構造相似三角形破解一類最值題

吳智勇

構造相似三角形破解一類最值題

吳智勇

圖1

圖2

【思路突破】首先理解題目，弄清題目已知什么，用自己的語言敘述題目條件并與學過的知識聯系起來.題目已知直線AB：與x軸交于點A，與y軸交于點B，告訴我們點A（4，0），B（0，3）.點E（2，0）在x軸上，將線段OE繞點O逆時針旋轉得到OE′，則說明點E′是以原點為圓心，2為半徑的圓上的動點.題目要求的最小值，這個問題以前沒有見過，是個新問題.與這個問題相似的是求兩條折線段的和的最小值，那么我們能不能將轉化成某一條線段，從而將新問題轉化為我們熟悉的問題？又該從何處著手將B轉化成系數為1的某一條線段？先進行直覺判斷，題中的直線AB與y軸交于點B，其中OB=3，OE′=OE=2，比值恰好是由比值猜想是否可以構造一對相似比為的相似三角形△COE′∽△E′OB？試試在y軸上取點C，連CE′，則這樣欲尋找的E′A的最小值就轉化為尋找CE′+E′A的最小值，由于點A、C是定點，因此只要點A、E′、C三點共線時就能取得最小值，E′A≥AC，而

【解后反思】解題要有靈感，不可呆板，題目要求的最小值，這是一個以前沒有見過的新問題.解題的切入口是聯想以前做過的問題，將轉化成另一條線段CE′，從而將沒有見過的問題轉化為已經解決的問題.轉化的方法是由題目條件得出OB=3，O′E=OE=2，聯想比值從而將我們的思路往構造相似三角形的方向上引導，轉化是解題的根本手段.

【同類題鞏固】

1.如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C的半徑為2，點P為⊙C的一動點，連接AP、BP，則的最小值為

圖3

【解析】解決問題的關鍵是將PB轉化為系數為1的某一線段，因此需要找一個定點，構造一對相似三角形來轉化.問題轉化為“兩定一動”，當三點共線時得到線段和的最小值.考慮到BC=2PC，在CB上取點D，使CD=1，連接PC、PD，如圖4，則，當A、P、D三點共線時等號成立.，故的最小值為

圖4

圖5

【解析】考慮到OM=2PM，在OM上找一點B（3，3），連BP，則，由，所以PA）≥2BA，當A、P、B三點共線時等號成立.根據勾股定理得AB=5，故PO+2PA的最小值為10.

圖6

3.已知：⊙B的圓心為B（1，1），交y軸于C（0，3），動點P在⊙B上，連接PC、PO.則2PC+5PO的最小值為.

圖7

【解析】⊙B的半徑為，如圖8，連接BP，BO，在BO延長線上取點，當C、P、D三點共線時等號成立.故PC+5PO的最小值為

圖8

（作者單位：江蘇省東臺市實驗中學）