Müntz有理函數(shù)的加權(quán)Lp逼近

王軍霞， 李國成

(1.天水農(nóng)業(yè)學(xué)校 基礎(chǔ)部， 甘肅 天水 741400; 2.杭州科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共教學(xué)部， 浙江 杭州 311402)

Müntz有理函數(shù)的加權(quán)Lp逼近

王軍霞1， 李國成2*

(1.天水農(nóng)業(yè)學(xué)校 基礎(chǔ)部， 甘肅 天水 741400; 2.杭州科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共教學(xué)部， 浙江 杭州 311402)

考察了加Jacobi權(quán)w(x)=xα(1-x)α(α≥0)的Lp空間中Müntz有理函數(shù)的逼近問題.利用K-泛函與加權(quán)光滑模的等價(jià)性給出了逼近階的估計(jì)以及Ditzian-Totik型定理.所得結(jié)果將已有文獻(xiàn)中的相應(yīng)結(jié)論推廣到了加權(quán)情形.

加權(quán)Lp逼近；Müntz有理函數(shù)；逼近速度

0 引 言

簡便起見，記

記

∧n： ={λ1,λ2,…,λn},

Rn(∧)： =

定理1給定M≥0.如果0≤λ1<λ2…<λn<…,且λn+1-λn≥Mn,n=1,2,…,那么對任意f∈C[0,1],n=1,2…,存在r(x)∈Rn(∧)使得

ωψθ(f,t)=

對于Lp空間的Müntz有理逼近，YU等[11]得到了以下定理：

這里CM,N,p為僅依賴于M,N和p的正常數(shù)，ωψ(f,t)p定義為：

而

當(dāng)ψ(x)≡1時(shí),定理2即為文獻(xiàn)[10]中的結(jié)論.

首先，有以下結(jié)論：

這里

ωψ(f,t)p,ω： =

當(dāng)ω(x)≡1,1≤p<∞時(shí),定理3即為定理2.

‖f-r‖p,ω≤

方便起見，本文中以C表示正常數(shù)，其值可能依賴于M,N,p和α等參數(shù)，但不依賴于f和x.它們的值在不同的地方可以不同.

1 引 理

置

其中Δλ1=λ1, Δλκ=λκ-λκ-1,κ=2,3，…

(1)

其中，

顯然，Ln(f,x)∈Rn(∧)為正線性算子.這一算子在本文結(jié)論的證明中起關(guān)鍵性作用.

引理1對x∈[xj-1,xj],1≤j≤n,有如下不等式成立：

rk(x)≤Ce-CM(N+1)|κ-j|,κ=1,2,…,n-1.

(2)

證明參考文獻(xiàn)[12]引理1的證明，便可得到此結(jié)論.

引理2對任意x∈[xj-1,xj],2≤j≤n,有

或

[xk,x],k=1,2,…,n.

(3)

對x∈(0,x1],1≤j≤n有

(4)

記xj為距離x最近的結(jié)點(diǎn)，則有

(5)

式(3)和(4)包含在文獻(xiàn)[11]的引理1中，而式(5)為文獻(xiàn)[12]中的結(jié)論.

Kψ(f,t)p,ω： =

則有

Kψ(f,t)p,ω～ωψ(f,t)p,w,

這里A～B表示存在正常數(shù)C使得C-1≤A/B≤C.

當(dāng)ω(x)≡1時(shí)，引理3為文獻(xiàn)[5]中的theorem 3.1.2,而其他情形可以套用文獻(xiàn)[6]中的方法得到，在此略去詳細(xì)過程.

引理4對任意μ>0,x∈[0,1]，以下不等式成立：

(6)

證明若x∈0,x1，則由式(2)和(4)得

若x∈x1,1,則由式(2)和(3)得

(7)

引理5對任意x∈[xj-1,xj]，有以下不等式成立：

(8)

證明分以下幾種情形來證明結(jié)論.

因此，式(8)成立.

這里ξ1∈(j-1,k),ξ2∈(k,n).

當(dāng)k>An時(shí)，分2種情況來估計(jì).

k-j≥An-j>A21/N+1-1j-A21/(N+1)>

因此

由上面討論知，式(8)在情形4時(shí)亦成立.

C(|j-k|+1)α(N+1).

綜合以上各種情形的討論，引理5得證.

‖Ln(f)‖p,ω≤C‖f‖p,ω.

(9)

(|j-k|+1)α(N+1)-1.

(10)

利用式(10)和(8)，有

當(dāng)p=∞時(shí)，由引理1和式(8)得

|ω(x)Ln(f,x)|=

C‖f‖∞,ω.

根據(jù)Riesz-Thorin引理[14]，即得

‖Ln(f)‖p,ω≤C‖f‖p,ω, 1≤p≤∞.

2 定理的證明

2.1 定理3的證明

因?yàn)長n(f,x)∈Rn(∧),所以只要證明：

(11)

由引理3知，存在g∈AC[0,1]使得

(12)

(13)

(14)

利用引理6和式(12)，有

‖Ln(f)-f‖p,ω≤‖Lnf-g‖p,ω+

‖Lng-g‖p,ω+‖g-f‖p,ω≤

C‖f-g‖p,ω+‖Lng-g‖p,ω≤

因此，只要證明：

(15)

Ln(g,x)-g(x)=

(16)

利用ωxk-1～ω(xk),2≤k≤n-1,有(當(dāng)p>1時(shí)要利用H?lder不等式，當(dāng)p=1時(shí)直接討論可得)：

(17)

當(dāng)j=1時(shí)，利用引理1和式(8)，得

(18)

需要下列不等式：

或

t∈t*,x*,j≥2.

(19)

事實(shí)上，當(dāng)j

(|j-k|+1)N.

當(dāng)j≥k時(shí)，有x*=xj,t*=xk-1.因此，

由引理1以及式(3)(8)和(19)，得

(20)

由式(13)，(14)，(17)，(18)和(20)，證得式(15)，從而定理3得證.

2.2 定理4的證明

顯然只要證明：

(21)

由引理3知，存在g∈AC[0,1]使得

(22)

(23)

(24)

根據(jù)Taylor展開式

有

ω(x)Ln(f,x)-f(x)=

(25)

根據(jù)式(6)，有

(26)

對K2，有

(27)

利用式(7)，有

(28)

利用式(28)以及ω(xk)～ωxk-1,2≤k≤n-1，類似于式(20)的討論，可得

(29)

利用式(22)，由引理4得

(30)

對K23，有

(31)

類似于式(18)的討論，推得

(32)

最后一步利用了式(24).

根據(jù)式(28)，類似于式(20)的討論可得

(33)

利用式(23)，由式(31)～(33)，有

(34)

綜合式(25)～(30)和(34)式(21)得證.

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WANG Junxia1, LI Guocheng2

(1.DepartmentofPublicEducation,TianshuiAgricultureSchool,Tianshui741400,GansuProvince,China; 2.DepartmentofPublicEducation,HangzhouPolytechnic,Hangzhou311402,China)

OnLP-approximationbyMützrationalfunctions. Journal of Zhejiang University (Science Edition)，2017, 44(6)： 711-717

In the present paper,we obtain the rate of Mütz rational approximation in weightedLpspaces with the Jacobi weightsω(x)=xα(1-x)α,α≥0. Based on the equivalence between the K-functional and the weighted moduli of smoothness, we establish the estimates of the approximation and two Ditzian-Totik type theorems.Our results generalize the related results of the existing researches.

weightedLp-approximation; Mütz rational functions; approximation rate

2016-11-10.

王軍霞(1987—)，ORCID: http://orcid.org/0000-0003-3511-2494，女，碩士，講師，主要從事函數(shù)論研究，E-mail： 79487694@qq.com.

*通信作者，ORCID: http://orcid.org/0000-0003-1903-7770，E-mail：yslgc@sina.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.06.010

O 174

A

1008-9497(2017)06-711-07