迷向子空間與余迷向子空間

韋玉程

(河池學院 數學與統計學院，廣西 宜州 546300)

迷向子空間與余迷向子空間

韋玉程

(河池學院數學與統計學院，廣西宜州546300)

主要介紹了辛空間上的迷向與余迷向子空間的一些性質，通過一個具體的例子說明向量空間的子空間成為迷向子空間的條件。

辛空間；迷向子空間；余迷向子空間

0 引言

物理學研究的重要性是不言而喻的，數學作為自然科學研究的工具與物理學的研究緊密結合，物理學的每一步發展離不開數學提供的武器，數學又從物理學的發展中獲得動力和思想。幾何學是物理學借以發展的最古老的數學分支。Lagrange力學和Hamilton力學是分析力學的兩個主要觀點；Lagrange力學是基于變分原理，可直接推廣至廣義相對論框架；Hamilton力學是基于能量的概念，其與量子力學緊密相連。這兩種力學的數學模型是定義在流形上的切空間與余切空間的函數，構成數學上辛幾何的主要研究對象。以分析力學為背景的辛幾何，產生于20世紀60年代，之后擴展到更廣泛的泊松幾何，并成為分析力學的最好數學框架。由于極強的應用背景，辛幾何倍受數學家與物理學家的重視，并在20世紀八九十年代得到飛速發展，形成一門具有豐富內容的充滿無限生機的嶄新數學沃土。本文關注辛幾何中迷向子空間和余迷向子空間兩個基本概念，在明確概念的同時通過構造具體的例子，為抽象的概念提供具體的模型。迷向子空間與余迷向子空間的相關性質可參閱文獻[1-5]。

1 預備知識

V是n維向量空間，V*是其對偶空間。V上的r-形式α是向量空間V上的r重反對稱線性函數，即

α:V×…×V→,

?X1,…，Xr∈V,α(X1,…,Xr)∈,滿足Y1∈V，?i,j=1,…,r,α∈,

α(X1,…,aXi+Yi,…,Xr)=aα(X1,…,Xi,…,Xr)+α(X1,…,Yi,…,Xr);

α(X1,…,Xi,…,Xj,…,Xr)=-α(X1,…,Xj,…,Xi,…,Xr).

用Λr(V)表示所有r-形式的集合，并在其上定義加法和數乘：

(α+β)(X1,…,Xr)=α(X1,…,Xr)+β(X1,…,Xr);

(aα)(X1,…,Xr)=aα(X1,…,Xr),

其中α,β∈Λr(V),X1,…,Xr∈V.容易驗證，Λr(V)構成向量空間。顯然Λ1(V)=V*.規定Λ0(V)=.考慮分級向量空間Λ(V)，即直和：

Λ(V)=Λ0(V)⊕Λ1(V)⊕…⊕Λn(V),

在Λ(V)上定義外積：α∈Λp(V)，β∈Λq(V),αΛβ∈Λp+q(V),由下面定義：

其中σ(p·q)表示集合{1,2,…,p+q}的所有滿足如下條件的置換τ的全體

(1)τ(1)lt;τ(2)lt;…lt;τ(p);

(2)τ(p+1)lt;τ(p+2)lt;…τ(p+q).

Sng(τ)表示置換的符號，偶置換取正，奇置換取負。

設ω∈Λ2(V)是V上的一個2-形式，X,Y∈V，若ω(X,Y)=0，則稱X與Y在ω下正交。由2-形式的反對稱性，顯然有：?X∈V,ω(X,X)=0.設E?V為V的子空間，稱E在ω之下的正交補空間Eω為：

Eω={X∈V|ω(X，Y)=0，?Y∈E}.

它也是V的子空間。根據向量空間的結果有：dimEω=dimV-dimE.

Ker(ω)={X∈V|ω(X,Y)=0,?Y∈V}=Vω.

定義1：設V是n維實向量空間，一個非退化2-形式，即：ω∈Λ2(V)，且Kerω={0}，則稱ω是V上的一個辛形式或辛結構。帶有辛結構ω的向量空間V稱為一個辛空間，記為(V,ω).

定義2：設(V,ω)是辛空間，E?V是V的子空間，若E?Eω，則稱E是(V,ω)的迷向子空間；若Eω?E，則稱E是(V,ω)的余迷向子空間；若E=Eω，則稱E是(V,ω)的Lagrange子空間；若E∩Eω={0}，則稱E是(V,ω)的辛子空間。

2 定理與推論

這一小節，將給出辛空間上迷向與余迷向子空間的一些性質，并通過一個具體例子了解迷向與余迷向子空間的結構。

定理1：辛空間(V,ω)上的任一迷向子空間E一定包含在一個Lagrange子空間I中，并且有

證明：由{0}是迷向子空間，知迷向子空間是存在的。設I為包含迷向子空間E的最大迷向子空間(即E?I)，由I?Iω，有

dimI≤dim(Iω)=dimV-dimI.

于是

2dimI≤dimV.

若上面的不等式是嚴格的，則存在0≠e∈IωI，考慮I⊕e，顯然仍是(V,ω)的迷向子空間，且E?I⊕e.這與I是包含E最大的迷向子空間矛盾。從而

2dimI=dimV.

自然也就有dimI=dimIω.注意到I?Iω，于是

I=Iω.

即I是Lagrange子空間。定理得證。

從定理1中可直接得到如下的結論。

引理：(辛基的存在性定理)設(V,ω)是2n維辛空間，則在V中存在辛基底(稱為V上的一組辛基){e1,…,en,en+1,…,e2n}，使得，?i,j=1,…,n.

ω(ei,ej)=0,ω(en+i,en+j)=0,ω(ei,en+j)=δij.

本引理的證明見文獻[1]中命題2.2，值得一提的是，正如一般歐氏空間標準正交基存在并不唯一類似，一個辛空間的辛基并不唯一。

定理2：辛空間上的任一1維子空間一定是迷向子空間。

證明：設(V,ω)是2n維辛流形，由上面的引理，V存在辛基{e1,…,e2n}，不妨設E={e1}為V的任一1維子空間。?x,y∈E，設x=k1e1,y=k2e1，有ω(x,y)=ω(k1e1,k2e1)=k1k2ω(e1,e1)=0.所以x∈Eω，從而E?Eω，即E是迷向子空間。

定理3：2n維辛空間上的任一2n-1維子空間一定是余迷向子空間。

證明：設2n維辛空間(V,ω)有辛基{E1,…,e2n}，不妨設E=L{e1,…,e2n-1}為(V,ω)的任一2n-1維子空間。則V=E⊕e2n.

由于y的任意性，分別取y=e1,…,en-1，en+1,…,e2n-1,代入上式可得

an+1=…=a2n-1=an-1=…=a1=0.

故

x=anen+ke2n.

取y=en∈E，有

0=ω(x,y)=a2n.

從而x=anen∈E，即Eω?E.

從定理2與定理3知：對于2n維辛空間，其1維與2n-1維子空間分別是迷向與余迷向子空間。現在的問題是其它維數的子空間呢？為懂清楚這個問題，下面通過一個具體的2n維辛空間的例子作一番了解。

另一方面，從{e1,…,en}及{en+1,…,e2n}中任取r(rlt;n)個向量，生成的r維子空間Er一定是迷向子空間。事實上只注意到ω0(ei,ej)=0，及ω0(en+i,en+j)=0(i,j=1,…，n)，?x，y∈Er,ω0(x,y)=0，從而Er?Erω.

進一步地，對任意的取自(e1,…,e2n)中的r(rlt;n)個向量生成的r維子空間Er=L{ej1,…,ejr}，若對Er中所有基向量下標滿足：

ji≠jk(modn),(i≠k).

時，Er一定是迷向的。

定理4：若E是辛空間(V,ω)的迷向子空間，則Eω是(V,ω)的余迷向子空間；若E是(V,ω)的余迷向子空間，則Eω是(V,ω)的迷向子空間。

證明：注意到(Eω)ω=E.若E是迷向的，由E?Eω，有(Eω)ω?Eω；若E是余迷向的，由Eω?E,有Eω?(Eω)ω.

[1]賀龍光.辛幾何與泊松幾何引論[M].北京：首都師范大學出版社，2001.

[2]柯歇爾 J，鄒異明.辛幾何引論[M].北京：科學出版社，1986.

[3]STERNBERG S.辛幾何講義[M].李逸，譯.北京：清華大學出版社，2012.

[4]VITERBO C.An introduction to symplectic topology through sheaf theory[M].New York ：Spring ，2011 .

[5]WEINSTEIN A.Lectures on symplectic manifolds[M].New York ：Amer.Math.Aco.，1997 .

2017-09-25

[責任編輯姚勝勛]

IsotropicandCoisotropicSubspaces

WEIYucheng

(SchoolofMathematicsandStatistics，HechiUniversity，Yizhou，Guangxi546300，China)

In this paper，some properties of isotropic and coisotropic subspaces in symplectic spaces are introduced，and obtain that the condition isotropic subspaces for vector spaces via a specific example.

symplectic space；isotropic subspace；coisotropic subspace.

O186

A

1672-9021(2017)05-00060-04

韋玉程(1966-)，男(壯族)，廣西鳳山人，河池學院數學與統計學院副教授，博士，主要研究方向：臨界點理論。

廣西教育廳教改項目(2017JGA282；2016JGA315)；河池學院科研啟動基金項目(XJ2015KQ003)。