金融數學概述及其展望

(中南財經政法大學，湖北 武漢 430073)

金融數學概述及其展望

程子桐

(中南財經政法大學，湖北 武漢 430073)

本文將以二次華爾街革命為主線，簡單概述金融數學產生以及發(fā)展的集成，金融數學的一般理論，并針對金融數學的現狀對其未來發(fā)展做出展望。

金融數學；期權定價；金融衍生工具

一、引言

自從兩次合計革命以來，金融數學得到了前所未有的發(fā)展，成為了一門以數學與金融為主的交叉學科。它的主要內容包括對完全隨機情況下的投資組合最佳選擇理論以及資產的定價理論。其概念和基礎經濟思想是最優(yōu)、均衡和套利。從金融數學出現以來已經有近60年的發(fā)展歷史，尤其是最近幾年來，金融數學的很多假定理論得到了證實和大量的應用，帶動了整個金融市場內大量產品的創(chuàng)新，讓金融交易更加豐富，這門學科在我國的經濟發(fā)展中同樣有著不可或缺的作用，在未來也會與經濟繁榮更加密切相關。

二、金融數學的初步發(fā)展

金融數學這一名詞的首次提出是出自于一位法國數學家的博士論文中，用以描述股票價格的布朗運動。再后來的1905年愛因斯坦也曾做過相關研究，不過并未引起當時學界的廣泛關注。直到20世紀中葉，薩維奇終于開始認識到這一學科所代表的巨大意義，開始對其進行更加細致的研究，金融數學的研究開始進入“黃金時代”，掀開了嶄新的一頁。

金融數學是在兩次華爾街革命中開始完善起來的。第一次革命表現在靜態(tài)投資組合的研究上。1952年，馬可韋茨提出了以均值為理論基礎的方差模型投資組合問題的研究，但這一理論計算風險資產價格的協(xié)方差計算量太大，威廉在1964年又提出了CAPM資產定價模型，它在假設市場均衡的基礎上，任何資產的預期收益率是市場風險的線性函數，也就是零風險利率加風險補償即為預期收益率，做出了導致資產與其收益率波動的最主要原因是系統(tǒng)風險。

第二次革命是決策由靜轉動。1970年，固定匯率被浮動匯率所代替，市場上出現了諸如期貨等衍生工具，這些工具的作用無異是管控金融風險，不過要想真正實現就必須要對衍生工具作出定價。巴舍利耶的布朗運動模型直接導致了隨機過程數學與金融工程學的出現。

三、金融數學基礎理論

如今，金融數學主要用于以數學方式的研究成果來描述經濟、管理、金融等領域的問題，它的基礎理論可以在三個方面加以體現。

(一)投資組合選擇理論

維茲將隨機變量定位在投資組合中的股價上面，設方差為風險而均值為收益，探索在收益固定前提下盡量減少風險的投資組合問題，并且將其表達為二次規(guī)劃的最優(yōu)解：

MaxXTVX

這里X=(x1,x2,…,xn)T代表一種投資組合，Xi代表投資在第i支股上的權重，H=(h1,h2,…,hn)T是收益的均值向量，V是收益的協(xié)方矩陣，r是容許范圍內最低限度的收益率，L=(l1,l2,…,ln)T、P=(p1,p2,…,pn)是買空賣空限，而li=0、pi=1時賣空買空都不可以。

Marco Weitz不但將這一模型的求解問題進行了解決，并證明了多種證券的組合投資較僅投資一種證券風險較小，它目前仍是風投的基礎綱領。

(二)CAPM理論

實際上Marco Weitz所提出的投資組合模型在應用于股價的協(xié)方差計算上不太容易，所有在1964年，William Sharpe又提出了CAPM模型：

E[Ri]=RF+βi(E[RM]-RF)

這里的RF代指沒有風險的資產收益率。RM代指市場資產組合收益，βi=Cov(RI,RM)/Var(RM)為分風險系數。這個模型詳細敘述了系統(tǒng)風險和投資風險二者的數量關系，讓投資者能夠更為直白的看到由于擔負風險而獲取回報的線性關系。并提出了獲得投資收益的因素只有系統(tǒng)風險，而其余風險能夠以投資組合的方式加以分散。

在上個世紀70年代，Black和Schools在其共同著作中提出了著名的BS公式，并認為股票股價和期望收益率沒有關系，也就是投資偏好不會影響期權的合理價格，是非風險中性的。

四、金融數學最新進展

(一)隨機最優(yōu)控制論

這一理論是在20世紀60年代在控制理論中使用Buerman最優(yōu)策略，并綜合測度論以及泛函分析方法衍生出來的針對隨機問題的解決理論。

(二)鞅理論

這一理論是金融數學界比較新的理論方法。它提出了金融市場在一定的假設下，其價格是一種隨機鞅的形式。卡拉塔茲等人使用這一概念做出了衍生證券的定價問題，對金融市場運作秩序進行了比較詳實的描述，并給出了處理復合衍生產品定價以及風險管控的所有計算步驟，也解決了不完全市場領域衍生產品定價問題。當前國外的以鞅理論為基礎的定價論在金融數學界有著重要地位，國內也開始尋求以這一理論進行研究。

(三)最優(yōu)停時理論

這一理論可以說實用價值很高，不過將其使用在解決金融問題上的研究還比較基礎，大多數研究成果都停留在初級階段，也不是很多，不過學界很多研究者都認為這一理論在投資組合上將會產生較為不錯的效果。

(四)微分對策理論

穩(wěn)態(tài)假設并不能完全代表金融領域的現實環(huán)境。每當出現不正常波動是，證券價格就不會遵循布朗運動規(guī)律。這時使用隨機動態(tài)模型的方式對投資組合問題進行探討的話，會產生極大的偏差，而使用微分對策理論則不會出現這種問題。它能夠擴大市場穩(wěn)態(tài)的假定范圍，也能夠將不確定性干擾作為另一方，針對最差的部分進行優(yōu)化。

(五)其他研究理論、實證方法

科學技術的迅速發(fā)展讓金融數學的中很多假設都能夠實現，小波分析.遺傳算法、仿退火算法 、非電子神經網絡等與一般金融學理論組合起來，在多個數學領域方面都起到了不錯的成效，國內的研究也漸漸隨著金融業(yè)的復興而更加繁榮起來。

五、金融數學現今的問題

在以往對金融經濟進行描述的模式一般有兩種，也就是隨機游走模型和決定論模型，這兩種模型可以說是處于對立狀態(tài)，前者由Newton提出，認為如果開始時狀態(tài)一致的話金融經濟的的運轉動作完全可以預判，而后者是由Brown提出，認為各個階段的收益率互不影響，不同階段的收益率分散是一致的。最近幾十年，金融學界也有著較大的分歧：有的研究者從分析技術出發(fā)，認為市場是按照一種規(guī)則往復運轉的；也有學者以分析非線性系統(tǒng)為突破口，不相信市場按一定規(guī)律往復運轉，最近的研究是學者使用新的方法手段證明了在金融經濟范疇中，實際上應該是兩中運轉模式共同存在，如果這一結論有著更有力的證明，那么現在的學界起碼有下面幾個問題擺在研究者面前：

1、分析金融經濟的變動的三種性質，也就是對所謂的無序性、朦朧性、籠統(tǒng)性作出全面探討，從而對其之間的承接條件、變換構造、演化進程、性質特點、誘發(fā)結果和應該使用的針對性的經濟策略(貨幣戰(zhàn)略)。

2、對以貨幣信譽為基礎的貨幣需要量、供應量、經濟資產流動和流速做出系統(tǒng)分析，研究出貨幣平衡與失衡的正確限定以及實際模型，對改進社會金融平穩(wěn)狀態(tài)對財經、經濟、物資、外匯的均衡提出有力的憑據。

3、全面分析物價指數、稅率、保率、利率、匯率，為制訂有序的三率模式供給行之有效的數學模型。

4、對組織能源以及產出能力因素的抉擇進行設置，并結合金融經濟目標為探討標的的多方向統(tǒng)合分析，使其更好的、更普遍的使用在金融數學研究之中。

六、結語

隨著科技和學界理論的愈發(fā)豐富，金融數學的研究愈發(fā)受到廣大學者的關注，20世紀末，數十位學者聯(lián)合發(fā)起了巴舍利耶金融學會(Bachelier Financial Society)，希望以學術界的密切交流推進各種數學方法和數學模型在金融性中的靈活使用，很多專門研究將數學與金融學相結合的刊物諸如Management Science、Theory and Decision、Journal of Financial and Quantitative Analysis等也紛紛創(chuàng)刊，金融數學進入繁榮時期，中國也已經把金融數學列為國家密切關注的研究學科，受到廣泛關注，在現今的金融學術研究中，數學思想和數學方法、模型占有著極其重要的位置，很多浸淫于數學和理學研究的專家學者都開始將目光投向了金融數學的研究當中，為現今的金融學研究注入了巨大的動力。

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