漫談初中數學解題中的“反證法”

王玉琴

一、“反證法”解題方法

在解題中，反證法一般分為三步：1.提出假設：做出與所要求證的結論相反的假定。2.推理求證：由“假設”出發進行推理，得出與定義、定理、公理或與題設相矛盾的結論。3.得出結論：根據“矛盾”得出假設不成立，原求證結論正確。反證法的步驟好理解和掌握，關鍵是要反設正確，在結論的方面呈多種情況或比較隱晦時，在反設時就比較困難，現將其中常用的互為否定形式詞語總結如下：

其中，在至少有一個、至多有n個、至多有一個等證明結論的反設上，需要更為細心的琢磨，讓學生明白一個也沒有、至多有二個、至多有n個的深刻含義，從而順利進行證明。反證法的使用，使得一些數學試題的解決簡單便捷。

二、“反證法”例題展示

1.定理性命題的證明

在數學的基本定理中，利用“反證法”來證明，更便捷、具有說服力。

案例1：勾股定理的證明

如圖所示，在直角三角形△ABC中，∠C=90°，三個邊長分別為a、b、c，求證：c2=a2+b2.

證明：過C點作斜邊AB上的垂線于D，假設a2+b2 ≠ c2，即AC2+BC2≠AB2，根據三角形的中垂線定理可得：

AB2=AB·AB=AB（AD+BD）=AB·AD+AB·BD根據假設又知：AC2≠AB·AD，BC2≠AB·BD即AD：AC≠AC：AB，或者BD：BC≠BC：AB，在△ADC和△ACB中，因為∠A=∠A，則當AD：AC≠AC：AB時，∠ADC≠∠ACB；在△CDB和△ACB中，因為∠B=∠B，則當BD：BC≠BC：AB時，∠CDB≠∠ACB，又因為∠ACB=90°，所以∠ADC≠90°，∠CDB≠90°，這與CD⊥AB是矛盾的，所以AC2+BC2≠AB2不成立，則有：AC2+BC2=AB2，即c2=a2+b2

2.無限性命題的證明

“無限”、“無窮”等概念，往往出現在求證命題中，正面證明缺乏一定的頭緒，而“反證法”使得解題變得非常簡單。

案例2：求證，0與1之間存在著無窮個有理數。

證明：假設0與1之間有n個有理數，分別為a1、a2、a3…an。那么將這些有理數相乘可以得到b=a1·a2·a3·…·an，根據有理數的積仍為有理數可得，b也應該是0到1之間的有理數，故可以推導得出，在0到1之間有n+1個有理數，這與題設相矛盾，所以，在0與1之間存在著無窮個有理數是正確的。

3.唯一性命題的證明

初中數學有些“唯一性”的證明問題，只要利用“反證法”證明出不能再有第二個就可以了。

案例3：如圖所示，⊙O上的一條弦CD，做CD的延長線到A，直線AB交于圓上一點為B，且AB2=AD·AC，證明：AB與圓相切。

證明：假設AB與圓不相切，則AB與圓相交，與圓有兩個交點，分別為B、B兩點，根據切割線定理的推論，有AB·AB=AD·AC，即AB·（AB±BB）=AD·AC，解得AB2±AB·BB=AD·AC從上式可以看出BB≠0，這個結論與題中的已知條件AB2=AD·AC相矛盾，故B點存在，AB與圓只有一個交點，即AB與圓相切。

4.肯定性命題的證明

初中數學中常見一些“肯定性”的命題，否定的假設給了學生新的思路。

案例4：如圖所示，已知正方形ABCD內一點E，∠ECD=∠EDC=15°。求證：△AEB為等邊三角形。

證明：假設△AEB不是等邊三角形，則有∠AEB>60°（或∠AEB<60°）因為，∠ECD=∠EDC=15°，則有△CED為等腰三角形，∠ACE=75°，AE=BE。則有∠2=∠3<60°（或∠2=∠3>60°），所以AB>AE，有AC>AE=BE，得出∠1=∠BED>∠ACE=∠BDE=75°，又因為∠DEC=150°，所以可以得出∠1+∠AEB+∠CED+∠AEB>360°，這顯然是與圓周角的角度是矛盾的，即∠AEB>60°是不成立的。同理∠AEB<60°也是不成立的，故只有∠AEB=60°，即△AEB為等邊三角形。

5.否定性命題的證明

否定性的命題的反設就是肯定，只要找出其中的“特殊”就可以進行否定，順利解決問題。

案例5：已知n為自然數，證明：n2+n+2不能被15整除。

證明：假設n2+n+2能被15整除，那么也必然能被3或5整除，如果為5的倍數，則改數的尾數應該是5。由于n2+n+2=n（n+1）+2，然而當尾數為5時，改數為奇數，從上式可以看 出尾數為偶數，相矛盾，則原命題成立。當尾數為0時，則要求n2+n的尾數為8，然而對于任意自然數，n（n+1）都不會為8，相矛盾，則原命題成立。綜上所述兩條可以證明：n2+n+2不能被15整除。