一種基于波數(shù)積分方法的線源聲場計算方法

于曉林，駱文于，楊雪峰，張仁和

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一種基于波數(shù)積分方法的線源聲場計算方法

于曉林1,2，駱文于1，楊雪峰2,3，張仁和1

(1. 中國科學院聲學研究所聲場聲信息國家重點實驗室，北京 100190；2. 中國科學院大學，北京 100049； 3. 中國科學院聲學研究所東海研究站，上海 201815)

提出了在Pekeris波導條件下，一種基于波數(shù)積分方法的線源聲場中的穩(wěn)定數(shù)值計算方法。通過對深度格林函數(shù)中上行波與下行波的歸一化，得到穩(wěn)定的系數(shù)矩陣，從而求得格林函數(shù)的解析解。對深度格林函數(shù)進行模式展開，驗證了該方法得到的深度格林函數(shù)解析解的準確性。結(jié)合仿真實例，將該方法得到的波數(shù)積分模型與傳統(tǒng)簡正波模型KRAKENC的結(jié)果進行比較，結(jié)果顯示，當某號簡正波的波數(shù)與海底波數(shù)接近時，KRAKENC計算不出該號簡正波，會導致KARKENC的計算結(jié)果不準確，而波數(shù)積分方法可以很好地解決該問題。因此，提出的方法可以作為Pekeris波導中線源激發(fā)聲場的標準模型。

線源問題；波數(shù)積分；穩(wěn)定性解法

0 引言

Pekeris波導作為一個經(jīng)典聲傳播問題環(huán)境模型，是由Pekeris在1948年發(fā)表的文章中首次較完整地提出并給出了海上試驗結(jié)果[1]。布列霍夫斯基赫在其專著中對該問題進行了詳細推演，得到完備的近似解析式[1]。國內(nèi)的聲學專著將該模型作為一般分層波導模型的特例給予相應的研究[3-4]。

現(xiàn)有的主要聲場建模理論方法包括簡正波方法[5-6]、波數(shù)積分方法[7]、拋物方程法[8]、有限元方法[9]等。其中，簡正波方法是研究比較多而且應用比較廣的一種方法。早期被廣泛引用的一篇文獻出自于Pekeris[1]，他提出了簡單的兩層海洋模型的理論，Graves R[10]等人在一篇概述文章中提到了簡正波方法研究方面取得的進展。簡正波方法的基本原理是把積分拓展到復平面，應用柯西原理通過計算圍道內(nèi)的留數(shù)來計算原積分，一般在處理時忽略了分支線積分，所以簡正波理論在較近距離上存在較大誤差，一定距離之外精度較高。隨著工程實踐的發(fā)展，對近距離聲場理論的需求日益緊迫，而在某些特殊情況下，如低頻淺海聲學環(huán)境中，由于傳播模式比較少，傳統(tǒng)簡正波理論對近距離的聲場的計算結(jié)果不再準確。

波數(shù)積分方法是對水平分層介質(zhì)的積分變換法的數(shù)值實現(xiàn)方法，聲場解的形式是深度分離波動方程解的譜積分。水平分層介質(zhì)的波數(shù)積分原理是Pekeris首先引入到水聲學中的[1]，他使用了簡單的兩層和三層環(huán)境模型來處理分層平面波導中的聲傳播。波數(shù)積分方法與簡正波方法的主要區(qū)別在于積分處理方法上的不同。簡正波方法是使用復圍線積分將積分表達式簡化成留數(shù)之和，而波數(shù)積分方法采用的是直接數(shù)值求積分的方法，因而其對聲場的計算更為準確。

國內(nèi)對波數(shù)積分方法的研究相對比較少。姚萬軍在文獻[11]中討論了波數(shù)積分的實現(xiàn)方法，并強調(diào)了數(shù)值實現(xiàn)過程中的重點。國外也有一些文獻把波數(shù)積分方法擴展到與距離無關(guān)的海洋環(huán)境的研究[12-13]，但都有一定的局限性。

文獻[14]以及文獻[15]中給出了在Pekeris波導條件下，點源問題的波數(shù)積分的計算方法。理論推導可以發(fā)現(xiàn)，由于這兩篇文獻都沒有對積分核函數(shù)做合理的歸一化，因而會造成線性方程組的數(shù)值溢出，為了避免該問題，需要在求解過程中對積分核函數(shù)進行合理的歸一化，從而保持方程解數(shù)值的穩(wěn)定性。

注意的是，在現(xiàn)有的文獻中，所有基于波數(shù)積分方法的數(shù)值模型的理論以及仿真都是關(guān)于點源的，還沒有基于波數(shù)積分方法的關(guān)于線源的詳細推導以及仿真，故本文只給出相應的線源解。

1 理論

在海洋聲學中，亥姆霍茲方程是許多重要數(shù)值方法的理論基礎(chǔ)，這些數(shù)值方法包括波數(shù)積分方法、簡正波方法、拋物方程方法等。

1.1 亥姆霍茲方程的處理

在處理亥姆霍茲方程之前，需要選擇合適的坐標系。一般來講，邊界條件是個復雜因素，坐標系的選擇主要由邊界條件決定。在對與距離無關(guān)的問題使用分離變量法的時候，必須選用其中有一個坐標軸與水平界面垂直的坐標系。已有文獻中的理論推導以及分析主要集中在點源問題的處理上，本文將點源與線源問題進行了比較，并將重點放在對線源問題的分析以及仿真中。

對于與距離無關(guān)的問題，亥姆霍茲方程取以下形式[14]：

1.1.1 點源問題

得到點源的深度分離波動方程：

1.1.2 線源問題

利用傅里葉變換對，

得到線源的深度分離波動方程：

1.2 格林函數(shù)的求解

從前面的分析可知，點源問題與線源問題格林函數(shù)的求解方法是一樣的，因而點源問題的格林函數(shù)的結(jié)果也可以應用到線源之中。

在文獻[14]與文獻[15]這兩篇文獻中，分別給出了兩種不同的計算深度格林函數(shù)的線性方程組。可發(fā)現(xiàn)：兩篇文獻給出的線性方程組，由于沒有做歸一化，容易導致數(shù)值溢出問題，因此如果用這兩種方法處理線源問題，同樣會存在數(shù)值溢出問題。

下面分析兩篇文獻中深度格林函數(shù)數(shù)值溢出的原因，然后通過合理的歸一化，從而求得數(shù)值穩(wěn)定的格林函數(shù)。

在文獻[14]中，海水中的上行波與下行波都以海面為參考點，方程為

由于海底為半無限空間，只有下行波，并且以海底界面為參考點，方程為

圖1 Pekeris波導問題的示意圖

由于海面處聲壓為0，

且海水—海底界面處壓力連續(xù)和法向質(zhì)點振速連續(xù)，

可求得系統(tǒng)方程為

因此，方程(15)在實際仿真中容易造成數(shù)值的溢出。

在文獻[15]中給出了另外一種計算深度格林函數(shù)的系統(tǒng)方程組。水中下行波以海底為參考點，上行波以海面為參考點，方程為

海底中格林函數(shù)與文獻[12]一樣，同樣以海底界面為參考點。可求得系統(tǒng)方程：

為了解決該問題，本文提出一種避免數(shù)值溢出的計算方法，在每層中采用相對坐標，海水中的下行波以海面作為參考點，上行波以海底為參考點。此時：

可求得系統(tǒng)方程：

前文已經(jīng)討論過，點源問題與線源問題對格林函數(shù)的求解方法是一樣的，所以以上討論同樣適用于線源。接下來對線源問題的聲場計算以及仿真都是基于該數(shù)值穩(wěn)定的解法。

1.3 格林函數(shù)解析解的驗證

海底中深度格林函數(shù)的解析解為

根據(jù)已有文獻，將格林函數(shù)進行模式展開[14-15]：

對該解析解進行驗證，取海深為100 m，聲源深度為36 m，接收器深度為46 m，頻率為100 Hz。模式展開數(shù)分別取10以及50，將解析解的結(jié)果與格林函數(shù)模式展開結(jié)果做比對，結(jié)果如圖2、圖3所示。

通過比較圖2、圖3可以看出，當模式展開數(shù)較小的時候，格林函數(shù)的模式展開不能很好地反映求得的格林函數(shù)解析解；而當模式展開數(shù)足夠大的時候，格林函數(shù)的模式展開可以很好地反映求得的格林函數(shù)解析解。因此，本方法求得的解析解的結(jié)果是無條件收斂的，該結(jié)果可以在后續(xù)的積分計算中直接代入使用。

(a) 格林函數(shù)

(b) 水深與格林函數(shù)幅度的關(guān)系

圖2 模式展開數(shù)為10時，解析解結(jié)果與模式展開結(jié)果比較

Fig.2 Comparisonbetween model expansion result of Green’s function and analytical solution when model expansion number = 10

(a) 格林函數(shù)

(b) 水深與格林函數(shù)幅度的關(guān)系

圖3 模式展開數(shù)為50時，解析解結(jié)果與模式展開結(jié)果比較

Fig.3 Comparison between model expansion result of Green’s function and analytical solution when model expansion number = 50

1.4 聲場計算

傳播損失的計算遵循：

而

2 數(shù)值仿真

在第1節(jié)中給出了本方法中格林函數(shù)的解析解，可以通過該解析解代入傅里葉變換式中直接求解類似的Pekeris波導問題，將本文提出方法的結(jié)果與簡正波標準程序KRAKENC[16]求得的結(jié)果作比較。選用兩個仿真例子，驗證本方法的精確度。

2.1 算例1

如圖4所示，海面和海底是平行界面，海水聲速為1 500 m/s，海底聲速為1 800 m/s，海水密度為1 000 kg/m3，海底密度為1800 kg/m3，海底聲吸收分兩類情況，分別是無吸收海底，以及吸收系數(shù)為0.5 dB/的海底，水深為100 m。線源深度為36 m，平行于海面，接收器深度為46 m，聲源頻率為20 Hz。

圖4 算例1中的Pekeris波導，聲源為線源

圖5給出該算例求得的深度格林函數(shù)，其中藍色實線是無吸收海底情況下的深度格林函數(shù)，紅色虛線是海底吸收系數(shù)為0.5 dB/情況下的深度格林函數(shù)。該算例下存在兩號簡正波，在圖5中分別用1、2標記出來。該算例下，海底波數(shù)接近于第2號簡正波水平波數(shù)，KRAKENC計算不出該號簡正波，因而此時KRAKENC不能求解出正確的結(jié)果。需要指出的是，在KRAKEN模型的三個求解簡正波的模型中(KRAKEN、KRAKENC和KRAKEL)，我們使用的是KRAKENC。

圖5 算例1的深度格林函數(shù)

圖6分別給出海底無吸收以及海底吸收系數(shù)為0.5 dB/情況下本文所用的方法與KRAKENC在0～15 km的結(jié)果比對。藍色實線為本文所用方法的結(jié)果，紅色虛線為KRAKENC的結(jié)果。由于第二號簡正波水平波數(shù)與海底波數(shù)非常接近，KRAKENC計算不出該號簡正波，因此KRAKENC計算的結(jié)果是不準確的。

圖7分別是海底無吸收以及海底吸收系數(shù)為0.5 dB/λ情況下本方法得到的聲場結(jié)果。

(a) 海底沒有吸收

(b) 海底吸收系數(shù)為0.5 dB/

圖6 兩種不同方法計算的0~15 km傳播損失

Fig.6 Transmission losses from 0 to 15 km computed by two different methods

(a) 海底無吸收

(b) 海底吸收系數(shù)為0.5 dB/

圖7 本方法得到的聲場結(jié)果

Fig.7 Acoustic field computed by the present method

2.2 算例2

圖8 算例2中的Pekeris波導問題，聲源為線源

頻率112 Hz與118 Hz的聲場結(jié)果如圖9所示。然后做出聲源頻率在105～125 Hz范圍內(nèi)的聲場結(jié)果，如圖10所示。在該算例下，當聲源頻率在112 Hz附近時候，KRAKENC計算的結(jié)果是不準確的。

(a) 聲源頻率為112 Hz

(b) 聲源頻率為118 Hz

圖9 兩個不同頻率的0~1 km傳播損失曲線

Fig.9 Transmission loss curves from 0 to 1 km at two different frequencies

(a) 本方法的結(jié)果

(b) KRAKENC的結(jié)果

圖10 兩種方法計算的傳播損失圖

Fig.10 Transmission loss diagrams computed by two different methods

如圖11所示，分別做出兩個頻率下的格林函數(shù)，同時，表1給出了KRAKENC計算的各號簡正波的水平波數(shù)。可以看出，在該算例下，當頻率為112 Hz時，海底波數(shù)近似相等于第三號簡正波水平波數(shù)，從表1可以看出，在該頻率下，KRAKENC沒有計算出該號簡正波，因此該頻率下KRAKENC 計算的聲場結(jié)果不準確。而當頻率為118 Hz時，海底波數(shù)與各號簡正波的水平波數(shù)能夠明顯區(qū)分出來，從表1可以看出，在該頻率下，KRAKENC可以很好地求解出各號簡正波，因此該頻率下KRAKENC計算的聲場結(jié)果是準確的。

(a) 聲源頻率為112 Hz

(b) 聲源頻率為118 Hz

圖11 兩個不同頻率的深度格林函數(shù)

Fig.11 Depth-dependent Green’s functions at two different frequencies

表1 KRAKENC計算的不同頻率下激發(fā)的簡正波的水平波數(shù)

當距離增大時，做出聲場結(jié)果，結(jié)果如圖12所示。可以發(fā)現(xiàn)，本方法計算的結(jié)果與KRAKENC的結(jié)果的差異隨著距離的增大而減小。由于KRAKENC某些情況下在近場計算上存在誤差，因此本方法可以作為其在低頻近場聲場計算的有效補充。

(a) 頻率112 Hz

(b) 頻率118 Hz

圖12 兩個不同頻率的0～15 km傳播損失曲線

Fig.12 Transmission loss curves from 0 to 15 km at two different frequencies

3 結(jié)論

本文在給出線源聲場中波數(shù)積分理論公式的基礎(chǔ)上，從理論上分析了已有文獻中不合理的歸一化可能會導致的數(shù)值溢出問題，進而通過合理的參考深度值的選擇，保持了系數(shù)矩陣方程解的數(shù)值穩(wěn)定性，從而求得格林函數(shù)的解析解。同時本文將該解析解與格林函數(shù)的模式展開的結(jié)果做比較，驗證了該解析解的正確性，因而以后類似問題的處理都可以直接用解析解代入計算，提高了計算效率。

本文通過兩個算例將本方法與KRAKENC做了比較，結(jié)果表明，當某號簡正波的水平波數(shù)接近于海底波數(shù)時，KRAKENC有可能計算不出這號簡正波，這會導致KRAKENC計算不出正確的聲場結(jié)果，而波數(shù)積分方法采用的是直接數(shù)值求積分的方法，因而不存在這種問題。因此，本文所提出的方法可以作為Pekeris波導中線源問題的標準模型來應用。

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[16] Porter M B. The KRAKEN normal mode program[R]. NAVAL RESEARCH LAB WASHINGTON DC, 1992.

A wavenumber-integration method based solution to the acoustic field excited by a line source

YU Xiao-lin1,2, LUO Wen-yu1, YANG Xue-feng2,3, ZHANG Ren-he1

(1. State Key Laboratory of Acoustics, Institute of Acoustics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China;2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China;3. Shanghai Acoustics Laboratory, Chinese Academy of Sciences, Shanghai 201815, China)

An unconditionally stable computation method based on the wave-number integration method is presented for the acoustics field excited by a line source in a Pekeris waveguide. Both up and downgoing waves in the depth-dependent wave equation are appropriately normalized in order to obtain a stable coefficient matrix. Analytical solution to the depth-dependent Green’s function is also presented. Modal expansion of the Green’s function is performed to validate the analytical solution. It indicates that the analytical solution is accurate. The transmission loss calculated by this method is compared with those given by KRAKENC with an example. It shows that when a certain mode is close to the bottom wavenumber, KRAKENC fails to find this mode. As a result, the field result by KRAKENC is inaccurate. However, the wavenumber-integration method suits well for such problems. Numerical results indicate that the present model can serve as a benchmark model for the problem of sound propagation excited by a line source in a Pekeris waveguide.

line-source problem; wavenumber integration; numerically stable solution

TB556

A

1000-3630(2017)-05-0415-08

10.16300/j.cnki.1000-3630.2017.05.004

2016-11-04;

2017-02-15

國家自然科學基金資助項目(11434012、41561144006)

于曉林(1990－), 男, 山東威海人, 博士研究生, 研究方向為水聲物理。

于曉林, E-mail: asd982209895@126.com