舉反例在高中數學教學中的應用

王秀麗+李迅+黃名川

摘 要 教學中有效運用反例教學，可以增加學生對定理、定義、概念的理解和記憶，理解原命題條件的合理性和結論的正確性。反例的理解過程就是一種思維辯證的鍛煉過程。本文主要就反例在以下四個個方面進行分析。

關鍵詞 反例 辯證思維 思維發散

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A

由于高考的壓力，很多學校大都只注重于解題能力的培養，而對于邏輯思維能力的培養會有所欠缺。邏輯思維能力其實是一切理科科目的學習基礎，所以數學在高中的基礎學科中擔任著重要的責任。數學中的一些定理和定義條件繁多，理解起來很抽象。學生的思辨能力很難通過原有的定義、定理建立起來。如果在數學的教學中能夠利用反例來教學，可以達到事半功倍的作用；其次在反例和原命題的比較討論中，學生的邏輯思維能力和創造能力得到了加強。繼而可以實現數學教學的最高的目的，即邏輯思維能力的訓練。

1反例在公式、定義教學中的應用

很多學生在理解和記憶定義、定理的過程中，大都只記住了定理的結論而忽略了使用條件，這就可能導致學生在解決問題的過程中發生錯誤。學生在拿到題目時，看到題目的條件和定理很相似沒有過多思考就直接使用了，這就要求老師在教學過程中要對定理的條件加以強調，對相應的條件舉出反例就是一個很好的手段。

例如在高中數學的“實數指數冪”中，根式和分數指數冪的互化中，書本上給出這樣的定義

由于學生剛剛從初中步入高中學校，學生的抽象思維能力很弱。對于上述含有較多參數的代數式，很多學生從心理上存在抵觸。很多學生知道這個公式的含義，但是往往忽略了公式后括號里的使用條件。這就需要老師向學生強化使用的條件，但是往往一言堂的教學課堂并不能使學生充分體會括號內條件的必要性。我給同學們舉出了這樣的一組反例，并問學生如果運用公式求解下列根式的值對嗎？

很多同學認為運用公式求解沒有問題，但是也有同學提出疑問：根式的結果應該是個正數為什么最后通過公式運算得到的卻是一個負數？同學們在課堂上展開了激烈的討論。這時老師加以引導學生注意公式后面的括號，學生就會對這個公式的使用條件印象更加深刻，在以后的使用過程中有所注意。

2反例在數學概念教學中的應用

數學的概念就是指學習數學定理、公式、法則的性質，它是作圖、計算、解題的前提條件，也是培養學生思維發散的必要條件之一。清晰明確的概念是理解的前提，如果數學概念模糊不清，那么學生在解題過程中就會出現各種錯誤。因此，熟練掌握數學概念是學好數學的重要條件。學生往往在概念的理解過程中會忽略概念的必要條件，這就要求教師在教學過程中合理使用反例對條件加以強化。例如在雙曲線的學習中定義：在平面內有兩個定點 F1 和 F2 的距離的和等于一個常數 2a（2a>|F1F2|），那么這個動點 P 的軌跡叫做橢圓。

（1）焦點：F1、F2，焦距：|F1F2|

（2）定義重點：距離和大于|F1F2|

然而很多同學對概念中距離之和大于焦距的條件不太關注，這就需要老師向學生強化此條件。在傳統的填鴨式課堂，學生只能通過記憶記住這兩個條件，但在實際的解題過程中又會出現遺忘的情況，繼而出現解題困難。那么可舉這樣的一個反例：設點 P 到同一平面內兩個點 F1（-4， 0），F2（4， 0）的距離的和為 8，那么點 P 的軌跡是什么呢？學生經過計算后 就會發現點 P 的跡方程卻是 y=0 （-4≤x≤4） 所對應的線段，不是橢圓。通過舉出的這個反例，學生就會對“距離和的常數須要大于 F1F2”這個條件記憶深刻，以后也會在應用條件時記得考查是否滿足這個條件了 。

3反例在數學解題中的應用

在數學的題型解答中，選擇題是很常見也很有效的考察方式，對于一些選擇題可以運 用舉出反例加以驗證而不需要通過復雜抽象的邏輯思考，卻可以達到簡便、快速的解題效果。例如在不等式一節中：

例題：如果 a+b>0，ab>0 則下列結論正確的是（ ）

A. a>0， b>0 B. a>0， b<0 C. a<0， b>0 D. a<0， b<0

學生通過舉出反例可以很快排除 B、C、D 的答案，得到 A 是正確的答案，雖然這種舉反例的方法很繁瑣，但是對于剛進入高中的學生來說，這卻是一種很直接有效的解題方法。同時，運用舉反例的方法可以快速檢驗自己的答案是否滿足題意的要求。

4反例在逆向思維中的應用

數學是更加注重邏輯思維的學科。如何使學生能夠切實感受到邏輯思考的過程，其實就顯得很重要和困難。如果能夠在日常的數學學習中插入反例，那么就可以達到事半功倍

的作用。例如在數學的《充要條件》一節中：“x > 3”是“x > 2”什么條件？其實問題的關鍵是由命題“x > 3”到命題“x > 2”的正確性與否以及由命題“x > 2”到命題“x > 3”的正確性，如果學生能夠舉出反例：2.5 大于 3，但是小于 2 就能夠得出相應的結論。雖然這個問題較簡單，但是它反應的邏輯思維方式卻是逆向、辯證的思維，從中學生也能夠感受到數學的思辨能力。

5結語

在高中的教育伊始，學生由于心智發展不夠成熟，對抽象的邏輯問題沒有自己的思考。對數學的定理和定義理解起來很困難。老師如果能夠在數學的教學中合理運用反例教學，并且構造恰當的反例幫助學生理解和記憶概念，那么往往將能夠產生出乎意料的效果。學生在這逆向的思維過程中，不但能純熟駕馭所要學習的數學知識，又能提高自己的邏輯思維能力。充分發揮學生學習的主體性，讓學生感受數學的邏輯思考過程，讓學習數學成為一種樂趣。

參考文獻

[1] 蔣長蘭.反例在中職數學教學中的應用[J].讀與寫雜志，2015，12（03）：249.

[2] 張少鳳.反例在數學教學中的應用[J].教法研究，2013.

[3] 王培德.數學思想應用及探索：建構教學[M].北京：人民教育出版社，2007.

[4] 夏愛桃.淺析“反例教學”在高等數學教學中的應用[J].課程教學，2013（02）.endprint