基于波動率的期權定價

吳 昳

(蘇州大學東吳商學院 江蘇 蘇州 215000)

基于波動率的期權定價

吳 昳

(蘇州大學東吳商學院 江蘇 蘇州 215000)

2015 年2月9日，我國的證券市場上出現首個場內期權——上證 50ETF 期權，它具有的避險、做空以及杠桿性等許多特性，一上市便成為眾多投資者追逐的對象。在實證研究中，本文使用上證50ETF期權作為研究樣本，采用主要使用 GARCH系列模型來估計波動率，并與傳統的期權定價模型相結合，同時和傳統BS公式方法下的理論價格以及期權的實際價格進行對比，通過平均偏離度的分析，GARCH族模型提高了BS模型準確性和有效性,因此拓展波動率在期權定價中的推廣是合理的。

上證50ETF期權；GARCH模型；Black-Scholes模型

一、研究意義

2015年2月9日，中國證券市場首個股票期權產品——上證50ETF期權合約品種，經中國證監會批準，在上海證券交易所揭牌上市，表明了我國境內資本市場進入了全新的期權時代。根據國外關于期權的經驗以及期權自身的特點可以看到，上證50ETF期權的推出，不僅提高了標的產品的市場流動性，而且對于投資者來說，改善了ETF投資者結構，豐富了投資者的風險管理工具，也為投資者提供了無風險套利的機會。因此，掌握期權定價的原理并將其運用到實踐中去是至關重要的。

從理論角度，一個合理的期權定價方法，是有利于促進期權市場的發展，從而完善金融市場的。傳統的BS公式中，波動率是一個常數，進行定價時難免會有偏差。本文通過GARCH族模型進行波動率的預測，得到的波動率是隨時間發送變化的，在一定程度上能夠豐富期權定價理論。

從實務角度，本文通過動態波動率模型進行相關實證分析，以期制定更為合理的期權定價，為投資者實現套期保值、無風險套利等提供重要的指導意義。

二、期權定價影響因素及原理

1.影響因素

對于股票價格(S)和行權價格(X)，S變大時，看漲期權的價格會上升，而看跌期權的價格會下降；X變大時，看漲期權的價格會下降，而看跌期權的價格會上升。對于期權合約的到期期限(T)，假設其他因素都不變，T的值越大，期權的時間價值越大，該合約被執行的可能性越大，所以期權的價格越大。對于無風險利率(r)，從理論意義上講，無風險利率r變大，則風險中性條件中的期望回報率會變大；而在T時刻以r貼現的X的現值則會變小，所以在其他條件不變的情況下，當r變大時，看漲期權的價格會上升，而看跌期權的價格會下降。對于標的資產價格的波動率(σ)，波動率越大，無論是看漲還是看跌期權，其價格都會變大。

2.期權的定價原理

根據風險中性定價原理，把期望值進行貼現，其貼現率為無風險率，所得到的貼現值就是期權(歐式看漲期權)的價格c：

(1)

c=SN(d1)-Xe-r(T-t)N(d2)

(2)

(3)

(4)

其中，N(X)表示這個變量小于X的概率，也叫標準正態分布變量的累計概率分布函數①，根據標準正態分布的性質，我們可以得到N(-X)=1-N(X)。

由于歐式看漲期權和看跌期權之間存在平價關系，我們可以得到無收益資產歐式看跌期權的定價公式：

p=Xe-r(T-t)N(-d2)-SN(-d1)

(5)

三、模型介紹

1.GARCH(1，1)，模型

大量的實證研究表明，在大多數情況下，ARCH效應可被GARCH(1，1)模型消除，因此本文簡化模型形式為：

(6)

2.TGARCH模型

TGARCH模型也叫門限GARCH模型，由Zakoian (1990) 和Glosten，Jafanathan，Runkle(1993)提出。該模型加入了門限值②：

(7)

上述方程當中引入的虛擬變量dt-1，表示作用在均值方程上的擾動。

3.EGARCH模型

EGARCH模型也叫指數(Exponential)GARCH模型，由Nelson，(1991)提出。條件方差方程為

(8)

四、實證分析

1.數據樣本的選擇及理由

由于本文的目的在于研究上市不久的上證50ETF期權的定價問題，因此本文分別選取了2015年12月、2016年3月以及2016年4月到期的并且交易量最大的期權，分別為50ETF購12月2500(10000285)和50ETF沽12月2500(10000286)，50ETF購3月2050(10000375)和50ETF沽2050(10000379)以及50ETF購4月2150(10000579)和50ETF沽2150(10000584)。本文使用的統計軟件為EVIEWS8.0和Matlab2012b。

2.平穩性檢驗

為了研究上證50ETF收益率波動的特征,本文選取從2012年11月2日到2016年4月8日的收益率數據，共834個樣本點。本文選取對數收益率來衡量上證50ETF波動風險:

(9)

經實證檢驗可知，t統計量的值為-25.56240，對應的P值為0。在99%的置信水平下，拒絕原假設，則認為上證50ETF的收益率序列不存在單位根，所以其對應的收益率序列是平穩的，因此，用GARCH模型進行檢驗是有效的。

3.正態性檢驗

從實證結果來看，偏度的數值是個負數，表明該序列分布右偏；峰度為8.024320，大于3，表明分布的凸起程度大于正態分布，該收益率具有“尖峰厚尾”的特征；JB統計量的值較大，且其對應的P值為0，也說明該序列顯著異于正態分布，因此用GARCH族模型來估計收益率是合理的。

4.波動率的估計

以第一期預測為例，首先采用GARCH(1,1)模型進行估計，選用的歷史數據為2012.11.02-2015.11.02，得到方差方程為：

接下來對GARCH(1,1)模型的結果進行ARCH LM檢驗，此時的P值為0.1950，接受原假設，則可認為該序列不存在ARCH效應，說明利用GARCH(1,1)模型消除了異方差性。

在TGARCH模型下，得到方差方程為：

因此，在TGARCH模型下，杠桿效應項的系數γ=0.006902說明上證50ETF價格的波動具有杠桿效應。

在EGARCH模型下，通過EVIEWS操作的結果圖5-7。

得到方差方程為

在EGARCH模型中，項的估計值顯著的不為0，所以沖擊的影響也存在非對稱性。當ut-1>0時，該信息沖擊條件方差的對數有一個0.177952倍的沖擊；當ut-1<0時，該信息給條件方差的對數帶來的沖擊倍數為0.19044倍。

5.計算結果分析

為了更直觀并且定量地評價不同模型的定價效果，本文引入了一個新的概念——偏離度，以此作為檢驗模型的有效性的依據。

偏離度ω=(實際市場價格-理論計算價格)/實際市場價格

計算結果如下表：

表5-1 各模型平均偏離度

從上表中，我們可以看出：(1)同實際的期權市場價格相比，傳統的BS期權定價模型存在較大偏差。(2)GARCH族模型的定價效果明顯比傳統的BS 模型好。(3)GARCH(1,1)、TGARCH、EGARCH模型的定價效果差距不大。(4)四個模型中，EGARCH模型的定價效果相對較好，說明非對稱GARCH能更準確的估計波動率的大小。

五、結論

從期權定價的效果來看，四種模型模擬的價格趨勢與真實價格基本一致；由于收益率序列r存在時變性和非正態性，因此傳統的BS期權定價模型與期權的實際的市場價格存在偏差；GARCH族模型的定價效果明顯比傳統的BS 模型好；GARCH(1,1)、TGARCH、EGARCH模型的定價效果差距不大；四個模型中，EGARCH模型的定價效果相對較好，說明波動的非對稱效應是存在的。

雖然本文研究了基于波動率的期權定價，但由于客觀條件以及自身研究視野及研究水平有限有限，本文還存在諸多不足之處，標的資產的價格在波動的同時一般都會有擴散和跳躍行為，但本文為了簡化起見，并沒有使用跳躍模型，有可能會導致期權的理論價格和實際的市場價格差距較大；實際上利率也不是一個固定不變的常數，而應該是一個隨機波動的參數，本文為了簡化起見，假設利率固定不變，也有可能導致期權的理論價格和實際的市場價格之間存在偏差。

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[7]焦凱.中國內地權證的實證研究[D]: [博士學位論文].復旦大學，2007.

【注解】

①鄭振龍.版金融工程.期權定價模型,[M].高等教育出版社.2010

②基于GARCH模型的波動率預測及應用[J]工學院學報.2011(6)

吳昳(1994.05-)，女，漢，江蘇蘇州人，在職研究生，蘇州大學東吳商學院，研究方向：國際金融。