋物線在平面直角坐標系中的位置特征來確定拋物線解析式中各項系數及其相關的代數式的符號.此題型立意新、設計巧，較好地將基礎與能力有機結合，因此它倍受廣大命題者的青睞，并成為數學中考的熱門考點之一.解決這類問題的關鍵是：運用數形結合的思想和方法，抓住規律進行分析和推理.現將二次函數的圖像信息題進行歸納并舉例解析，與同學們分享.

例1 二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1所示，則下列結論成立的是（ ）.

A.a>0，bc>0 B.a<0，bc>0

C.a>0，bc<0 D.a<0，bc<0

【解析】∵拋物線的開口向下，∴a<0，

故A，C選項錯誤；

又∵該拋物線的對稱軸x=[-b2a]<0，

∴b<0，

而拋物線與y軸交于正半軸，則c>0，

∴bc<0.故選D.

【反思】由拋物線的開口方向判斷a的符號，然后根據對稱軸進行推理判斷b的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，需要掌握的規律是：

a的符號：a>0?開口向上，

a<0?開口向下；

b的符號：對稱軸在y軸左邊?a、b同號，

對稱軸在y軸右邊?a、b異號，

對稱軸是y軸?b=0；

c的符號：與y軸交點位于y軸正半軸?c>0，

與y軸交點位于y軸負半軸?c<0，

與y軸交點是原點?c=0.

例2 二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖2所示，有下列結論：（1）b<0；（2）b2-4ac>0；（3）a-b+c<0，其中正確的個數有（ ）.

A.0個 B.1個 C.2個 D.3個

【解析】（1）拋物線開口向下，∴a<0，對稱軸在y軸左側，a、b同號，即b<0，正確；

（2）圖像與x軸有兩個交點，∴b2-4ac>0，正確；

（3）由圖像可以知道當x=-1時，對應的函數值y=a-b+c>0.故選C.

【反思】由拋物線與x軸交點的個數決定Δ的符號，需要掌握規律：

拋物線與x軸有兩個交點?Δ>0，

拋物線與x軸只有一個交點?Δ=0，

拋物線與x軸沒有交點?Δ<0.

另外，當x取特殊值時，通過對應的點的位置可以判斷與a、b、c相關代數式的符號：如點（-1，a-b+c）在x軸的上方可判斷a-b+c>0；

再如點（-3，9a-3b+c）、（2，4a+2b+c）均在x軸的下方，可判斷9a-3b+c<0，4a+2b+c<0等.

例3 已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖3所示，那么下列判斷不正確的是（ ）.

A.abc>0 B.b2-4ac>0

C.2a+b>0 D.4a-2b+c<0

【解析】拋物線開口向上，∴a>0，對稱軸在y軸右側，a、b異號，即b<0，拋物線與y軸交于負半軸，則c<0，故A正確；圖像與x軸有兩個交點，∴b2-4ac>0，所以B正確；由[-b2a]<1，a>0可得-b<2a，即2a+b>0，故C正確；由圖像可以知道當x=-2時，對應的函數值y=4a-2b+c>0，故D不正確.

【反思】只與a、b有關的代數式一般和對稱軸方程相關，如2a+b的符號判斷：觀察對稱軸位于1的左側，即[-b2a]<1，又由a>0可得2a+b>0；再如對稱軸位于-1的右側，即[-b2a]>-1，又由a>0可得2a-b>0.以此類推，若要判斷4a-b，a+b等代數式的符號，可觀察對稱軸位于-2和[12]的左側還是右側，同時解不等式時，要注意a的符號.

例4 二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖4，給出下列四個結論：①4ac-b2<0；②4a+c<2b；③3b+2c<0；④m（am+b）+b

-1），其中正確結論的個數是（ ）.

A.4個 B.3個 C.2個 D.1個

【解析】∵拋物線和x軸有兩個交點，

∴b2-4ac>0，∴4ac-b2<0，∴①正確；

∵對稱軸是直線x=-1，和x軸的一個交點在點（0，0）和點（1，0）之間，

∴拋物線和x軸的另一個交點在（-3，0）和（-2，0）之間，∴當x=-2時，y=4a-2b+c>0，

∴4a+c>2b，∴②錯誤；

∵對稱軸是直線x=-1，

∴2a-b=0，即a=[b2]，

∵當x=1時，y=a+b+c<0，將a=[b2]代人，

∴3b+2c<0，∴③正確；

∵拋物線的對稱軸是直線x=-1，

∴y=a-b+c的值最大，

當x=m（m≠-1）時，y=am2+bm+c

∴am2+bm+b

即m（am+b）+b

即正確的有3個，故選B.

【反思】除a、b、c、b2-4ac的正負可結合圖像判斷外，還要靈活運用對稱軸、特殊點的位置來確定和a、b、c相關的一些代數式的符號，有的時候還需要把圖中得到的信息進一步整合.

二次函數圖像信息題的特征是由圖像提供的信息去研究函數的性質，從“形”的特征去判斷“數”的符號.解決這類問題首先要提高識圖的能力，其次要會分析和推理，從而做出正確的判斷.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區實驗初級中學）