知學生所想，解學生所惑

于嵐

在解三角形的一次作業中遇到一個問題，看似平常簡單，卻引發學生的熱議。筆者在課堂上及課后，都與學生進行了充分的討論和交流，對學生的想法進行了整理，并且自己也進行了仔細的思考分析，覺得這確實是解三角形中的一個易錯點。

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=3，b=

2■，B=2A.

（1）求cos A的值；（2）求c的值.

學生解法如下：

（1）由正弦定理得：■=■即■=■，∴cos A=■.

（2）在已知a=3，b=2■，cos A=■的條件下求c，其本質就是已知兩邊及其一邊所對的角，求第三邊.

解法一：∵cos A=■，0

sin B=sin 2A=2sin Acos A=■，cos B=cos 2A=2cos2A-1=■，sin C=sin（A+B）=■，再由正弦定理■=■可得：c=5.

解法二：由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A可得，

c2-8c+15=0，c=3或c=5.

解法三：同解法一得cos B=■，再由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B可得，c2-2c-15=0，c=-3（舍）或c=5.

學生困惑如下：

1.解法二、三都是運用余弦定理，解關于c的一元二次方程。為什么解法二會產生增根？而解法三兩個根正好是一正一負，負的舍去，沒有產生增根呢？

筆者思考分析：從幾何作圖來看，

解法二中：由a，b，A，求c，∵b sin A=2■×■，∴b sin A

解法三中：由a，b，B，求c，∵b>a，由幾何作圖知，三角形是唯一確定的，只有唯一解.

2.解法二如何想到要檢驗？如何舍去增根呢？

筆者思考分析：一般產生兩解時，就應該用懷疑和探究的目光審視所得的結論，形成和強化反思檢驗意識，讓思維更嚴謹一些。c的兩個值真假難辨，檢驗的入口在哪里？

若c=3，則a=c，∴A=C，又∵A+B+C=π，4A=π，與cos A=■矛盾，因此舍去。

3.以后遇到類似題目，如何選擇方法？首選正弦定理還是余弦定理呢？余弦定理選擇哪個式子可以避免增根？

筆者思考分析：例如△ABC中，a=7，c=5，A=60°，求△ABC的面積.

解法一：由正弦定理得：■=■ ∴sin C=■

∵c

解法二：由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A可得，

b2-5b-24=0，b=-3（舍）或b=8.

SΔABC=■bcsin A=10■.

解法二方便高效，說明并非首選正弦定理，有時用余弦定理更好。

關于題目的小結：已知兩邊一對角求第三邊這種類型的問題，應具體問題具體分析，不存在首選哪個定理的規定。若使用余弦定理時產生兩個根，應注意檢驗。而增根有時很難取舍，可以考慮改用正弦定理，或改用余弦定理其他式子，避免增根。

關于教學的思考：學生可以促使老師思考，特別是一些看似平常淺顯、從未懷疑的問題。平時教學中，不能為了多講幾題，就忽略學生的真實想法和錯解產生的本源。應了解學生的解題困惑，探明錯因，給出舉措，這才是真正有吸引力的教學。

編輯 高 瓊