基于TDOA定位的陣列布放結構研究

金博楠，徐曉蘇，張 濤，李 瑤

(東南大學 儀器科學與工程學院 微慣性儀表與先進導航技術教育部重點實驗室，南京 210096)

基于TDOA定位的陣列布放結構研究

金博楠，徐曉蘇，張 濤，李 瑤

(東南大學 儀器科學與工程學院 微慣性儀表與先進導航技術教育部重點實驗室，南京 210096)

不同結構陣列在TDOA定位中對定位精度有較大影響。為了掌握和減小陣列帶來的影響，從TDOA定位解算方程組的角度分析了平面陣列在空間定位中高度方向產生較大誤差的原因；又從單個基線的角度分析了影響基線定位敏感度的因素，而為分析陣列定位效果提供了理論依據。然后對七種代表性的平面陣列進行對比，驗證了陣列結構對定位精度的影響關系。根據平面陣列的經驗又設計了三種空間陣列，通過仿真實驗證明了對陣列結構研究的正確性。

TDOA; 陣列結構;傳感器布放;長基線定位

E-mail:jinbonan@seu.edu.cn

0 引言

基于到達時間差(Time Difference of Arrival，TDOA)的長基線定位技術作為水下聲學定位中的重要研究方向，受到了越來越多的關注。由于接收端不需要與發射端進行時鐘同步[1]，在接收端完全可以被動地探測和定位正在發射信號的目標，因此在反潛、追蹤、勘探、搜救等領域有著廣泛的應用[2-4]。影響TDOA定位精度的因素主要分為前端接收和后端解算兩個部分，前端誤差指水聽器接收信號并分析時間差過程中產生的誤差，主要包括噪聲干擾、多途效應、信號衰減等帶來的觀測誤差以及聲速變化，時延提取過程中的計算誤差；后端誤差主要包括選用算法的估計誤差、陣列布放結構和安裝誤差未補償等造成的誤差。長基線定位發展至今，基于TDOA的定位算法層出不窮，涌現出包括SI、SX、Chan、Taylor等許多經典算法，還有神經網絡、蟻群算法、二階錐規劃以及基于概率論的濾波算法[5]。關于水聽器陣列布放規則對定位精度的影響的研究并不深入，文獻[6-7]研究針對平均圓周分布的中心平面陣進行了對比，這種陣列有一定的局限性。本文主要針對陣列的布放陣型的布放準則，從單個基線的角度進行了研究，并基于此在二維平面下對多個代表性的陣列結構進行了對比仿真。分析了三維方向上的靈敏度問題，對空間定位中的三維陣列布放問題進行了研究設計，并對通用陣型的布放準則提出一些建議。

1 靈敏度分析

1.1 高度方向靈敏度

很多算法將三維問題簡化至二維平面進行分析，雖然這種過渡理論上沒有問題，但實際應用上由于條件限制，空間定位往往還是以平面陣列居多，這就帶來了高度方向上的誤差。

設待測目標MS的坐標為zp=[x,y,z]T，第i個基元BS的坐標為si=[xi,yi,zi]T，i=0,1,2,3，…，N，其中0號BS為參考，MS與BS之間的距離關系為

i=0,1,2,3，…，N

(1)

取BS0為公共參考基元，得到一組TDOA觀測量τi,1(i=0,1,2,3，…，N)，分別表示BSi和BS0之間的信號到達時間差

ri0=cτi0=ri-r0，i=1,2,3，…，N

(2)

式(2)展開是一個雙曲線方程，假設為視距環境下，且聲波傳播速度不變為c，則可建立N個關于zp的雙曲面方程。求解該方程組即可得到MS的坐標。因此，如圖1所示，二維TDOA定位從幾何上可歸結為雙曲線定位，在三維空間就是雙曲面定位。在沒有誤差的理想情況下，3個方程就可以求解3個未知數，即3個曲面的交點就是MS的位置。然而因為時間差存在誤差且可能較大，使得3個曲面不交于一點，曲面的多個交叉處又可能出現模糊解，所以往往需要5個以上的BS建立多于3個的方程來尋求最優解。

圖1 TDOA定位原理示意圖Fig.1 The scheme of TDOA localization

i=0,1,2,3，…，N

(3)

當i=0時，ri0=0，因此

(4)

用式(3)減去式(4)可得

i=1,2,3，…，N

(5)

考慮到實際中的噪聲，稍加整理，可得

i=1,2,3,…,N

(6)

將式(6)寫成矩陣形式

(7)

對式(7)的方程組求解，即可得出MS的坐標[8]。

1.2 基線方向靈敏度

下面從另一個角度建模分析。MS、BS0和任意一個BS可組成一個三角形，如圖2所示，zp為MS位置，s0為BS0位置(設為原點)，si為BSi位置，r0為中心斜距，ri為MS和BSi的斜距，di為基線長度(假設和X軸重合)。

圖2 單個基線與MS的三角關系Fig.2 The triangular relationship between single baseline and MS

根據余弦定理可知

(8)

將式(2)代入式(8)，整理可得

(9)

其中,x=r0cosα，為基線方向的投影。

根據式(9)可以得到ri0在3個方向上的偏導數，即靈敏度：

(9)

(10)

對于空間中任意方向的基線，對應坐標軸方向上的靈敏度為：

(11)

其中，A、B、C分別是基線與坐標軸夾角，則dicosA、dicosB、dicosC為基線在各坐標軸上的投影分量。α、β、γ分別是中心斜距與坐標軸夾角。

此外，基線方向的靈敏度和基線長度、距離差成正相關，和斜距成負相關。因此往往MS在陣列內部時，定位精度比遠離陣列時的定位精度高。

1.3 陣型類型

結合上面的計算分析，就可以對空間中可能出現的幾種陣列布放(或者近似型)做出一定的判斷。

1.3.1 直線陣

所有基元集中在一條直線上，即基線方向重合(假設為x方向)，陣列為直線型，這種擺放在一個方向上(x方向)有很高的精度，而在另外2個方向(y,z方向)上的精度則表現很差。如圖3(a)所示。

圖3 不同陣列示意圖Fig.3 The scheme of different sensor array placements

1.3.2 平面陣

所有基元都集中在一個平面上，即基線都在同一平面內。三維空間定位中，若高度方向沒有基線，則在高度方向的定位精度將較差。平面陣具體又可分為中心陣和扇形陣。

中心陣正中放置參考基元，其他基元分布四周，如十字陣(圖3(b))、六角陣(圖3(d))、星型陣等。

扇形陣參考基元放在一側，其他基元分布于另一側，如L陣、爪字陣、兀字陣等(圖3(c))。

1.3.3 空間陣

種類和平面陣類似，在x、y、z3個方向上均有基線或明顯的基線分量，這種陣型能夠對3個方向的精度提供保障。個別基線集中的布放可視為極端情形為直線陣，平面陣進行分析，如圖3(e)所示。

2 仿真對比

通過計算機仿真出平面下不同陣型對相同目標的定位誤差。結合之前的理論推導，對不同陣型的效果進行對比分析。之后根據平面條件下多種陣型的定位效果設計空間中的三維陣列結構并仿真驗證其設計的可行性。采用Chan估算初值并用Taylor算法修正的定位算法來得到MS位置估計[9]。

2.1 平面實驗

對平面直角坐標系下x∈[-500,500]，y∈[-500,500]的方形區域布放陣列，在x=200,y∈[-600,600]的線段上均勻地選取13個點作為MS的位置。距離差觀測量上疊加均值為1.5的白噪聲。每個位置以5000次的蒙特卡羅試驗的定位誤差均值作為最終結果。本次仿真設計了7種陣型[10]，具體如表1所示。

表1 平面陣型參數

實驗結果如圖4、圖5所示，圖4是估計位置和真實位置的距離誤差曲線；圖5是在X方向和Y方向的誤差分量，圖中橫坐標是各個MS的縱向距離。

由圖4可知，直線陣列的定位誤差較大，尤其當MS在遠離陣列時Y方向陣列發散明顯，而陣列中心位置時X方向陣列也會發散。兩端發散的現象在各陣列中都存在，只不過爪字型陣列的抑制效果稍好。無論是長基線定位還是短基線定位，工作范圍都是有限的，一般與基線長度相當，對基陣外較遠距離的目標定位時，定位結果就不是那么精確了。這一實際情況與本文上面提到的定位誤差兩端發散現象是一致的，就陣列內部的定位效果看，L字陣列定位誤差存在不對稱的大幅增長，十字陣列效果一般，非垂直陣列和爪字陣列精度較高。下面具體從X和Y2個方向的誤差來分析導致上述區別的原因。

圖4 七種陣型定位誤差對比圖Fig.4 The error comparison of seven placements

圖5 七種陣型定位誤差：(a)X方向對比圖;(b)Y方向對比圖Fig.5 The error comparison of seven placements： (a) in X direction; (b) in Y direction

2個不同指向布放的直線陣列，很顯然X向陣列在X方向表現很好，它的誤差主要來自Y方向定位能力不足，當MS靠近基線時，計算過程容易出現奇異導致Y方向定位發散；相反，Y向陣列在X方向定位能力不足，Y方向兩端發散是因為SM處于基線范圍以外，由式(9)可知，大部分基線的靈敏度都變得很低，因此誤差變大。見圖5(a)上和(b)上。

2個爪字陣列的區別在于第4條基線分別靠近2個軸，因此在軸向的基線分量彼此各有優勢。圖5(a)中和(b)中如實地反映出這一現象，偏X軸的爪字陣列在X方向精度更高，而偏Y軸的爪字陣列則在Y方向精度更高。此外，MS大部分位置對于爪字陣列的每一條基線來說都屬于內部，即使兩端邊緣位置也不會超出基線太遠，因此爪字陣列兩端發散現象抑制得較好。基于式(9)所體現的設計原則，在所有七種陣列中，爪字陣列也是效果最好的。

與爪字陣列類似的L字陣列則沒有那么好的效果，相比之下主要原因是2條較短的基線沒有充分發揮基線補充的作用，當MS在靠近(200,600)時，基線靈敏度降低效益凸顯，所以定位誤差呈不對稱增長且主要發生在X方向。見圖5(a)下和(b)下。

同理，對于十字陣列來講，MS在大部分位置都會處于2條基線外，且其4條基線長度都較短，因此靈敏度不會很高，兩端發散的現象和爪字陣列比還是較明顯的。見圖5(a)下和(b)下。

設計非垂直陣列是為了觀察基線垂直與否對定位效果的影響。從圖5(a)下和(b)下來看，并沒有太大影響，MS在基線內部時的定位精度反而非常好。將非垂直陣列的4條基線投影到軸線方向，Y方向的基線分量很小，因此非垂直陣列在Y方向上出現了兩端發散的現象。

2.2 空間實驗

在三維情況下，根據平面實驗結果，在陣型選取時應當避開某一方向基線分量不足的情形，本文設計了三種陣型進行比較，分別是：頂角輻射陣列、中心輻射陣列和面心輻射陣列，如圖6所示。定位誤差對比結果如圖7所示。

圖6 頂角輻射陣列(○)，中心輻射陣列(*)和面心輻射陣列(△)Fig.6 Corner radiation array(○);center radiation array(*);centroid radiation array(△)

實驗結果表明，三種陣列都能提供較高的定位精度。從選取的MS測試位置的定位效果來看，同樣是8條基線，中心輻射陣列要比面心輻射陣列效果略好。頂角輻射陣列在只有7條基線的情況下表現出和中心輻射陣列同樣的效果，表明頂角輻射陣列具有較好的定位效果，基線數量不是決定定位精度的唯一因素，合理的陣型布放能夠有效改善定位精度。根據上述三種陣列的對比，在待測區域一定、基線數目一定的條件下，頂角輻射陣列可以作為優先選擇。

圖7 (a)距離誤差;(b)X方向誤差;(c)Y方向誤差;(d)Z方向誤差Fig.7 (a) The error in distance; (b) The error in X direction; (c) The error in Y direction; (d) The error in Z direction

3 結論

由理論推導和平面仿真可知，某一方向若沒有基線分量或分量很小時，定位結果在該方向上容易發散。因此空間定位時，在高度方向上不能布放基元的情況下，由于條件限制，外部高度信息輔助顯得十分必要。基線方向的敏感度直接影響著該方向的定位精度、敏感度與基線長度、距離差成正相關，和參考基元外的基元斜距成反比。盡可能增大基線長度，避免距離基元過遠的位置情況出現，這樣能充分發揮陣列定位性能。增加基線數目可以提高定位精度，但合適的基線結構不僅能節約成本，還能進一步提高定位效果。

文獻[6-7，10]主要對幾種平均圓周分布的中心平面陣進行了研究比較，陣列的基本組成結構始終沒有太大改變。本文從基線角度出發，在幾何理論上推導了陣列的影響因素，從本質上分析研究影響陣列差異的原因，從而能夠對平面乃至空間上所有可能存在的陣列布放形式作出判斷，并對多種代表性的陣列進行了仿真驗證。

有些陣型對于某些位置具有較高的局部精度，不能就此判斷好壞。MS在不同位置，定位精度各不相同，實驗中只是選取了一些具有代表性的位置，通過多個位置的平均表現初步認為文中的爪字陣列和頂角輻射陣列較為優秀。然而陣列的結構不勝枚舉，沒法得到最優陣列的結論，只能通過上述準則和使用需要去設計更好更合適的陣列。在今后的研究中將對各個陣列整個測量區域的精度分布進行分析，并采取一定措施進一步提高陣列的定位效果。

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StudyofArrayStructureforSensorPlacementinTDOA-BasedLocalization

JIN Bo-nan, XU Xiao-su, ZHANG Tao, LI Yao

(Key Laboratory of Micro-Inertial Instrument and Advanced Navigation Technology of Ministry of Education, School of Instrument Science and Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China)

Different sensor placements have a great influence on the accuracy in TDOA-based localization. In order to grasp and decrease the influence brought by the array, the causes of the large errors in the vertical direction are analyzed with TDOA localization equations when the planar array is used in the spatial orientation. Then, the factors affecting the localization sensitivity of the baseline are deduced from the perspective of a single baseline, which provides the theoretical basis for analyzing the positioning accuracy of the sensor arrays. Then the positioning errors of seven representative planar arrays are compared to verify the relationship between the array structure and the positioning accuracy. According to the application experience of planar array, three kinds of spatial sensor array placements are designed. The simulation results demonstrated the correctness of the study on array structure.

TDOA; Array structure; Sensor placements; Long baseline localization

10.19306/j.cnki.2095-8110.2017.06.005

TN961

A

2095-8110(2017)06-0029-08

2017-03-14；

2017-03-28

國家自然科學基金(61473085，51175082，51375088，61273056)

金博楠(1990-)，男，博士研究生，主要從事聲學定位和組合導航方面的研究。