巧用勾股定理解決問題

朱華慶

對于勾股定理，有3種常見用法：1.已知直角三角形兩邊，求第三邊；2.已知直角三角形的兩邊或三邊存在數(shù)量關(guān)系，可以用含同一個字母的代數(shù)式表示出來，再利用勾股定理建立方程解決問題；3.已知普通三角形三邊存在某種聯(lián)系，可轉(zhuǎn)化為直角三角形，利用勾股定理建立方程或方程組解決問題.

一、方法回顧

對第三種較為復(fù)雜的情況，我們重點(diǎn)回顧一下：

例1 如圖1，在△ABC中，AD是BC邊上的高，D為垂足，AB=15，AC=13，BC=14，求高AD.

【分析】直接用勾股定理求AD，條件不夠，這里剛好有兩個直角三角形，可利用兩次勾股定理建立方程組.

【解】在Rt△ABD中，AD2=AB2-DB2，在Rt△ACD中，AD2=AC2-CD2，則AB2-DB2=AC2-CD2，設(shè)BD=x，CD=14-x，代入得：152-x2=132-（14-x）2.解得：x=9，代入AD2=AB2-DB2，得AD=12.

【點(diǎn)評】此題是兩次利用勾股定理建立方程組解決問題的典型例子.有個細(xì)節(jié)應(yīng)該注意，AD雖然是兩個直角三角形的公共直角邊，但是直接設(shè)AD=x，計算就有很大困難，所以設(shè)未知量的時候要注意，不一定是要求什么就設(shè)什么.

二、小試牛刀

例2 如圖2，在△ABC中，AE是BC邊上的中線，AB=15，AC=13，BC=14，求中線AE的長.

【分析】我們應(yīng)該找到以AE為邊的直角三角形，如果沒有，我們可以構(gòu)建，這就需要作輔助線，基本上都是作垂線.

【解】作AD⊥BC，垂足為D，有了例1的回顧，易求得BD=9，AD=12，由AE為中線可知，BE=7，∴ED=2，在Rt△AED中，AE2=AD2+ED2，計算得：AE=2[37].

【點(diǎn)評】在復(fù)雜問題中，如果沒有合適的直角三角形，要嘗試把非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來解決問題，即幾何問題中“化斜為直”的思想.但要考慮好從哪個點(diǎn)開始作垂線，不同的作法，會導(dǎo)致解法的難易程度不同.

三、靈活應(yīng)用

例3 如圖3，某沿海城市A接到超強(qiáng)臺風(fēng)警報，在該市正南方向150km的B處有一超強(qiáng)臺風(fēng)中心正以30km/h的速度沿BC方向移動，已知城市A到BC的距離AD=90km.若在距超強(qiáng)臺風(fēng)中心[2252]km的圓形區(qū)域內(nèi)都受到臺風(fēng)的影響，問城市A是否會受到臺風(fēng)的影響，影響的時間有多久？（[182254]=[1352]）

【分析】只要探究臺風(fēng)中心距離城市A最近的情形即可.找到臺風(fēng)中心從開始到結(jié)束對城市A產(chǎn)生影響的兩個位置，作出草圖，利用勾股定理解決問題.

【解】當(dāng)臺風(fēng)中心到達(dá)D處時，臺風(fēng)中心距離城市A最近，城市A距離臺風(fēng)中心90km<[2252]km，∴城市A肯定會受到臺風(fēng)的影響.當(dāng)AE=[2252]km時，城市A剛好開始受到影響，當(dāng)AF=[2252]km時，城市A剛好結(jié)束影響.在Rt△ADE中，ED2=AE2-AD2，所以DE=[1352]，所以EF=2DE=135，故t=135÷30=4.5h.

【點(diǎn)評】本題難點(diǎn)在于作圖，找到臺風(fēng)中心對城市A開始影響和結(jié)束影響的位置.方法上與例2相同.

四、再攀高峰

例4 如圖4，某沿海城市A正南方向150km處有一小島B，有一艘旅游船以20km/h的速度從小島出發(fā)，沿BC方向航行.已知城市A到航線BC的距離AD=90km.一艘巡邏船從城市A出發(fā)，以akm/h的速度沿直線去追趕旅游船（兩船相遇以前都不停留）.（1）當(dāng)a=15時，巡邏船能否追上旅游船，若能，則要幾小時追上？（2）當(dāng)a=20時，巡邏船能否追上旅游船，若能，則要幾小時追上？

【分析】當(dāng)巡邏船走完最短距離AD，到達(dá)點(diǎn)D時，看看旅游船是否到達(dá)點(diǎn)D，如果沒有到達(dá)，則巡邏船改變航行方向，一定可以追上旅游船，反之，則巡邏船不一定能追上旅游船.所以先判斷相遇位置，再畫出草圖，是解決這類問題的關(guān)鍵.

【解】（1）在Rt△ABD中，BD2=AB2-AD2，代入得BD=120，t巡邏船=AD÷15=6，t旅游船=BD÷20=6，∴巡邏船6小時能夠追上旅游船.（2）如圖5，t巡邏船=AD÷20=4.5，t旅游船=BD÷20=6，所以巡邏船一定可以追上旅游船，假設(shè)巡邏船經(jīng)過x小時在E處追上旅游船，則BE=20x，AE=20x，DE=120-20x，在Rt△AED中，ED2=AE2-AD2，代入得：x=[7516]，即[7516]小時后，巡邏船追上旅游船.

【點(diǎn)評】對于這類問題，先判斷能否一定追上，如果能，那么相遇點(diǎn)E一定在線段BD上，否則，相遇點(diǎn)也有可能在BD的延長線上，很容易就作出草圖，然后利用勾股定理解決問題.最后，再次強(qiáng)調(diào)AD這條高，在復(fù)雜問題中沒有給出，可以嘗試作出.

五、終極挑戰(zhàn)

例5 （2008·常州）如圖6，港口B位于港口O正西方向120海里外，小島C位于港口O北偏西60°的方向.一艘科學(xué)考察船從港口O出發(fā)，沿北偏東30°的OA方向以20海里/小時的速度駛離港口O.同時一艘快艇從港口B出發(fā)，沿北偏東30°的方向以60海里/小時的速度駛向小島C，在小島C用1小時裝補(bǔ)給物資后，立即按原來的速度給考察船送去.（1）快艇從港口B到小島C需要多少時間？（2）快艇從小島C出發(fā)后最少需要多少時間才能和考察船相遇？

【解析】題（2）當(dāng)年得分率非常低，同學(xué)們利用剛才所學(xué)方法可輕松列出方程，如果方程不會解，沒關(guān)系，那就到初三再解出來，正所謂“革命尚未成功，同志仍需努力”.關(guān)鍵是作CD⊥OA，再進(jìn)行計算和判斷（快艇到達(dá)點(diǎn)D小于1小時，而科學(xué)考察船到達(dá)點(diǎn)D需2.5小時），所以兩船相遇點(diǎn)E在線段OD上，畫出草圖，設(shè)x小時快艇追上科考船，在Rt△CDE中用勾股定理列出方程，解決問題.參考答案：（1）t=1，（2）t=1.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)堯塘中學(xué)）endprint