最佳匹配直線模型的找尋法

趙金榮

模型就是一個物體或一個過程的表示.例如，一個玩具法拉利就是一輛實(shí)際法拉利汽車的模型；一公路地圖就是一個城市中道路的模型.數(shù)學(xué)模型指的是一個物體或過程的數(shù)學(xué)表達(dá)式（通常是一個等式）.一旦得到一個數(shù)學(xué)模型，就能夠使用這個模型得到與被建模的事物有關(guān)的有用的信息，或者對此作出預(yù)測.在本文中，我們要探索不同的數(shù)學(xué)方法，用來對真實(shí)的現(xiàn)象建立數(shù)學(xué)模型，從而可以使用這些數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題.

1 與數(shù)據(jù)最佳匹配的直線

使用線性方程對某些變量之間的變化關(guān)系能夠進(jìn)行建模.而這些變量之間的相依關(guān)系是對收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的過程中發(fā)現(xiàn)的.但是真實(shí)現(xiàn)象的數(shù)據(jù)很少都落在一條精確的直線上.在本文中，我們要討論一種得到與數(shù)據(jù)最佳匹配直線的方法.

表1給出了年到年期間全美國范圍內(nèi)的嬰兒早亡率.速率指的是個新生兒中，在到達(dá)一歲生日前去世的嬰兒的數(shù)量.

圖1給出的散點(diǎn)圖說明這些數(shù)據(jù)粗略地落在一條直線上.我們可以從直觀上用一條直線近似表示這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，但是，這些數(shù)據(jù)不是嚴(yán)格線性的，所以似乎有很多直線都能夠與這些數(shù)據(jù)匹配.但經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)，在所有經(jīng)過這些數(shù)據(jù)點(diǎn)的直線中，有一條與這些數(shù)據(jù)是“最佳”匹配的，也就是說，這條直線可以為這些數(shù)據(jù)提供最精確的線性函數(shù)模型.現(xiàn)在我們看一下如何找到這條直線.

最佳匹配直線與所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)盡可能地接近看起來是合理的.也就是說最佳匹配直線是與數(shù)據(jù)點(diǎn)的豎直距離之和盡可能小的直線.從技術(shù)上考慮，最佳匹配直線是這些距離的平方和最小的直線.這樣的直線叫做回歸直線.回歸直線的公式是使用微積分得到的，但幸運(yùn)地是，這個公式編入了大多數(shù)的繪圖計(jì)算器的程序中.在例題1中，我們會看到如何使用TI-83計(jì)算器求出前面描述的嬰兒早亡率的回歸直線.

2 回歸分析例證

線性模型模擬給出的數(shù)據(jù)真的恰當(dāng)嗎？ 其他類型函數(shù)也能夠用來研究具有同樣分布規(guī)律的數(shù)據(jù)，但使用回歸模型在解決實(shí)際問題中還是有一定的用途的，比如線性回歸可以用在醫(yī)學(xué)研究中，用來探索某種疾病的潛在致病因素，比如說癌癥.

例題 聯(lián)系石棉和癌癥之間關(guān)系的回歸直線 當(dāng)實(shí)驗(yàn)室中的老鼠暴露在石棉纖維中時(shí)，有些老鼠會發(fā)生肺癌.表格列出了不同科學(xué)家進(jìn)行試驗(yàn)的幾個試驗(yàn)結(jié)果.（a） 求出這些數(shù)據(jù)的回歸直線.（b） 繪制出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和繪制直線.根據(jù)圖像，判斷得到的回歸直線是這些數(shù)據(jù)恰當(dāng)?shù)哪Ｐ蛦幔浚╟） 這條回歸直線的截距代表什么？

解 （a） 使用繪圖計(jì)算器，得到下面的回歸直線：

（b）數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和回歸直線的圖像見圖3（b）.根據(jù)得到的回歸直線的圖像，可以看出，這條回歸直線是給定數(shù)據(jù)的一個合理的模型.

（c） 這條回歸直線的截距是在沒有石棉纖維存在的情況下生成肺癌的老鼠所占的百分比.換句話就是，這是正常情況下肺癌發(fā)病的百分比（石棉以外的其他因素導(dǎo)致的肺癌）.

3 匹配的有多好？ 相關(guān)系數(shù)

對于任意給定的雙變量數(shù)據(jù)的集合，即使這些數(shù)據(jù)點(diǎn)從圖像上看起來沒有位于同一直線上，又或者即使這些數(shù)據(jù)點(diǎn)看起來根本毫無聯(lián)系，通常情況下也總能找到一條回歸直線.

繪圖計(jì)算器能給我們提供每一個散點(diǎn)圖的回歸直線.但是這些直線能夠多好地表示（或“匹配”）這些數(shù)據(jù)集呢？要回答這個問題，統(tǒng)計(jì)學(xué)家們發(fā)明了相關(guān)系數(shù)一詞，一般用標(biāo)識.相關(guān)系數(shù)是指位于和之間的一個數(shù)，用來量度數(shù)據(jù)與回歸直線有多接近—或者，換句話說，變量是如何關(guān)聯(lián)在一起的.很多的繪圖計(jì)算器在計(jì)算回歸直線時(shí)會給出的值.如果與或接近，那么這些變量緊密相聯(lián)系—也就是，散點(diǎn)圖與回歸直線非常接近.如果接近，那么變量的相互關(guān)聯(lián)性就很弱或者根本毫無聯(lián)系.（的符號由回歸直線的斜率決定.）

不存在嚴(yán)格和快速的法則用來判斷哪些值足以決定線性相關(guān)是“顯著的”.相關(guān)系數(shù)是唯一可以用來幫助我們判斷得到的回歸直線與數(shù)據(jù)的匹配程度是否可靠.例題1中，相關(guān)系數(shù)是，說明相關(guān)程度非常高，所以我們可以很有信心地說從年至年期間的兒童早亡率具有很強(qiáng)的直線性.（值是負(fù)值，原因是兒童早亡率在這段時(shí)間內(nèi)呈下降趨勢.）在例題中，相關(guān)系數(shù)是，也說明了變量之間具有很強(qiáng)的相關(guān)性.所以在石棉中的暴露程度很明顯與老鼠中肺癌發(fā)生相關(guān).這是否就意味著石棉導(dǎo)致了肺癌的產(chǎn)生？

如果兩個變量相關(guān)，也不意味著一個量的變化一定能夠引起另一個量的改變.例如，數(shù)學(xué)家John Allen Paulos指出鞋子的大小與在校兒童中的數(shù)學(xué)成績相關(guān).這是否意味著大腳的兒童的數(shù)學(xué)成績就高呢？當(dāng)然不是—鞋子大小和數(shù)學(xué)技能隨著兒童年齡的增加分別單獨(dú)地在增大.所以，不匆忙得出結(jié)論是非常重要的：相關(guān)和因果關(guān)系不是一回事.相關(guān)是得到因果效應(yīng)關(guān)系的一有用的工具；但是，要證明因果關(guān)系，必須要解釋一個變量影響另一個變量的機(jī)制.例如，吸煙和肺癌之間的關(guān)聯(lián)經(jīng)過觀察是相關(guān)的，這個結(jié)論早在科學(xué)發(fā)現(xiàn)吸煙導(dǎo)致肺癌的機(jī)制之前就有了.

參考文獻(xiàn)

[1]Precalculus.Mathematics for Calculus，.James. Stewart，.Lother.Redlin，Saleem.Watson，6ed. Brooker，.2012 P129-139endprint