巧思妙想

李正芳

一、分類討論思想

在勾股定理中，主要應用分類思想對三角形形狀進行討論或對已知的邊或點所在位置進行討論.

例1 已知一直角三角形兩邊長為3和4，則第三邊的長度是 .

【分析】此題可以根據斜邊分類.若第三邊是斜邊，則兩直角邊分別為3和4，根據勾股定理易得第三條邊長為5；若第三邊是直角邊，則另一條直角邊為3，斜邊為4，根據勾股定理易得第三條邊長為[7]，故答案是[7]或5.

例2 在等腰三角形ABC中，AB=5cm，BC=6cm，則三角形ABC的面積為 .

【分析】要求三角形的面積，知道了三角形的邊長，再求出已知邊上的高即可.但由于△ABC是等腰三角形，部分同學只考慮了一種情形，即認為短一點的AB為腰，BC為底邊.忽視了邊長BC也可能為腰的情形.如圖1，當AB為腰，BC為底邊時，過點A作BC邊上的高AD，在Rt△ACD中，根據勾股定理可得AD的長，此時△ABC面積為12；如圖2，當BC為腰，AB為底邊時，過點A作BC邊上的高AD，同理，可求得此時△ABC面積為[54][119].

【點評】以上兩題考查了分類討論思想的應用，如果題目沒有圖形，則需要考慮分類討論的必要性.這就是“無圖題前細思考，分類討論保周到”.

二、方程思想

方程是研究數學的重要工具，運用方程的思想去分析問題，能有效發現各種數量關系.勾股定理描述了直角三角形三邊長的關系，可以解決很多計算問題，除了已知兩邊求第三邊外，很多題目無法直接用勾股定理來計算，需要設立未知數，用方程思想來解決.

例3 如圖3，有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形.在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面.水的深度與這根蘆葦的長度分別是多少？

【分析】解決與勾股定理有關的實際問題時先要抽象出幾何圖形，所以本題首先是找到直角三角形.如圖4，在Rt△ACB中，只有AC邊的長度，因此可以設水深為x尺，找出各邊的數量關系，最后根據勾股定理列方程x2+52=（x+1）2 ，解得x=12，即水深12尺，蘆葦長13尺.

【點評】利用勾股定理解決實際問題，其基本思想是從實際問題中建立直角三角形，找到直角三角形邊與邊的數量關系，通過設立未知數，借助勾股定理列方程求解.

三、整體思想

整體思想是把問題的某個部分或幾個部分看成一個整體進行思考，應用整體思想解題，往往能化難為易、化繁為簡.在運用勾股定理解題時，有時從整體上去思考問題或許能幫你迅速走出思維的誤區.

例4 已知直角三角形的周長為18，斜邊長為8，求直角三角形的面積.

【分析】若設兩直角邊長分別為a、b，因為a+b=10，則b=10-a，由勾股定理得a2+b2=64，即a2+（10-a）2=64，從而求出a、b的值.但解這個方程較麻煩，而由S=[12]ab聯想到可以應用整體思想，將ab看作一個整體，因為（a+b）2=a2+2ab+b2，又2ab=（a+b）2-（a2+b2）=100-64=36，所以ab=18，故S=[12]ab=9.

四、等積思想

等積思想是解幾何題的一種基本方法，就是利用面積相等來建立等式，從而求解題目的一種方法.

例5 在甲村到乙村的公路旁有一塊山地正在開發，現有爆破點C與公路上的停靠站A的距離為300米，與公路上的另一個停靠站B的距離為400米，且CA⊥CB.如圖6所示，為了安全起見，爆破點C的周圍半徑250米范圍內不得進人，問：在進行爆破時，公路AB段是否有危險，是否需要暫時封鎖？

【分析】本題關鍵是要求出點C到直線AB的距離CD，如圖7.

因為S△ABC=[12]AC·BC=[12]CD·AB，所以CD=[AC·BCAB]=[300×400500]=240<250，故爆破時，公路AB有危險，需要暫時封鎖.

【點評】例5是利用等積法解決幾何線段計算問題的典型代表.當已知條件有多個垂直關系時，我們要關注某一個圖形面積的不同表示方法.

“勾股定理”這章蘊含了多種重要的數學思想方法，在解決問題時，它們不僅可以相互獨立使用，而且在許多問題解決中都是互相聯系的.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區指前實驗學校）endprint