淺析含參數的一元二次不等式的討論

殷保榮

【摘 要】含參數的一元二次不等式，如何分類討論？本文從五個例子出發，引導學生思考——為什么要分類討論，以及如何分類討論。主要從三個點入手：“是不是”、“有沒有”以及“根的大小”。

【關鍵詞】參數；一元二次不等式；分類討論

本文主要解決含參數的一元二次不等式為什么要分類討論以及如何分類。

當下，高中生學習數學的困難是：數學概念基本能聽懂，習題課的效果也不錯，但是學生一旦自己動手解題時，往往就束手無策，導致功夫沒少下，效果卻不佳的情況，從而喪失學習數學的興趣和動力。這是因為學生不知如何解題。教學無外乎就是教會學生如何解題、怎樣解題及課后的自我整理消化。不只是簡簡單單的把一道題目講清楚講明白，而是要教會學生如何思考。

下面我們就從幾個簡單的含參數的一元二次不等式，來引導學生思考：為什么要分類以及如何分類。

例1：求不等式ax2-2ax>0的解集。

分析：這個不等式從形式上看像一元二次不等式，可以由其對應的二次函數，借助圖像求解。但由于x2的系數未知，所以對其進行分類討論，這個討論的依據為“是不是”。如果是，接下來要討論二次函數的開口方向。

解：

（1）當a=0時，0>0不成立；

（2）當a≠0時，因式分解為ax（x-2）>0。

①當a>0時，不等式的解集為{x|x>2或x<0}；

②當a<0時，不等式的解集為{x|0

例2：求不等式x2-ax+4>0的解集。

分析：這個不等式就滿足剛才的“是不是”了，但現在的問題是這個一元二次不等式所對應的二次函數與x軸有沒有交點，判斷與0的大小關系進行討論。所以這次討論的依據是“有沒有”。

解：當，即時，不等式的解集為

當，即當a=4時，不等式的解集為；

當a=-4時，不等式的解集為；

當，即時，不等式的解集為R。

例3：求不等式的解集。

分析：這個不等式不僅滿足“是不是”，是一元二次不等式，因式分解為，可得方程等于零有兩個根，分別為a和2，但由于這個根的大小不確定，所以這次討論的依據是“根的大小”。

解：因式分解為

（1）當a>2時，不等式的解集為；

（2）當a=2時，不等式的解集為{x|x≠2}；

（3）當a<2時，不等式的解集為{x|x>2或x

例4：已知函數，試討論函數的單調性。

分析：對于函數的單調性，可以從導數的正負來考慮，所以要先求導，得到，由于ex恒正，所以導數的符號主要考慮的符號，根據上面的方法，先考慮是不是，所以a和0比較大小，然后因式分解得到，所以接下來就是要討論和-2的大小，結合二次函數的圖像，由二次函數的開口以及與x軸的交點，得出函數符號的正負。

解：

（1）當a=0時，

∴y=f（x）的單調遞減區間為（-2，+∞），單調遞增區間為（-∞，-2）；

（2）當a>0時，，∴y=f（x）的單調遞減區間為，單調遞增區間為；

（3）當a<0時，

①當，即時，y=f（x）的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

②當，即時，∴y=f（x）在R上單調遞減；

③當，即時，

y=f（x）的單調遞增區間為，單調遞減區間為。

例5：已知函數，試討論函數在區間（0，1）的單調性。

分析：例5是在例4的基礎上做的變形，例4考察的是函數在定義域R上的單調性，例5是考察函數在定義域內的某個子區間的單調性。

解：

（1）當a=0時，∴y=f（x）在區間（0，1）單調遞減；

（2）當a<0時，，∴y=f（x）在區間（0，1）單調遞減；

（3）當a>0時，，∴y=f（x）的單調遞減區間為，單調遞增區間為。

①當，即a>1時，y=f（x）在單調遞減，在區間單調遞增；

②當，即時，y=f（x）在（0，1）單調遞減。

綜上所述：當時，y=f（x）在（0，1）單調遞減；

當a>1時，在單調遞減，在區間單調遞增。

含參數的一元二次不等式的解法常常涉及到參數的討論問題，只要把握好三個“討論點”，一切便迎刃而解。分類標注一：“是不是”，二次項系數是否為零，目的是討論不等式是否為二次不等式，如果是二次不等式，季就要討論二次函數圖像的開口方向；分類標準二：“有沒有”，即判別式的正負，目的是討論二次方程是否有解；分類標準三：“根的大小”，即兩根差的正負，目的是比較根的大小。最后還要注意函數自變量的取值范圍。