淺談小波有限元法的研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢＊

魏忠斌，趙 松

（西京學(xué)院，陜西 西安 710123）

淺談小波有限元法的研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢＊

魏忠斌，趙 松

（西京學(xué)院，陜西 西安 710123）

有限元已成為在數(shù)值建模與求解等工程應(yīng)用中有效的手段之一，現(xiàn)廣泛地被機械工程等學(xué)科的各個分支用于工程數(shù)值計算，獲得了滿意的求解精度。然而，對于工程實際中的奇異性問題而言，比如典型的裂紋問題，傳統(tǒng)的有限元法就無法得到最優(yōu)解。通過對小波有限元在國內(nèi)外的研究分析證明，小波有限元有著很大的應(yīng)用領(lǐng)域，并在求解工程的奇異性問題中，有著無限的發(fā)展?jié)摿蛻?yīng)用價值。

小波有限元；小波函數(shù)；尺度函數(shù)；邊界條件

如何彌補或完善傳統(tǒng)有限元在解決奇異性問題中的不足之處，國內(nèi)外科研工作者、學(xué)者不斷地嘗試如何有效地將小波理論引入到有限元模型中，基于小波分析理論構(gòu)造不同的小波函數(shù)及尺度函數(shù)，以有效解決上述結(jié)構(gòu)工程中的奇異性問題。因此，小波有限元法繼承了傳統(tǒng)有限元法離散逼近的優(yōu)點，使其可以快速、方便地處理復(fù)雜的邊界條件；可借助小波函數(shù)特有的多分辨分析特性，構(gòu)造一種自適應(yīng)算法，即多分辨的有限元逼近空間，以提高求解速度及精度，在不改變尺度空間下提高其分辨率，使其在低空間得到逼近解；在處理奇異性問題時，可采用較大的細節(jié)空間得到最優(yōu)解，從而達到所需的分析精度。

1 小波有限元法的研究現(xiàn)狀

1.1 國外研究現(xiàn)狀

1994年，Ko等提出了小波有限元（waveletfiniteelement method）的構(gòu)造理念；V.STRELA和G.STRANG在Hermite有限元的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了具有2n階消失矩、對稱性、緊支撐性的多尺度小波有限元；MAChriston和DWRoach經(jīng)多年努力研究了用小波基求解偏微分方程的可行性，終于在1999年提出了一種基于可變分層基多尺度線性有限元，該方法類似于伽遼金方法的數(shù)值和計算性能及肖德不動點原理，最后得到了一維和二維橢圓型偏微分方程的多尺度求解方法；2003年，RaghunathanSudarshan等建立了基于Hermite的第二代有限元多小波，并使用這些多分辨率函數(shù)基研究了歐拉梁靜態(tài)和動態(tài)響應(yīng)；2006年，RICHARD等由傳統(tǒng)有限元基函數(shù)使用交錯法得到多小波。構(gòu)造該多小波的基函數(shù)是分段多項式，具有正交性、緊支撐性，并且可以采用任意近似值構(gòu)造。2010年DeepuS.Joseph等為晶體塑性有限元模擬提出了一種新的基于小波變換的多時間尺度算法。

1.2 國內(nèi)研究現(xiàn)狀

2000年以前，國內(nèi)科研工作者、學(xué)者在小波有限元法方面的研究較少。1996年，華中科技大學(xué)的徐長發(fā)基于B樣條小波有限元，研究了構(gòu)造樣條小波的理論基礎(chǔ)，并應(yīng)用到了穩(wěn)定性的數(shù)值計算中；西安交通大學(xué)何正嘉教授等從1998年起，針對小波有限元法進行了大量的研究并構(gòu)造許多新型的小波有限單元，有效解決了一些工程問題，研究成果豐碩；韓建剛、黃義由小波函數(shù)尺度函數(shù)給出了尺度函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的改進求解方法，利用尺度函數(shù)作為基函數(shù)得到了小波伽遼金有限元法，并用此方法求解彈性地基上的有限長梁，從結(jié)果對比可以看出，其解具有良好的精確性和收斂性，此求解步驟可以應(yīng)用到通常的微分方程求解中；彭惠芬等利用小波尺度函數(shù)多分辨率和逼近精度高的特點，將小波有限元應(yīng)用于復(fù)合材料數(shù)值分析中，建立了復(fù)合材料抽油桿小波有限元模型，推導(dǎo)了復(fù)合材料抽油桿小波單元剛度方程；馮德山等基于可分離小波理論，由一維區(qū)間B樣條小波尺度函數(shù)的張量積構(gòu)造二維B樣條小波基，并將它作為GPR波動方程求解的插值函數(shù)，通過引入轉(zhuǎn)換矩陣，實現(xiàn)小波系數(shù)空間與雷達電磁場之間的轉(zhuǎn)換。

2 發(fā)展趨勢

從上述研究現(xiàn)狀及取得的成果可以得到，小波有限元理論最先只是被研究者們用于求解簡單的數(shù)學(xué)物理方程。而隨著研究的深入，相當(dāng)部分的學(xué)者開始熱衷于將小波有限元法用于解決工程結(jié)構(gòu)中的一些實際問題，比如靜力學(xué)分析、裂紋的故障診斷等方面。然而，小波有限元法如何在工程結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)方面的研究并沒有引起科研工作者們的關(guān)注。目前，對工程結(jié)構(gòu)中最基本的梁、板結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)分析時，如何做到兼顧計算效率與計算精度，對以后求解復(fù)更為復(fù)雜工程問題時意義重大。因此，關(guān)于如何有效解決工程實際結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)研究必將成為熱點。

3 結(jié)束語

小波有限元法作為新起的有限元逼近算法，借助小波的多分辨特性，其數(shù)值穩(wěn)定性好，適宜求解奇異性問題，必將擁有無限的發(fā)展?jié)摿肮こ虒嶋H應(yīng)用價值。

［1］KoJ，KurdilaAJ，PilantMS.Aclassoffiniteelement methodsbasedonorthonormal，compactlysupported wavelets.ComputationalMechanics.1995，16（04）.

［2］彭惠芬，王鵬，王程.復(fù)合材料抽油桿動力學(xué)分析的小波有限元法［J］.承德石油高等專科學(xué)校學(xué)報，2014，16（04）.

［3］馮德山，王珣.區(qū)間B樣條小波有限元GPR模擬雙相隨機混凝土介質(zhì)［J］.地球物理學(xué)報，2016，59（08）.

TV698.1

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2017.17.128

2095－6835（2017）17－0128－02

魏忠斌（1986—），男，碩士，助教。

〔編輯：張思楠〕

西京學(xué)院院科研基金項目（編號：XJ160117）