關于計算二重積分的幾種方法

都俊杰 長江大學工程技術學院

關于計算二重積分的幾種方法

都俊杰 長江大學工程技術學院

二重積分是高等數學的重點，也是難點，計算較為繁瑣，基本的有直角坐標和極坐標計算，但有的二重積分需要一定的技巧才能求出．可利用積分區域和被積函數的對稱性巧妙解決，討論了幾類解決二重積分方法。

二重積分 二次積分 直角坐標系 極坐標系

二重積分的計算是高等數學中多元函數積分學重要的一部分，熟練的掌握二重積分的計算技巧很重要。計算二重積分的一般原則是將重積分化為兩次定積分來計算，但是由于被積函數的復雜性及積分區域的多樣性，計算二重積分就要采取多種方法。有直角坐標系計算二重積分，極坐標系下計算二重積分，利用對稱性計算二重積分等等。下面分別就這三個方面介紹計算二重積分的方法，對每種方法給出相應的求解思路，并舉出典型的實例，便于讀者更好地理解和掌握這些方法，達到事半功倍、舉一反三的學習效果。

1 直角坐標系下計算二重積分，將積分區域D分為兩種基本情況。

2 極坐標系下計算二重積分

當被積函數和積分區域D的邊界曲線為較簡單函數時，常考慮用極坐標來計算二重積分。這樣就會遇到兩個問題：一個問題是如何把被積函數化為極坐標形式；另一個問題是如何把面積元素化為極坐標形式。這兩個問題都是容易解決的，當被積函數或者積分區域D中含有時可以用極坐標來計算二重積分。直角坐標與極坐標的轉換公式：

3 特殊方法計算二重積分

①利用對稱性計算二重積分，和定積分的計算一樣，對積分區域具有一定的對稱性且被積函數為奇函數或偶函數的二重積分，利用對稱性可以大大簡化二重積分的計算過程．下面給出對稱性定理。

解：利用函數的奇偶性及積分區域的對稱性可以簡化計算，有

解：利用輪換對稱性，有

②交換積分次序計算二重積分，對于有些特殊類的函數，計算二重積分可以采取交換積分次序簡化計算

解：此函數的積分區域很簡單，當直接計算是算不出結果的，可以交換一下次序，有

③分段函數計算二重積分，關于分段函數二重積分的計算問題是學生學習的一個難點，為廣大師生所關注，但在大部分教材中，并沒有明確指出分段函數二重積分的計算方法．此類問題的一般做法是：(1)畫出積分區域的草圖；(2)由被積函數的分段點把積分區域分成如干部分區域，使得在每個部分區域中的被積函數表達式明確；(3)利用二重積分的區域可加性，進行計算。

④利用幾何意義計算二重積分也是我們常用的方法，二重積分的幾何意義就是曲頂柱體（以積分區域D為底，以被積函數為曲頂的柱體）體積的代數和。

[1]同濟大學應用數學系；高等數學【M】；北京，高等教育出版社。

[2]楊波，王安平；高等數學；武漢，華中科技大學出版社，2017。

[3]張景中．數學與哲學【M】；北京，中國少年出版社，2006，8：25 ～ 37。

[4]鄧樂斌，初等積分中的常見問題【M】；北京。科學出版社，2009。

[5]徐森，淺談二重積分下的分部積分法的應用；科技視界，2015。

長江大學工程技術學院基金2017ky10。

都俊杰（1981—），女，吉林長春人，副教授，研究方向：應用數學。

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