立足基礎(chǔ) 提升能力

梁小玲

摘 要：立體幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，而立體幾何的教學(xué)重點是幫助學(xué)生逐步形成空間想象能力。以2013學(xué)年廣州市高二年級學(xué)生學(xué)業(yè)水平數(shù)學(xué)測試中的試題為例，反思作為一個教師，在教學(xué)中該如何以學(xué)生為主體，促進(jìn)學(xué)生特別是文科生立體幾何知識的掌握和解題能力的提高。

關(guān)鍵詞：空間想象能力；反思；文科生

一、問題的提出

立體幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，無論是教學(xué)大綱還是新課程標(biāo)準(zhǔn)中，立體幾何的教學(xué)重點都是幫助學(xué)生逐步形成空間想象能力?？臻g想象能力是數(shù)學(xué)教學(xué)中需要培養(yǎng)的基本能力之一，它是空間能力所包含的一個因素，又以空間觀念為基礎(chǔ)。但隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的全面推行，對高中學(xué)生的空間想象能力和推理論證能力的要求和以前的大綱版教材有所變化，把重點轉(zhuǎn)移到了運算上。特別是隨著空間向量知識在新課程標(biāo)準(zhǔn)教材中的引入，使得立體幾何中論證和運算問題變得程序化了，因此，對于理科生，很多老師在教學(xué)中都要求他們運用向量法，因為空間坐標(biāo)向量法只要建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，很多問題都能迎刃而解。但作為文科生，空間向量坐標(biāo)法在新課程標(biāo)準(zhǔn)中是不作要求的，作為教師，怎樣才能使學(xué)生在只有一種解題工具——綜合法的情況下，促進(jìn)學(xué)生立體幾何知識的掌握和解題能力的提高？本文以2013學(xué)年廣州市高二年級學(xué)生學(xué)業(yè)水平數(shù)學(xué)測試中的試題為例，反思作為一個教師，在教學(xué)中該如何以學(xué)生為主體，將教師的“教”讓道于學(xué)生的“悟”，從而提高學(xué)生的的空間想象能力和推理論證能力。

二、試題與講評建議

題目（2013學(xué)年廣州市高二年級學(xué)生學(xué)業(yè)水平數(shù)學(xué)測試第17題）

如圖1，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1D1，A1A的中點。

（1）求證：BC1∥平面CEF；

（2）在棱A1B1上是否存在點G，使得EG⊥CE？若存在，求A1G的長度；若不存在，說明理由。

教研室給出的講評建議是：本考題改編于人教A版必修2P83A組第九題，主要考查線面平行和證明異面直線垂直。

三、教研室給的參考答案

證明：（1）如圖2，連接AD1，∵AB■C1D1，∴ABC1D1是平行四邊形，所以BC1∥AD1，又E，F(xiàn)分別是A1D1，A1A的中點，所以EF∥AD1，所以BC1∥EF，又BC1在平面CEF外，EF在平面CEF內(nèi)，所以BC1∥平面CEF。

（2）設(shè)在棱A1B1上是否存在點G，使得EG⊥CE，記A1G=x，以A1為坐標(biāo)原點，A1B1為x軸，A1D1為y軸建立坐標(biāo)系（如圖3），則C1（1，1），E（0，■），G（x，0），若EG⊥C1E，則kEG×■=-1，■×■=-1，x=■，當(dāng)A1G=■時，有EG⊥C1E。又CC1⊥平面A1B1C1D1，EG在平面A1B1C1D1內(nèi)，所以CC1⊥EG，又CC1與C1E相交于點C1，CC1與C1E都在平面CC1E內(nèi)，所以EG⊥平面CC1E，又CE在平面CC1E內(nèi)，所以EG⊥CE。所以當(dāng)A1G=■時，有EG⊥CE。

四、文科生的困惑

統(tǒng)計廣州市全體考生，此題的平均分為6.52分，14分的總分，前面第一小問已經(jīng)占了6分，也就是說第二問能準(zhǔn)確做出來的學(xué)生是比較少的。筆者任教的班級是兩個基礎(chǔ)比較薄弱的文科班，通過對兩個班級學(xué)生的解題思路回顧反思的調(diào)查，發(fā)現(xiàn)兩個班級總共100人，竟然沒有一個人答對。而教研室給出的參考答案是用空間向量坐標(biāo)法來解決的，文科生因為沒有學(xué)過空間向量坐標(biāo)法，對于這種方法無疑是理解不了的，那運用綜合法，如何進(jìn)行講評才能使學(xué)生易于接受呢？

五、講評過程實錄

復(fù)習(xí)舊知

師：本考題是改編于人教A版必修2P83A組的第9題，因此我們首先來看一下課本的這道習(xí)題應(yīng)該怎么做。

如圖4，一塊正方形木料的上底面有一點E，

經(jīng)過點E在上底面上畫一條直線與CE垂直，怎樣畫？

生：連接C1E，過點E作直線l垂直C1E，則l垂直CE。

師：為什么直線l垂直CE？

生：因為C1C⊥平面A1B1C1D1，所以CC1⊥l，又因為l⊥C1E，所以l⊥平面CC1E，所以l⊥CE。

師：回答得非常正確，那我們現(xiàn)在來分析一下試卷的17題的第二問應(yīng)該如何去做？

學(xué)生沉默了些時間。

師：同學(xué)們想了那么長時間，能告訴我這兩道題的E都在哪里嗎？

生：都在平面A1B1C1D1上。

師：那類似前面的做法，我們要怎么做？

生：連接C1E，過點E作直線EG垂直C1E交線段A1B1于點G然后證明EG⊥平面CC1E，則EG⊥CE。

師：很好，這樣我們就找到了點G，接下來我們就要求A1G的長度，如何求A1G的長度？

生：證明三角形A1EG與三角形D1C1E相似，然后利用相似三角形定理來求解。

師：非常好！看來，大家已經(jīng)在不知不覺中把這個問題解決了，那現(xiàn)在請同學(xué)們把解題步驟寫出來。

解：（2）

連接C1E，過點E作直線EG⊥C1E叫線段A1B1于點G

∵CC1⊥平面A1B1C1D1，

∴CC1⊥EG，又∵EG⊥C1E，

∴EG⊥平面CC1E，∵EG⊥CE

∵∠C1EG=90°，∴∠A1EG+C1ED1=90°

又∵∠D1C1E+C1ED1=90°，∴∠A1EG=∠D1C1E，

∴Rt△GA1E∽Rt△E1DC1，∴■=■，

又∵A1E=ED1=■，D1C1=1，∴A1G=■=■，

六、教學(xué)反思

從上面的解法可看出，綜合法比空間向量坐標(biāo)法更簡潔，而空間向量坐標(biāo)法不僅要建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，還涉及了三維空間中兩直線垂直的相關(guān)結(jié)論，在這里不管是建立空間直角坐標(biāo)系還是三維空間中兩直線垂直的相關(guān)結(jié)論，對文科生特別是一些基礎(chǔ)薄弱的文科生來說都是一個難點，但是綜合法在這里滲透了初中的相似三角形的知識，這個知識點大部分學(xué)生都掌握得比較好，因此綜合法比空間向量坐標(biāo)法更易于學(xué)生接受。

“最近發(fā)展區(qū)理論”認(rèn)為，學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平。兩者之間的差距就是最近發(fā)展區(qū)。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，在講授有難度的內(nèi)容時，要發(fā)揮其潛能，超越其最近發(fā)展區(qū)從而達(dá)到更高的水平，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行下一個發(fā)展區(qū)的發(fā)展。比如，在此題講評時，筆者不是告知學(xué)生此題考查的知識點，“教”給學(xué)生解題的方法，而是從學(xué)生熟悉的問題出發(fā)，逐步過渡到所要解決的問題，進(jìn)而完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和方法體系，達(dá)到提升學(xué)生思維能力的目的。

如在試卷講評中，教師對于學(xué)生做錯的題目要充分考慮學(xué)生的實際情況，解題方法不要過于麻煩，否則不僅不會引起學(xué)生的興趣，而且會使學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生畏懼感。新課標(biāo)要求從學(xué)生的實際情況出發(fā)，讓學(xué)生養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣和觀念，鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)生活中多實踐。學(xué)生是課堂的主人，任何教學(xué)活動的設(shè)計都應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，尊重學(xué)生的思維，尊重學(xué)生的情感，因此試卷講評中，教師要明確自己此時的任務(wù)是“促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高實踐能力”。

參考文獻(xiàn)：

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編輯 郭小琴endprint