基于MATLAB的線性控制系統穩定性仿真研究

費旻++林懷蔚++邢瑋++李云海

DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2017.30.034

摘 要：穩定性是保證控制系統正常工作的先決條件。為了判斷線性控制系統的穩定性，在MATLAB/Simulink仿真環境下，利用MATLAB軟件中的Simulink模塊組合方式建模，可以準確地創建動態系統的仿真模型。本文通過實例對線性控制系統進行穩定性仿真研究，分析過程簡單、快捷，結果準確可靠，充分體現了MATLAB/Simulink仿真方便和直觀的特點，其創新點在于利用MATLAB/Simulink對線性控制系統進行穩定性仿真研究，驗證了其穩定理論的有效性和真實性。

關鍵詞：線性控制系統 穩定性 MATLAB/Simulink 仿真

中圖分類號：TP391.9 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）10（c）-0034-03

自動控制系統是由控制器和被控對象按照一定的方式連接起來、完成一定自動控制任務的有機整體，盡管其實現的功能不盡相同，但任何控制系統要使其按照預期目標實現其功能，都必須以系統穩定為首要條件。穩定性是指系統重新恢復平衡狀態的能力，它是保證控制系統正常工作的先決條件。理論上判斷一個控制系統穩定性的方法有很多，按照傳統方法判斷控制系統的穩定性，不但計算工作量大、效率低，而且不夠直觀，缺乏有力的輸出圖形支撐。隨著計算機科學技術的發展，各種功能強大的系統仿真軟件在自動控制領域得到廣泛應用，其中，最為典型的代表就是MATLAB仿真軟件，它是目前國際最流行、應用最廣泛的科學與工程計算軟件。

Simulink是基于MATLAB框圖設計環境實現動態系統建模、仿真和分析的軟件包，是MATLAB中一種可視化仿真工具，被廣泛應用于各種控制系統的建模、仿真和分析中。本文介紹了基于MATLAB/Simulink仿真環境下，通過單位階躍信號作用，利用仿真實例對線性控制系統進行穩定性仿真研究，直接觀察和分析系統個別參數變化對系統穩定性的影響，充分體現了利用MATLAB/Simulink實現仿真方便和直觀的特點。其創新點在于利用MATLAB/Simulink對線性控制系統進行穩定性仿真研究，驗證了其穩定理論的有效性和真實性。

1 線性系統的穩定性

1.1 穩定性的概念

控制系統能在實際中應用，其首要條件是保證系統穩定。原來處于平衡狀態的系統，在受到擾動作用后都會偏離原來的平衡工作狀態，產生初始偏差。所謂穩定性，就是在擾動作用消失后，系統能否由初始偏差狀態回到原來的平衡狀態的性能。若系統能恢復到原來的平衡狀態，則稱系統是穩定的；反之，偏差越來越大，則系統是不穩定的。

穩定性是系統的固有特性，是擾動消失后系統自身的恢復能力。穩定性只由系統本身的結構、參數決定，而與系統的初始條件以及外作用無關。

1.2 線性系統穩定的充要條件

線性定常系統的特性可由線性微分方程來描述，而微分方程的解通常就是系統輸出量的時域表達式，它包括穩態分量和暫態分量兩個部分。穩態分量對應微分方程的特解，與外作用形式有關；暫態分量對應微分方程的通解，是系統齊次方程的解，它與系統的結構、參數以及初始條件有關，而與外作用形式無關。由上述穩定性概念可知，研究系統的穩定性，就是研究系統輸出量中暫態分量的運動形式，這種運動形式完全取決于系統的特征方程式。根據理論推導，線性控制系統穩定的充分必要條件是系統特征方程的所有根均為負實數或具有負的實部。

1.3 線性系統的穩定判據

根據線性系統穩定的充要條件，要判斷一個系統是否穩定，需要求出系統特征方程的全部特征根，這對于低階系統容易取得，但對于三階以上高階系統，求系統的特征根比較困難。于是，對于高階系統，判斷系統穩定與否可采用代數穩定判據，它只要根據特征方程的系數便可判別出特征根是否具有負實部，從而判斷出系統是否閉環穩定，常用的代數穩定判據主要有赫爾維茨穩定判據、林納德-齊帕特判據和勞斯判據等。利用代數穩定判據還可確定系統個別參數變化對系統穩定性的影響，從而給出使系統穩定的參數取值范圍。

2 線性控制系統穩定性仿真研究

2.1 仿真實例及其穩定性判別

2.1.1 仿真實例

在CDIO模式下的“自動控制原理”課程實踐教學實例中，一串級直流電動機速度控制系統結構如圖1所示，其開環傳遞函數為：

其中，K為開環放大倍數；T為時間常數；給定時間常數T=0.1s，分析討論輸入單位階躍信號時，不同開環放大倍數K對系統穩定性的影響。

2.1.2 仿真實例的穩定性理論判別

從系統的結構可知，系統閉環傳遞函數：

其特征方程為S3+20s2+100s=1000K=0，由勞斯判據易得：1000K>0，且20×100>1000K，聯立求得系統穩定時K值的取值范圍為0

可見，閉環系統的穩定性與系統開環放大倍數K值直接有關。當系統開環放大倍數K值增大時，系統相對穩定性變差；當系統開環放大倍數K值大于其臨界值時，系統變為不穩定。

2.2 仿真實例模型構建

啟動MATLAB 7.0.4，進入Simulink仿真界面，在create a new model中繪制控制系統仿真結構圖如圖2所示。根據要求，雙擊各傳遞函數模塊，在出現對話框內設置相應參數，加入單位階躍信號，設置起始時間為0s，對開環放大倍數K取不同參數值，點擊Simulation菜單下start命令進行仿真，雙擊示波器模塊得到系統輸出響應曲線，觀察、記錄和分析仿真結果。

2.3 仿真結果及分析

（1）根據圖2所示仿真結構，當K=1時，在單位階躍信號作用下，仿真輸出響應曲線如圖3所示，系統開始呈現超調輸出，伴隨時間增加超調輸出逐漸減小直至為0，調節時間為3s，在0

（2）根據圖2所示仿真結構，當K=2時，仿真輸出響應曲線如圖4所示，系統輸出呈現等幅振蕩，系統為臨界穩定狀態，工程上為不穩定，仿真結果與理論分析一致。

（3）根據圖2所示仿真結構，當K=3時，在單位階躍信號作用下，仿真輸出響應曲線如圖5所示，系統開始呈現穩定狀態，伴隨著時間增加，系統一旦受到外界擾動，輸出變為發散狀態，在超出0

3 結語

通過對控制系統實例的理論分析和仿真可知，系統開環放大倍數K值越大，且越接近臨界值，系統相對穩定性越差；當系統開環放大倍數K值大于臨界值，系統變為不穩定。因此，增大系統開環放大倍數K值不利于閉環系統的穩定。

基于MATLAB/Simulink仿真環境下，通過Simulink軟件包所提供的基本模塊，不需任何硬件，在單位階躍信號作用下，利用仿真實例完好地實現了對線性控制系統進行穩定性仿真研究，可直接觀察和分析系統輸出性能變化，驗證了其穩定理論的有效性和真實性，在控制系統穩定性判斷中具有很高的實用價值。

參考文獻

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