淺談數學競賽中平面幾何解題的小技巧

摘 要：當前，全國高中各學科聯合競賽已成為普遍現象，它不僅能發揮的學生們的特長，也是各類高校自主招生的一個參考依據。對于那些學有余力的理科學生來說，積極參與數、理、化、生的全國聯合競賽更是他們展現能力的一個舞臺。筆者作為數學競賽的參與者，從平面幾何學習和競賽中總結一些個人心得，以期對后來的參與者得到一些幫助，并希望與大家共同學習和交流。

關鍵詞：全國高中；數學；聯合競賽；平面幾何

在平面幾何中，有著一個非常重要的定理，梅涅勞斯定理，即 （一種基本形式）。這個定理在平面幾何中用處之廣不

必多說，許多同學把其當作一個非常基礎的定理，因為通過它可以推導出帕斯卡定理等。但是梅氏定理真的是那么基本嗎？我看并不是這樣，梅氏定理也可以通過共邊定理來證明。證明如下：

，即

即

這樣說明了一個什么問題呢？即用梅涅勞斯定理證明的題目均可以使用共邊定理來進行證明，有時只是解答復雜的問題，但是一定可以做出，而共邊定理的本質即是三角形的面積比例，這應該算是一個非常基本的定理，下面我舉一例子加以說明。

例一：（如圖二）

P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B，C為⊙O上一點，過C作⊙O切線，分別交PA、PB于E、F，OC交AB于L，LP交EF于D，證明D為EF的中點。（1991年四川隊題）

證明：

=

∴DE=DF #

由此可以發現這道題可以用共邊定理一口氣解決。但是對于競賽，許多同學感到困惑，這個是怎么想到的呢？難道是天分嗎？不對，這其中是有小技巧的。

從題目中，我們可以得到：A、B是圓上的兩任意點，這兩個點是沒有任何限制的，因此可以理解為初始點，記做“0”，而P點是過B、C兩切線的交點，只要BC位置確定，P點即確定，其中P與AB的關系為∠PBO=∠PAO=90°，即PB=PA，∴P由初始點確定，P也記做“0”級。C為任意點，∴C記做“0”級，L由CO，AB確定，∵C、O、A、B均為初始點，∴L為“1”級，E、F由PB與PA和C點確定，∴E、F為“1”級，而D點由PL、EF確定，∴將D點記做“2”級，題目即證：DE=DF，不難發現，D為本題中最復雜的點，而題目正是要證明這東西的相關性質，利用共邊定理，從D點出發一步一步還原，消去點D，當還原到基本點時，結果必定可以約掉，若約不掉，則題目有問題，下面舉一例子加以說明。

例二：在△ABC中，D為BC上任一點，O為△ABC內任一點，BO交AC于N，CO交AB于M，DO交BA于E，AD交BN于F，MG交EN于G，證明G在BC上。

證明：“0”級的點：A、B、C、D、O

“1”級的點：M、N、E

“2”級的點：F

“3”級的點：G

∴從G開始消去，題目可以這樣理解，MF交BC于G，EN交BC于G'，只需證明即證畢。（這樣就將共線問題轉化成線段的比例問

題，就可以考慮使用共邊定理）

①

②

聯立①②即證明：

即即

（先消去C，再消去E、F，由于M、N在AB，AC上，非常容易表達，故最后消去M、N）。由于共邊定理是利用的面積比，而在三角形的面積公式中一個為，這樣便與一個三角形的角度結合起

來。因為共邊定理僅是邊之間的轉化，不易解決角之間的問題，利用此公式便可與角度產生聯系，同時在三角函數中正弦定理可以實現邊角轉化，下面舉一三角函數相結合的例子。

例三：如圖四，三角形ABC中，BF⊥AC，CE⊥AB，D哦BC的中點，DE交AC于M，DF交BE于N，O為ΔABC的圓心，H為垂心，延長OH，做AI⊥OH于I，證明M、I、A、N四點共圓。

證明：M、I、A、N四點共圓

∵

∴E、I、A、F、H五點共圓

∴

∴ 證

證

∴考慮證明

即證明

一方面：

對ΔBHO與ΔCHO考慮使用正弦定理

則 ①

另一方面：的比例轉化，考慮ΔMDF與ΔNED

②

結合①②，只需證

③

而

同理，原③式得證#

本題證明四點共圓不必多說。轉化到邊比例之后可以考慮共邊定理，但是涉及到許多的角度，故用共邊定理轉化具有一定的難度，所以可以考慮用三角的相關知識去解題，在這之中，同樣可以考慮消點的思想，盡量將復雜的邊轉化到基礎的邊上，如，當觀

察到時，問題便基本解決了，若觀察不出，則也可以按例二的方式逐步消定。

參考文獻

[1]張景中 《新概念幾何》 中國兒童新聞出版總社2004.5

[2]馬洪炎 《平面幾何》 浙江大學出版社2007.6

[3]范端喜 鄧博文 《奧林匹克小叢書之平面幾何》 華東師范大學出版社 2013.1

作者簡介

李昊然（2000-），男，重慶人，西南大學附屬中學高中2018級10班應屆學生，獲得2017年9月全國數學聯賽二等獎獲得者。endprint