基于圖轉換的無線接入點關聯優化算法

陶雯，沈艷，管昕潔，萬夕里

（1．江蘇第二師范學院數學與信息技術學院，江蘇 南京 210013；2．南京工業大學計算機科學與技術學院，江蘇 南京 211816）

基于圖轉換的無線接入點關聯優化算法

陶雯1，沈艷2，管昕潔2，萬夕里2

（1．江蘇第二師范學院數學與信息技術學院，江蘇 南京 210013；2．南京工業大學計算機科學與技術學院，江蘇 南京 211816）

無線接入點關聯是 Wi-Fi系統中的一個基礎問題。已有的研究主要集中在考慮帶寬容量約束條件下的各種AP關聯問題。這些研究沒有從用戶的角度考慮帶寬需求，從用戶的帶寬需求出發，以最多帶寬分配的AP關聯為優化目標，考慮混合型網絡架構下的Wi-Fi系統的無線接入點關聯優化問題。與已有研究方法不同，通過圖轉換技術，并將問題轉化為流圖上的優化問題，提出基于網絡流的優化求解算法，并從理論上證明算法的最優性。最后，通過對比實驗進一步證明了算法的優越性。

無線接入；圖轉換；接入點關聯

1 引言

IEEE 802.11技術（通常稱為Wi-Fi）因其具有高帶寬、低成本等優勢，隨著社會的發展，基于IEEE 802.11協議系列的無線局域網已在校園、工廠等各種場景下不斷得到部署。智能設備的普及更進一步推動了 Wi-Fi的普及，并深入人們的生活和工作的各個方面。在企業層面，面向不同應用的 Wi-Fi應用系統不斷被推出。盡管 Wi-Fi技術有著很多優點，隨著其大規模的應用，其本身也面臨很多技術上的挑戰，如帶寬優化、接入點的最優放置等問題。在這些挑戰中，如何在給定 Wi-Fi系統資源的前提下，使得系統能夠服務更多用戶是實際應用中經?？紤]的一個重要問題。對該問題的深入研究，可以進一步提高Wi-Fi系統在實際應用的利用效率。

近年來，隨著Wi-Fi的不斷普及，Wi-Fi在企業級別也有了廣泛的應用。如在機場、校園校區、商場等規模較大的公共區域，Wi-Fi基本實現全覆蓋。在這類型的Wi-Fi系統中，多個AP通過高速有線網絡連接到中央控制節點，這種混合型結構一般被稱為半集中式結構[1]。在這種混合型結構下，多個 AP之間可以通過骨干有線網絡來分享接入設備相關信息，這使得系統可以及時集中收集當前在各個 AP信號范圍內的用戶信息，使得中央控制節點擁有全局視圖，為設計 Wi-Fi資源分配提供有利條件。

本文將研究在這一混合型架構下的 Wi-Fi中最大帶寬分配的AP關聯問題。已有一些研究[1-3]探討了該AP關聯問題。這些研究主要研究在帶寬容量約束條件下，如何尋求帶寬分配最多的一種AP關聯方案。但這些研究并沒有考慮到用戶的帶寬需求，隨著移動互聯網的發展，為了獲得更好的用戶網絡體驗，如上網、打游戲以及看視頻等，用戶對所分配到的帶寬有著一定的要求?；诖?，本文考慮從用戶帶寬需求出發，研究該需求下的最大帶寬分配的AP關聯優化問題。參考文獻[1]首先考慮了該問題，研究了單元帶寬需求下的最大帶寬分配的 AP關聯優化，給出一個貪婪啟發式算法來求解該問題，但該算法并不能求得該問題的最優解。已有的關于帶寬分配的 AP關聯問題基本都是 NP難問題，而且主要是應用線性、非線性規劃等相關方法來設計啟發式算法或者近似算法。與已有研究的方法不同，本文提出用圖的優化理論來解決此類問題，并探討在某些條件下存在最優解的可能性。本文給出了在每個設備需求是單元帶寬的假設下，在基于圖的最優化網絡流理論基礎上，發現最大帶寬分配的 AP關聯優化存在最優解，理論證明和實驗結果也進一步驗證了該算法的正確性。

2 相關工作

隨著當前接入 Wi-Fi用戶數目大量增長以及多層次結構的 Wi-Fi系統的部署，提升系統利用效率和接納更多用戶請求的問題越發具有挑戰性。為解決此問題，學術界提出了各種場景下，面向不同優化目標的資源調度和分配關聯算法。參考文獻[1]提出了面向帶寬分配的 AP關聯分配算法。參考文獻[2]建模 AP關聯問題，并考慮負載均衡因素，通過松弛和取整的方法，設計了一個具有常數倍逼近度的分配算法。參考文獻[4]提出了基于最少負載優先設備關聯的啟發式算法，也就是設備優先選擇負載最小的 AP接入。參考文獻[5]考慮了 AP可以再關聯的優化問題，提出了在遷徙約束條件下的面向最大吞吐量的優化算法。參考文獻[6]提出了基于可用容量的負載均衡的AP關聯算法。

其他學者從均衡用戶分配的資源的思路出發，提出了多種關聯算法。參考文獻[3]研究了多種異構客戶場景（IEEE 802.11a/b/g/n）下，通過二維馬爾可夫模型預測設備的上下行吞吐量，在此基礎上，以提高 MAC效率為目標，考慮平衡帶寬和速率，建模在線 AP關聯問題并提出一種在線 AP關聯方法。參考文獻[7]考慮了單個設備可關聯多個 AP的情況，并提出最優的面向多個AP傳輸速率策略，并從理論上證明該算法的逼近度為4+∈。參考文獻[8]提出了度量驅動的WLAN設計原則，并以此為指導優化信道分配、AP關聯和AP功率控制等。參考文獻[9, 10]研究了在軟件定義的WLAN框架下的AP關聯問題，考慮了幀延遲、數據分組丟失等多種因素，提出面向服務質量保證的AP關聯方法。參考文獻[11]提出集中式的AP關聯策略模型，并應用蟻群算法求解AP關聯解。

3 網絡模型與問題描述

3.1 網絡模型與定義

圖1 3個AP和4個移動設備

假設 APi的帶寬容量為 Ci，并且任何移動設備只需要 AP能滿足其最小的帶寬即可關聯該AP。定義Li為第i個AP的負載。為了方便，與已有研究一樣[1]，本文假設每個移動設備只需要候選AP滿足1個單元的帶寬要求，即可關聯該AP。因此，第APi的負載Li為該AP關聯的移動設備的數目，而每個 APi的容量 Ci則為該APi能關聯的移動設備最大數目。因此，在此假設下，最終所有關聯上的設備所獲得的總帶寬與設備總的連接數等價。

如果設備dj關聯到APi，定義aij=1，否則aij=0。此外，本文也用 〈uj,vi〉 配對來表示設備j關聯到APi。

3.2 問題描述

定義1（最大AP關聯問題）給定一個混合型Wi-Fi網絡，該網絡有n個AP節點和m個移動設備節點。假設每個移動設備候選的AP節點是已知的，最大AP關聯問題就是求解一種AP關聯算法使得最終網絡中AP所關聯的設備數目最多。

圖2 圖1對應的流圖G′

定義3如果一個AP關聯方案滿足式（2）、式（3），則稱該關聯方案為最大 AP關聯問題的可行解。

4 算法設計與分析

本節給出求解最大關聯問題的最優算法以及相關最優性的證明和分析。該算法的思路是將該AP關聯問題轉化為圖上的優化問題，從而應用圖的優化理論來求解最優解。首先將最大 AP關聯問題轉化為二分圖上的優化問題，然后給出優化算法來求解該優化問題。

值得注意的是，本文中的最大AP關聯問題不能采用經典的二分匹配算法來求解，因為對于每一個AP節點（即二分圖中U中的節點）是可以關聯多于一個的移動設備（即二分圖中V中的一個節點），而二分匹配問題中 U有且僅能與 V中一個節點匹配。未解決此問題，本文提出一種圖轉換方法，將最大AP關聯優化問題轉化為對應的圖優化問題，從而可以應用網絡流優化算法取得最優解。

4.1 基于網絡流的AP關聯算法

首先本文給出如何構造最大 AP關聯問題二分圖：創建一個二分圖，對每個APi節點和移動設備dj，分別在U和D中創建一個節點i和j。如果移動設備j在APi的覆蓋范圍內，也就是APi是移動設備dj的候選節點，則在E中創建一條從i 到j的有向邊(i, j)，并設置(i, j)的權重為

下面給出基于網絡流的最大AP關聯算法。

算法1 基于網絡流的AP關聯算法

輸入：AP集合U，移動設備集合U，每個移動設備的候選AP集合。

輸出：一組移動設備關聯AP的解＜aij＞。

步驟2在G的基礎上建立流圖G'（如圖2所示），在上額外添加一個虛擬源點S和終點T，對U中的每個頂點i，連接源點S與頂點i形成有向邊(S, i)，設置該邊的權重為Ci；對V中頂點j，連接j與終點T形成有向邊 (j,T) ，并設置該邊的權重為W(j,T)=1。

步驟 3應用經典最大網絡流 Push-Relabel算法[14,15]在新構造的流圖G'上，求解出G'上的最大流 f'。用表示最大流解f'在邊(i, j)最大流。

步驟4如果則賦值aij=1，即將移動設備dj關聯到APi。

4.2 算法分析

引理1在圖2中，若所求得的從源點S到終點T 的最大流經過邊則該邊對應的最大流必定為1，即

證明：根據網絡流整數流性質[12]，如果網絡中所有邊的權重（或者容量）為整數，則該網絡的最大流一定為整數流。算法1中所構造的流圖G'的邊的權重均為整數，因此最大流經過一定是整數。又因為(ui, dj)邊的權重均為 1，所以(ui, dj） 若有最大流經過，其最大流必定為1，即

引理2對于任何dj∈D節點，若一個從源點 S到終點 T 的流經過該節點，則

證明：對于任何dj∈D 節點, 因為 (dj,T)的權重為 1，根據網絡流平衡性質[13]，任何流入 dj的流的總和一定為1，因此引理得證。

定理1如果有一個可行性解Γ中，有k個移動設備與APi節點關聯，則對應流圖G'上存在一個從源點S到終點t的流，且該流值為k。反之亦成立。

證明：一個可行解Γ中有k個移動設備與APi關聯，則在流圖G'上可以存在k條邊的流值為1。因為源點S與每個ui相連，并且每個dj與終點T相連，根據網絡流平衡性質[13]，必定存在從源點S到終點T的流f，且f通過這k條邊，且該流值為f( s, t)。又因為可行解Γ滿足式（2），也就是可行解滿足每個 AP的容量約束條件，而邊上的權重則對應AP 的容量，因此，該流f一定滿足流圖G'上的權重限制條件。

反之，對于一個流值為k的從源點S到終點T的流值f( s, t)，結合引理1和引理2，可知對于任何dj∈D節點，只有一條從ui∈D出發的邊的流經過 dj，且 f( ui, dj)=1。因為 f(s,t)=k，根據流平衡性質，則必定有k條(ui, dj)邊的流值為1。也就是有k條 f( ui, dj) =1，對應于k個移動設備與AP節點關聯的方案，并且該方案滿足式（3）。又因為(s, ui)邊的權重對應于AP的容量約束，所以該關聯方案滿足式（2），因此該關聯方案是一個有k個移動設備被關聯的可行解。

定理 2最大 AP關聯問題可以轉化為流圖G'上的最大網絡流問題。

證明：定理1揭示了單個AP關聯問題的可行解與流圖G'上的單源單匯流一一對應關系，并且可行解的值對應于圖G'的流值。值得注意的是，最大AP關聯問題的解是由一系列可行解構成，且最大帶寬AP關聯問題的設備連接數值是這些可行解相應的設備連接數值之和。從而，最大AP關聯問題的解值（設備連接數目）對應于流圖G'上的所有的單源單匯流值之和，也就是對應于流圖G'上的從源點S出發到終點T的網絡流。因此，最大AP關聯問題解的最大值對應流圖G'上的最大網絡流。定理3最大AP關聯問題可以在時間內求的最優解。

證明：算法1的復雜度是由最大網絡流算法主導，因此網絡流算法的復雜度決定了算法1的復雜度。如果采用經典的Push-Relabel算法[14,15]，則算法1復雜度為中，r為流圖G'中節點的個數。因此算法1的復雜度為

4.3 示例

本節給出一個示例來演示算法 1。針對圖 1中的部署場景，假定每個AP的容量為2，也就是根據算法步驟1和步驟2，可以得到圖2中的流圖G'。在圖2中，分別對應于3個AP，則對應于4個移動設備。G'中依附在邊上的數值對應于邊的權重，其中對每個其他邊的權重均為1。

應用最大網絡流算法，可求得該流圖G'的最大流f =4，如圖3所示，加粗的邊為網絡最大流經過的邊，依附在邊上加粗的數字則表示最大流經過該邊的流值，如邊(s, u1)的流的值為2，也就是根據算法1的步驟4，任何邊上流的值為1，則關聯APi和移動設備dj。因此，從最大流流經邊的結果可以得到：AP1與移動設備d1和d2關聯，AP2和移動設備d3關聯， AP3和移動設備d4關聯。

圖3 圖2對應的流圖G′的最大網絡流

5 實驗與分析

5.1 實驗參數設置

為進一步驗證本文所提算法的性能，通過實驗與參考文獻[1]中提出的貪婪算法對比，通過對AP的關聯設備數目、AP關聯數目的分布以及AP的利用率對比，對算法性能進行實驗分析和評估。

實驗中有n個AP節點，m個移動設備。每個AP節點的容量是C，實驗中假設每個AP節點的帶寬容量相同。本實驗通過 AP關聯移動設備數目來判斷本文所提出的算法的有效性和合理性。

為了更全面地突出本文算法的有效性，從以下幾個方面進行了仿真實驗。

（1）固定AP節點的數量為5，且每個AP節點的帶寬容量為5，設置不同的移動設備數量，分別為10、15、20，隨機運行10次，比較本文算法與貪婪算法的實驗結果。

（2）固定移動設備數為10，每個AP節點的帶寬容量為5，設置不同的AP節點數，分別為5、6、7，隨機運行10次，將本文提出的算法與貪婪算法進行比較。

（3）固定AP節點數量為5，且每個AP節點的帶寬容量為5，改變移動設備的數量，分別為5、10、15、20、25、30、35、40、45、50，比較這兩個算法的結果。

（4）固定AP節點數為6，設置不同的AP節點的帶寬容量，分別為5、6、7，隨著移動設備逐次增加的情況下（移動設備數量分別為5、10、15、20、25、30、35、40、45、50），比較本文提出的算法與貪婪算法的實驗結果。

（5）比較兩算法在3種不同的 AP節點數和移動設備數的條件下，AP節點與移動設備連接分布情況。

（6）在AP節點數為5，容量為5的條件下，隨著移動設備數量逐次增加，對兩個算法中 AP節點的利用率進行了比較。

5.2 實驗結果

根據要求設置參數，進行仿真實驗。在實驗中將本文的優化算法與已有的貪婪算法進行比較。針對本文求最大AP聯結數的問題，使用貪婪算法將其分成每個AP節點盡可能多地連接移動設備的子問題。在給定的一個部署場景中，將每個AP節點與移動設備連接的數量按降序排列，在確保每個移動設備只連接一個AP節點的條件下，按之前排列的順序依次留下原部署場景中的AP節點與移動設備的連接狀態，最后計算得到AP聯結數。

本文首先設置AP節點的數量為5，每個AP節點的容量為5。然后，設置不同的移動設備數量，分別運行基于網絡流的AP關聯算法和貪婪算法。運行10次，并且將每次這兩個算法生成的AP關聯設備的數目進行比較。圖4給出了當移動設備數量為10、15、20時的比較結果，可以看出，使用基于網絡流AP關聯算法得到的AP關聯數普遍高于貪婪算法。

圖4 AP節點數為5，不同移動設備數量下運行10次的AP關聯數

接下來，設置移動設備數量為10，每一個AP節點的容量為5，對不同數量的AP節點分別運行基于網絡流 AP關聯算法和貪婪算法，每一組實驗運行10次，對兩個算法生成的AP關聯設備的數目進行比較。圖5給出了AP節點數為5、6、7時的比較結果。從圖5可以看出，基于網絡流AP關聯算法生成的 AP關聯設備的數目總是大于貪婪算法的，且大多數時候是遠大于貪婪算法的。這個結果與本文算法結論一致，有效驗證了本文算法的性能高于貪婪算法性能。

圖5 移動設備數為10、AP節點數不同時運行10次的AP關聯數

為了更進一步驗證本文算法的有效性，還進行了如下實驗，設置AP節點數為5，且每個AP節點的容量為 5，移動設備數量依次為 5、10、15、20、25、30、35、40、45、50，分別觀察兩種算法運行下生成的 AP關聯設備的數目，結果如圖6所示。可以看到，在相同的AP數量和移動設備數量下，基于網絡流 AP關聯算法得到的AP關聯數始終大于貪婪算法得到的AP關聯數，如此進一步驗證了所提算法更為有效性。

另外，還改變 AP節點的容量值進行兩個算法的對比實驗。實驗中設置AP節點的數量為6。然后設置不同的 AP節點容量，分別運行基于網絡流AP關聯算法和貪婪算法，在移動設備數量逐次增加的情況下比較兩種算法生成的 AP關聯設備的數目。圖7給出了當AP節點容量為5、6、7時的比較結果。可以看到，在 AP節點數為6，且移動設備數量相同的時候，基于網絡流AP關聯算法得到的AP聯結數大多數時候大于貪婪算法得到的AP聯結數。另外還可以發現，在同一場景部署下，當該環境中的AP節點容量增大時，本文所提出的算法的性能明顯優于貪婪算法。

圖6 AP節點數為5，隨著移動設備數量增加生成的AP關聯數

圖7 AP節點數量為6時，不同容量下隨著移動設備數量增加生成的AP關聯數

接下來，分別運行基于網絡流AP關聯算法和貪婪算法，比較3種不同的AP節點數和移動設備數的條件下 AP節點與移動設備連接分布情況。圖8給出了AP節點數為5，且每個AP節點的容量為5，移動設備數為10的情況下，AP連接數的分布情況。從圖8中可以看出，在基于網絡流AP關聯算法中每個AP節點都連接著相應數量的移動設備，而貪婪算法下第 3個AP節點、第4個AP節點和第5個AP節點都沒有與移動設備相連接。所以很明顯地得出本文提出的算法更為有效。另外，本文還分別進行了AP節點數為6，且每個AP節點的容量為5，移動設備數為15和AP節點數為7，且每個AP節點的容量為5，移動設備數為20的實驗。結果分別顯示在圖9和圖10中。結果與上述結論保持一致。

圖8 AP節點數為5，移動設備數為10的AP連接數分布

圖9 AP節點數為6，移動設備數為15的AP連接數分布

此外，本文還對兩個算法中AP節點的利用率進行了比較。圖11給出了AP節點為5，且每個 AP節點的容量為5，移動設備數量逐量遞增的條件下兩算法中AP 節點的利用率情況?？梢钥闯觯诰W絡流的AP關聯算法下所得到的AP利用率一直高于貪婪算法，而且大部分情況下，AP利用率為100%。由此可以看出，本文提出的算法在AP利用情況上比貪婪算法更為高效。

圖10 AP節點數為7，移動設備數為20的AP連接數分布

圖11 AP節點數量為5，容量為5時隨著移動設備數量增加生成的AP利用率

6 結束語

本文提出了在混合型架構下的一種面向最大連接數的AP關聯算法。與已有AP關聯方法不同，本文應用圖優化方法來設計 AP關聯算法，提出圖轉換技術，設計流圖，將該 AP關聯優化問題轉化為流圖上網絡流優化問題，并從理論上證明了兩個問題的等價性。在此基礎上，應用網絡流算法，提出基于網絡流算法的最優AP關聯算法。通過仿真實驗，驗證了該算法的有效性。

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An association optimization algorithm for wireless access points based on graph transformation

TAO Wen1, SHEN Yan2, GUAN Xinjie2, WAN Xili2
1.College of Mathematics and Information Technology, Jiangsu Second Normal University, Nanjing 210013, China 2. College of Computer Science and Technology, Nanjing Tech University, Nanjing 211816, China

Wireless access point association problem is one of the fundamental problems for Wi-Fi systems. Existing studies focus on the AP association problems under the bandwidth capacity constrain, without considering bandwidth demand for users. Considering the user bandwidth demands, the access point association problem for a Wi-Fi system under hybrid network architecture was studied, with the objective of maximum bandwidth allocation. Different from existing studies, by utilizing graph transformation techniques, this optimization problem was transformed to a network flow optimization problem on a flow graph. Then, an algorithm was proposed based on the maximum network flow problem. Theoretic proof for the optimality of the algorithm was presented and simulations results further validated the superiority of the proposed algorithm.

wireless access, graph transformation, AP association

s: The National Natural Science Foundation of China (No.61602235), The National Natural Science Foundation of Jiangsu Province of China (No.BK20161007)

signal strength indication，RSSI）判斷Wi-Fi接入點（access point，AP）的信號強度，并選擇信號強度最強的AP與之關聯。這種方法不能合理分配用戶到不同的AP上，容易造成部分AP過載，而其他AP關聯的用戶偏少，從而造成系統資源不能被充分利用，降低了系統整體關聯的用戶數目。此外，這種方法只是以信號強度來關聯用戶和AP，而沒有考慮到每個 AP的容量是有限的，即所能容納的用戶數是一定的。因此，如何在 AP容量有限的前提下，合理調度分配系統資源，從而提升系統整體可接入用戶數量是 AP關聯領域的一個重要問題[1]。

TP301

A

10.11959/j.issn.1000?0801.2017310

2017?08?05；

2017?09?19

國家自然科學基金資助項目（No.61602235）；江蘇省自然科學基金資助項目（No.BK20161007）

陶雯（1979?），女，江蘇第二師范學院數學與信息技術學院講師、CCF會員，主要研究方向為無線網絡協議。

沈艷（1984?），女，南京工業大學計算機科學與技術學院碩士生，主要研究方向為網絡優化。

管昕潔（1984?），女，博士，南京工業大學計算機科學與技術學院講師，主要研究方向為云計算和軟件定義網絡。

萬夕里（1982?），男，博士，南京工業大學計算機科學與技術學院講師，主要研究方向為網絡優化和算法設計。