基于Arnold變換和Logistic變換相結合的置亂算法研究

楊勃

摘要：本文分析了基于Arnold變換的圖像置亂算法的優缺點，從而提出了基于Arnold變換和Logistic變換相結合的置亂算法。此算法不僅改變了圖像的原貌，而且改變了圖像的信息，安全性更高，具有一定的應用價值。

關鍵詞：圖像置亂；Arnold變換；Logistic變換

中圖分類號：TP309.7 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2017）09-0119-02

1 引言

隨著網絡的不斷發展，各類的圖像信息在互聯網中進行著傳輸。這其中不乏一些重要圖像信息甚至是機密圖像信息，如何保證這些圖像信息的安全傳輸，是學者們研究的熱點。我們可以通過圖像置亂技術將原來的圖像進行加密，經過傳輸，最后再通過解密將圖像復原，從而達到安全傳輸的目的。目前經過大家對圖像置亂技術的研究，提出了許多可行的算法。例如：Arnold變換、仿射變換、混沌變換等。基于Arnold變換的置亂算法是通過改變圖像像素位置的一種圖像加密算法，因其算法簡單，容易實現，具有周期性，而被廣泛應用。

2 Arnold變換

2.1 Arnold算法

Arnold算法定義為：

公式（1）中x，y∈{0，1，2，…，N-1}，表示變換前的像素坐標位置，N表示圖像的大小，x'，y'表示變換后的像素坐標位置，mod為模運算。對于一幅N*N大小的圖像，經過Arnold變換多次置亂后圖像像素的坐標位置會發生改變，所以圖像的原貌也會發生改變，從而達到置亂的效果。

2.2 Arnold變換的周期

對一幅圖像運用Arnold算法經過多次迭代后原來的圖像就會發生改變，但是圖像經過有限次的運算后，圖像又能夠變化成原來的樣子，這就說明Arnold變換是具有周期性的[1]。下面就是Arnold變換的周期公式：

公式（2）中N為圖像矩陣的階，n為變換周期。Arnold變換的周期性使得圖像經過周期性變換又恢復到原始圖像[2]。利用MATLAB計算Arnold變換的周期n 如表1所示。

2.3 Arnold變換的效果

為了驗證Arnold變換的效果，我們對一幅256*256大小的圖片做了仿真實驗，置亂100次的實驗結果如圖1所示。

從實驗結果可以看出Arnold變換能夠將圖片置亂，置亂效果良好，而且能夠將置亂的圖片恢復成原樣。但是從圖片的直方圖可以看出，Arnold變換并沒有改變原始圖片的信息，置亂后圖片的直方圖和原始圖片的一樣。而且因為Arnold變換具有周期性，經過周期性變換后就能恢復成原樣，所以經過Arnold變換的圖像在知道置亂次數的條件下很容易被破解，安全性不高。

3 改進的置亂方法

3.1 改進的置亂方法的提出

從上面的實驗結果我們得出Arnold變換可以對圖像進行置亂加密，但是安全性不是很高。Arnold變換是通過改變圖像像素的坐標位置進行加密，如果我們可以在Arnold變換的基礎上再對圖像的像素值加密，那么圖像像素的坐標位置不僅進行了置亂，而且圖像像素的像素值也進行了改變。這樣置亂后的圖像就完全發生了改變，圖像的信息也進行了加密，置亂效果應該更優于Arnold變換。

3.2 混沌變換

混沌是指在一個確定性系統中，存在著貌似隨機的不規則運動[3]。混沌理論具有非線性特性、不確定性、不可重復、不可預測、對初始條件敏感等特性，對于需要加密文件的處理有很好的應用，所以混沌理論被越來越多的運用到圖像置亂算法中。Logistic映射算法是一種混沌變換算法，它是由R·May于1976年提出的，因其表達式簡單且性能優良，被廣泛運用到混沌映射中[4]。Logistic混沌映射定義為：

公式（3）中μ是分支參數，取值范圍：0≤μ≤4。當0

3.3 改進的置亂方法的實施步驟

假設對一幅N*N大小的圖像M進行置亂加密，第一步通過Arnold變換將圖像M置亂得到置亂圖像M'，第二步通過Logistic變換將置亂圖像 M'置亂得到置亂圖像M''，這樣M''就是通過Arnold和Logistic雙重變換得到的置亂圖像。解密的過程是先通過Logistic逆變換將置亂圖像M''恢復得到恢復圖像D，再通過Arnold逆變換將恢復圖像D恢復得到恢復圖像D'，比較恢復圖像D'和圖像M，得出置亂恢復效果。

4 改進的置亂方法的實驗結果分析

如圖2所示，以一幅256*256大小的圖片為例，用仿真實驗來驗證改進的置亂方法的效果。其中Arnold變換100次，Logistic變換時，μ=4，x=0.6。

通過上面的實驗結果可以看出，Arnold和Logistic變換相結合的方法可以很好的對圖片進行置亂，Arnold變換所的到的效果圖雖然雜亂無章但是有律可尋，而兩種變換相結合的方法所得到的置亂效果圖文理細膩，顆粒平均分布，與原圖相比已經完全失真，圖像沒有任何關聯性，置亂效果良好。我們再從圖像直方圖可以看出，兩種變換相結合的方法所得到的圖像灰度值在整個灰度空間上均勻分布，看不到原圖的任何信息。所以從以上兩點可以得出：基于Arnold和Logistic變換相結合的置亂算法要優于單一的Arnold變換算法。

5 結語

本文介紹了一種基于Arnold和Logistic變換相結合的置亂算法，此算法通過對圖像像素的坐標位置和像素值進行改變，從而達到對圖像置亂加密的效果。通過仿真實驗驗證，可以看到此方法所得到的置亂圖置亂加密效果顯著，圖像的原始信息完全被打亂，置亂效果更好，增加了破解難度，提高了圖像傳輸的安全性，有一定的應用價值。

參考文獻

[1]高飛，樊慶宇.基于Arnold變換的圖像加密研究[J].阜陽師范學院學報：自然科學版，2015，2：92-96.

[2]孫曉龍，王正勇，何小海.Arnold變換在非方陣圖像置亂中的應用[J].太赫茲科學與電子信息學報，2014，2：248-251.

[3]李廈.基于混沌映射的數字圖像置亂算法[D].哈爾濱：哈爾濱理工大學，2008：8-9.

[4]宋莉莉.圖像置亂算法及其評估研究[D].河北：河北工業大學，2014：25-28.