一種基于貝葉斯正交匹配追蹤的水下多徑稀疏信道估計方法

林格平，馬曉川，鄢社鋒，王敏

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一種基于貝葉斯正交匹配追蹤的水下多徑稀疏信道估計方法

林格平1,2,3，馬曉川1,2,3，鄢社鋒1,2,3，王敏4

(1. 中國科學院聲學研究所，北京 100190； 2. 中國科學院水下航行器信息技術重點實驗室，北京 100190； 3. 中國科學院大學，北京 100190； 4. 中國計量科學研究院，北京 100029)

使用訓練序列構成的測量矩陣并采用稀疏恢復算法是近年來常用的多徑稀疏信道估計思路。提出一種貝葉斯匹配追蹤算法的正交化改進方法，有效地改善了原方法的收斂速度，并將其應用于水下多徑稀疏信道估計。進行了新方法的理論推導和兩種水下稀疏信道模型中的仿真試驗，進而與傳統貪婪迭代和貝葉斯估計方法的估計效果進行了對比。仿真結果證明，所提出的新方法比原方法的收斂速度更快，能更高效地進行多徑稀疏信道估計。新方法在低信噪比和呈簇狀集中分布的水下多徑稀疏信道中也有更好的估計效果。

稀疏信道估計；正交匹配追蹤；貪婪算法；貝葉斯模型選擇

0 引言

稀疏信道是指存在時延擴展但多徑數量很少的信道，這是由信道的衰減和多徑效應造成的。很多信道都是稀疏信道，比如水下聲信道[1]和高清電視信道[2]。在水聲信道中，一般主要考慮海面反射、海底反射、海面-海底反射和直達路徑四種路徑，如圖1所示。

圖1 典型的多徑稀疏信道—水聲信道示意圖

由圖1可以看出稀疏信道中的多徑效應。信道的多徑時延擴展，造成了信號畸變和碼間干擾(Inter-Symbol-Interference，ISI)，使誤碼率增加，將嚴重影響通信的可靠性。于是信道的均衡技術應運而生。均衡技術的前提是對信道狀態信息的獲取。這正是我們需要進行快速而準確的稀疏信道估計的原因。

近年來稀疏信道估計問題引起了廣泛關注，學者們進行了大量相關的研究。經典的信道估計方法是采用匹配濾波方法進行的，這種方法相當于將發射和接收信號做互相關處理，該方法雖然對噪聲的容忍性較強，但在多徑間隔小于分辨率極限時，它無法區分兩條多徑。最小二乘法[3]是另外一種常用的方法，這種方法原理簡單，但抗噪性能差，無法保證估計精度。近年來也有將陣列信號處理中的MUSIC[4]等方法應用于稀疏信道估計的研究[5]。以上方法均是在密集信道的前提假設下提出的，但未對信道的稀疏性加以考慮。事實上，信道的稀疏性能給問題的解決帶來很大的便利，壓縮感知和稀疏信號恢復理論[6-7]在此類問題上進行了深入討論。已有若干學者借助稀疏信號恢復理論對稀疏信道估計問題進行了研究，例如文獻[8]最早將匹配追蹤方法[9]應用于稀疏信道估計問題，這是一種根據貪婪準則迭代確定多徑位置和幅度的方法，效率遠好于傳統估計方法。文獻[5]和文獻[10]分別將正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)[11-12]和基追蹤方法(Basis Pursuit，BP)應用于水聲稀疏信道估計，均取得了較好的估計效果。稀疏信道估計的另一種思路是貝葉斯方法，如相關向量機方法(Relevance Vector Machine，RVM)或貝葉斯壓縮感知方法(Bayesian Compressed Sensing，BCS)[13-14]，已被應用于正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)的稀疏信道估計[15]。貝葉斯匹配追蹤(Bayesian Matching Pursuit，BMP)是一種將貪婪搜索與最大后驗準則結合的信號恢復方法[16]，也非常適用于稀疏多徑信道估計問題，但是仍然存在收斂速度不理想的問題。本文正是針對這個問題展開研究，將正交化引入貝葉斯匹配追蹤，提出了貝葉斯正交匹配追蹤(Bayesian Orthogonal Matching Pursuit，BOMP)估計方法以改善其迭代的收斂速度。本文不僅對此進行了理論推導，給出具體的算法流程，還針對兩種不同的水下多徑稀疏信道進行了仿真試驗，與傳統貪婪迭代估計方法中的OMP、StOMP(Stagewise Orthogonal Matching Pursuit)[17]以及貝葉斯估計方法中的RVM和BMP的性能進行了對比。仿真結果證明，本文提出的方法具有更好的迭代收斂速度，并且在低信噪比和多徑間距小、呈簇狀集中分布的水聲信道中的估計精度比常用的稀疏信道估計算法具有明顯優勢。

1 系統模型的建立

將上式重寫為

然后用表示卷積中的信號矩陣，這里把它當作稀疏恢復中的測量矩陣來使用。將式(5)寫成矩陣形式，得到

是由訓練序列構成的Toeplitz矩陣。由于信道的稀疏性，中的多數成分為零，非零元素代表不同延時的幅度值。對此信道進行估計就是找出這些延時并計算非零項的大小。如果其中非零項個數為，那么這個信道稱為-稀疏的或信道的稀疏級為。

2 本文提出的方法

首先進行稀疏模型選擇，也就是在給出接收信號的情況下選擇模型。在這里使用貝葉斯原理，模型選擇后驗概率為

將上式的分子作為模型選擇量并求對數，得到

在確定模型向量后，下一步工作是求中的非零值的幅度。在這里采用最小均方誤差準則來求解

由參考文獻[19]進而得到

另一方面，由于匹配追蹤的收斂速度依賴于殘差和被選出的模型對應的字典列向量之間的正交性。所以匹配追蹤的收斂是一種漸進收斂，在有限步數的迭代之后得到結果是次優的。為了提高這種方法的迭代速度，在每次更新殘差時，使殘差與被選出的模型對應的字典列向量正交。在每次得到新的模型后，采用最小二乘方法得到的預估計：

將新方法的處理流程總結如下：

初始化：

3 仿真試驗

在本節中，將本文提出的算法用數值仿真試驗進行驗證。試驗將從估計結果、收斂速度和估計誤差三方面分析本文算法的性能，并與OMP、StOMP、RVM和BMP進行對比，得到它的優勢和缺點。

3.1 仿真條件

選擇淺海水聲通信為物理背景進行研究。參考文獻[20-21]，采用線性調頻波作為訓練序列：

在仿真中選取兩種不同的水下多徑稀疏信道模型。這兩種信道的沖激響應都通過聲線模型計算出來，它們的多徑數即信道稀疏度分別為16和35，信道總長度為250。兩種信道模型的信道沖激響應分別如圖2和圖3所示。模型2相比模型1，幅度明顯提高，具有更多的多徑數且多徑呈明顯簇狀分布，是一種更加典型的水聲信道。在兩種水聲稀疏信道模型下分別進行算法仿真有助于對算法的普適性進行驗證。兩種通信和信道參數分別在表1和表2中列出。

仿真試驗中，假設發射的訓練序列經過信道后，得到觀測數據，由和來估計多徑稀疏信道的沖激響應。在對算法的估計精度進行評價時，與聲線模型計算得到的信道沖激響應進行對比。

圖2 信道沖激響應(模型1)

圖3 信道沖激響應(模型2)

表1 仿真試驗中采用的模型1通信參數

表 2 仿真試驗中采用的模型2的通信參數

本節中的數值仿真都是在CPU主頻為2.93 GHz、內存為3GB和操作系統為Windows7的計算機上進行的，仿真環境為MATLAB2013a，對算法都進行100次蒙特卡羅試驗3.2 仿真結果。

3.2.1 沖激響應估計結果

本文所提出的BOMP對模型1信道在信噪比為20 dB時的估計，如圖4所示。采用采樣點來表示延遲，從圖4可以看出，BOMP對模型1信道的估計與真實信道沖激響應非常接近。BOMP不僅能準確找到多徑的位置，而且對幅度的估計也很接近實際值。

BOMP對模型2信道的估計如圖5所示。對比圖2可以看出，BOMP在對多徑數明顯增加的模型2進行信道估計時，基本能將多徑位置和幅度準確地估計出來。

圖4 BOMP的估計結果(模型1, SNR=20 dB)

圖5 BOMP的估計結果(模型2, SNR=20 dB)

3.2.2 收斂速度和估計效率

對本文所提出的方法的收斂性進行研究。本文所提算法的出發點就是利用正交性在貝葉斯匹配追蹤的基礎上改善收斂速度。首先考察BOMP和BMP收斂時迭代次數的對比，圖6展現的是在模型1下兩者估計誤差與迭代次數的關系。從圖6可以看出，BOMP相比于BMP，整體的迭代收斂次數遠遠低于BMP；BOMP的估計誤差在步數大于多徑數時變化不大，而BMP則需要3倍于多徑數的步數；相同的估計誤差下，BMP需要3～8倍于BOMP的步數。這些結果與理論分析基本吻合。

圖6 BOMP的估計誤差隨迭代步數的變化

另一方面，正交化過程會帶來計算量的增大，每一步迭代中都要進行的最小二乘計算是造成計算量增大的主要原因。在這種情況下，考察了BOMP和BMP的估計效率，并做了比對，如圖7所示。由圖7可以看出，盡管BOMP的每一次迭代運算時間多于BMP，但是由于迭代次數大大減少，所以總的運算時間仍然少于BMP，估計效率也高于BMP。在同樣的估計誤差下，新方法的運算時間比BMP縮短一倍以上。

圖7 BOMP的估計時間隨估計誤差的變化

選取了BOMP和BMP以及幾種傳統估計方法StOMP、OMP、RVM，在模型1下對它們的運算時間進行測試，以觀察他們的估計效率。結果如表3所示，從表3可以看出本文提出的方法較BMP在效率上有明顯提升，但由于運算復雜度高于傳統貪婪迭代方法和相關向量機方法，估計效率比這幾種傳統方法低。

表3 運算時間對比(s)

3.2.3 估計精度

另外一個需要考察的重要的性能指標是估計精度，這是直接影響到通信性能的指標。本文選取估計結果的均方誤差(Mean Square Error，MSE)隨信噪比的變化來考察這一性能。MSE的計算方法如下：

由圖8可以看出，信道模型1下，BOMP在信噪比不超過9 dB時性能優于其他估計方法，而BMP的性能與BOMP接近但稍差。隨著信噪比的提高，BOMP的估計精度變化不大，在信噪比高于10 dB時，估計精度比RVM和StOMP差，說明在模型1這種多徑數不太大的情形下，BOMP是一種對噪聲不太敏感的估計方法，且在低信噪比下有更好的估計效果。由圖9可以看出，在信道多徑數變大且呈簇狀分布的情況下，BOMP在高信噪比時的估計性能有所提高，與RVM和StOMP接近，并且在低信噪比下仍然保持了很好的估計性能。在信噪比不高于20 dB的條件下，BOMP的估計精度比傳統方法中性能較好的RVM方法提高了大約3 dB以上。由此可見，本文提出的方法對于多徑效應明顯、擴展嚴重且信噪比條件較差的水聲多徑稀疏信道的估計問題具有較好的估計性能。

圖8 BOMP估計誤差與其他算法的對比(模型1)

圖9 BOMP估計誤差與其他算法的對比(模型2)

4 結 論

本文從水下稀疏多徑信道估計的問題出發，針對貝葉斯匹配追蹤收斂速度較差的問題，在進行貝葉斯模型選擇時對其進行了正交化改進，使其收斂速度更快，再用最小均方誤差準則進行幅度估計。進而采用兩種水聲稀疏信道模型進行了仿真試驗，仿真結果證明，本文所提出的BOMP方法相比BMP，可以明顯改善估計速度，在同樣的估計誤差下可以將估計速度提高一倍以上。在多徑數大且多徑呈簇狀集中分布、信噪比較低的典型水下多徑稀疏信道場景中，本文提出的方法在估計精度上比傳統貪婪算法和相關向量機方法也有明顯提升。另外，由于目前的條件限制，暫時缺少試驗數據以對本文的方法進行驗證，這將作為今后一個重要的努力方向。

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Underwater multipath sparse channel estimation via bayesian orthogonal matching pursuit

LIN Ge-ping1,2,3, MA Xiao-chuan1,2,3, YAN She-feng1,2,3, WANG Min4

(1. Institute of Acoustics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China;2. Key Laboratory of Information Technology for AUVs, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China;3. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China;4. National Institute of Metrology, Beijing 100029, China)

Constructing a measuring matrix with training sequence and then using sparse recovery algorithms is a usual approach to multipath sparse channel estimation. In this paper, an improved Bayesian matching pursuit is proposed and applied to underwater multipath sparse channel estimation. We illustrate the method theoretically and test it on two models of underwater multipath sparse channel. Performance of this algorithm is shown in comparison with conventional estimating methods. Numerical simulations demonstrate that estimated result of this method converges faster than that of BMP, thus it estimates multipath sparse channel more efficiently. What’s more, the proposed method provides better performance than conventional ones in low-SNR conditions and in the channels with many close paths.

sparse channel estimation; orthogonal matching pursuit; greedy algorithm; Bayesian model selection

TN929.3

A

1000-3630(2017)-05-0484-07

10.16300/j.cnki.1000-3630.2017.05.015

2017-01-22;

2017-5-22

國家自然科學基金(61431020)資助項目

林格平(1989－), 男, 河北邯鄲人, 博士研究生, 研究方向為數字信號處理。

林格平, E-mail: lgp606@126.com