趙金榮

模型就是一個物體或一個過程的表示.例如，一個玩具法拉利就是一輛實際法拉利汽車的模型；一公路地圖就是一個城市中道路的模型.數學模型指的是一個物體或過程的數學表達式（通常是一個等式）.一旦得到一個數學模型，就能夠使用這個模型得到與被建模的事物有關的有用的信息，或者對此作出預測.在本文中，我們要探索不同的數學方法，用來對真實的現象建立數學模型，從而可以使用這些數學模型解決實際問題.

1 與數據最佳匹配的直線

使用線性方程對某些變量之間的變化關系能夠進行建模.而這些變量之間的相依關系是對收集的數據進行分析的過程中發現的.但是真實現象的數據很少都落在一條精確的直線上.在本文中，我們要討論一種得到與數據最佳匹配直線的方法.

表1給出了年到年期間全美國范圍內的嬰兒早亡率.速率指的是個新生兒中，在到達一歲生日前去世的嬰兒的數量.

圖1給出的散點圖說明這些數據粗略地落在一條直線上.我們可以從直觀上用一條直線近似表示這些數據點，但是，這些數據不是嚴格線性的，所以似乎有很多直線都能夠與這些數據匹配.但經過觀察可以發現，在所有經過這些數據點的直線中，有一條與這些數據是“最佳”匹配的，也就是說，這條直線可以為這些數據提供最精確的線性函數模型.現在我們看一下如何找到這條直線.

最佳匹配直線與所有的數據點盡可能地接近看起來是合理的.也就是說最佳匹配直線是與數據點的豎直距離之和盡可能小的直線.從技術上考慮，最佳匹配直線是這些距離的平方和最小的直線.這樣的直線叫做回歸直線.回歸直線的公式是使用微積分得到的，但幸運地是，這個公式編入了大多數的繪圖計算器的程序中.在例題1中，我們會看到如何使用TI-83計算器求出前面描述的嬰兒早亡率的回歸直線.

2 回歸分析例證

線性模型模擬給出的數據真的恰當嗎？ 其他類型函數也能夠用來研究具有同樣分布規律的數據，但使用回歸模型在解決實際問題中還是有一定的用途的，比如線性回歸可以用在醫學研究中，用來探索某種疾病的潛在致病因素，比如說癌癥.

例題 聯系石棉和癌癥之間關系的回歸直線 當實驗室中的老鼠暴露在石棉纖維中時，有些老鼠會發生肺癌.表格列出了不同科學家進行試驗的幾個試驗結果.（a） 求出這些數據的回歸直線.（b） 繪制出數據的散點圖和繪制直線.根據圖像，判斷得到的回歸直線是這些數據恰當的模型嗎？（c） 這條回歸直線的截距代表什么？

解 （a） 使用繪圖計算器，得到下面的回歸直線：

（b）數據的散點圖和回歸直線的圖像見圖3（b）.根據得到的回歸直線的圖像，可以看出，這條回歸直線是給定數據的一個合理的模型.

（c） 這條回歸直線的截距是在沒有石棉纖維存在的情況下生成肺癌的老鼠所占的百分比.換句話就是，這是正常情況下肺癌發病的百分比（石棉以外的其他因素導致的肺癌）.

3 匹配的有多好？ 相關系數

對于任意給定的雙變量數據的集合，即使這些數據點從圖像上看起來沒有位于同一直線上，又或者即使這些數據點看起來根本毫無聯系，通常情況下也總能找到一條回歸直線.

繪圖計算器能給我們提供每一個散點圖的回歸直線.但是這些直線能夠多好地表示（或“匹配”）這些數據集呢？要回答這個問題，統計學家們發明了相關系數一詞，一般用標識.相關系數是指位于和之間的一個數，用來量度數據與回歸直線有多接近—或者，換句話說，變量是如何關聯在一起的.很多的繪圖計算器在計算回歸直線時會給出的值.如果與或接近，那么這些變量緊密相聯系—也就是，散點圖與回歸直線非常接近.如果接近，那么變量的相互關聯性就很弱或者根本毫無聯系.（的符號由回歸直線的斜率決定.）

不存在嚴格和快速的法則用來判斷哪些值足以決定線性相關是“顯著的”.相關系數是唯一可以用來幫助我們判斷得到的回歸直線與數據的匹配程度是否可靠.例題1中，相關系數是，說明相關程度非常高，所以我們可以很有信心地說從年至年期間的兒童早亡率具有很強的直線性.（值是負值，原因是兒童早亡率在這段時間內呈下降趨勢.）在例題中，相關系數是，也說明了變量之間具有很強的相關性.所以在石棉中的暴露程度很明顯與老鼠中肺癌發生相關.這是否就意味著石棉導致了肺癌的產生？

如果兩個變量相關，也不意味著一個量的變化一定能夠引起另一個量的改變.例如，數學家John Allen Paulos指出鞋子的大小與在校兒童中的數學成績相關.這是否意味著大腳的兒童的數學成績就高呢？當然不是—鞋子大小和數學技能隨著兒童年齡的增加分別單獨地在增大.所以，不匆忙得出結論是非常重要的：相關和因果關系不是一回事.相關是得到因果效應關系的一有用的工具；但是，要證明因果關系，必須要解釋一個變量影響另一個變量的機制.例如，吸煙和肺癌之間的關聯經過觀察是相關的，這個結論早在科學發現吸煙導致肺癌的機制之前就有了.

參考文獻

[1]Precalculus.Mathematics for Calculus，.James. Stewart，.Lother.Redlin，Saleem.Watson，6ed. Brooker，.2012 P129-139endprint