相似抓對應分類防漏解

唐華金

相似抓對應分類防漏解

唐華金

兩個圖形相似，一定要注意相似形的對應邊和對應角，不少同學因概念不清或考慮不周經常出現錯解或漏解，下面對一些典型的犯錯點進行剖析，希望對大家的學習有所幫助.

例1如圖1，在△ABC中，D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，，DE=4cm，求BC的長.

圖1

【典型錯解】∵DE∥BC，

【錯因分析】本題錯解中用錯了兩個相似三角形的對應邊，由△ADE∽△ABC應得，從而得BC=3DE=12（cm）.

所以學習相似三角形一定要注意對應.

【糾錯訓練1】如圖2，在△ABC中，D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，

圖2

例2如圖3，在已建立平面直角坐標系的4×4的正方形方格紙中，△ABC是格點三角形，若以格點P、A、B為頂點的三角形與△ABC相似（C點除外），則格點P的坐標是.

圖3

【典型錯解】P點坐標為（1，4），（3，4）.

【錯因分析】本題錯解中遺漏了三角形全等的情況，事實上，全等是特殊的相似.當點P與點B對應時，形成相似比為2∶1的相似三角形；當點P與點C對應時，兩個三角形全等，即相似比為1∶1.如圖4，格點P的坐標應為（1，4），則

或（3，1）或（3，4）.

圖4

【糾錯訓練2】如圖5，在2×4的正方形方格中，與格點△ABC相似但不全等的格點三角形共有個.

圖5

例3如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3、4及x，那么x的值是

【典型錯解】第一步，求得其中一個直角三角形第三邊長為10；第二步，將6、8、10分別與3、4、5對應求得x=5.

【錯因分析】主觀上將6和8當作直角邊，并將6、8和3、4對應，缺乏分類意識，事實上，邊長分別是6和8的直角三角形有兩種可能，即已知邊均為直角邊或者8為斜邊.當6和8為直角邊時，根據勾股定理可知斜邊為10，，解得x=5；當6是直角邊，8是斜邊時，根據勾股定理可求得另一條直角邊為27.由，解得x=7，所以x=5或7.

圖6

【糾錯訓練3】將三角形紙片△ABC按如圖6所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B′，折痕為EF.已知AB=AC=8，BC=10，若以點B′，F，C為頂點的三角形與△ABC相似，那么BF的長度是.

例4如圖7，在梯形ABCD中，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果直線AB上的點P使得以P、A、D為頂點的三角形與以P、B、C為頂點的三角形相似，PA=

圖7

【典型錯解】如圖8，當點P在線段AB上，①當時，△PAD∽△PBC，此時，解得

圖8

【錯因分析】只考慮點P在線段AB上的情形，未考慮點P在線段AB延長線上或在線段BA的延長線上的情況，設PA=x，

圖9

圖10

③如圖11，若點P在線段AB的延長線上，當△PAD∽△CBP時，，此時解得（負值舍去），PA=x=，綜上，PA=1或6或或14或

圖11

【糾錯訓練4】如圖12，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點D是BC邊的中點，動點P從點C出發，沿C→A→B的方向在AC、AB邊上以每秒2個單位的速度向點B移動，運動至點B即停止.連接PD，當點P運動時間t=時，線段PD截得的三角形與Rt△ABC相似.

圖12

通過以上幾種易錯點的分析，我們可以發現，學習相似一定要抓住相似形的對應邊和對應角，同時，要注意題目語言的敘述是否存在多種可能，特別是“相似符號沒有寫的情況下，一定要注意對應防漏解”，提高分類的意識，增強思考問題的全面性和完整性.

小試牛刀

1.如圖13，在△ABC中，AB≠AC.D、E分別為邊AB、AC上的點.AC=3AD，AB=3AE，點F為BC邊上一點，試添加一個條件：，使得△FDB與△ADE相似.

圖13

2.經過三邊都不相等的三角形的一個頂點的線段把三角形分成兩個小三角形，如果其中一個是等腰三角形，另外一個三角形和原三角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”.如圖14，線段CD是△ABC的“和諧分割線”，△ACD為等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，則∠ACB的度數為.

圖14

（關注公眾號，回復“2017年11月數學”獲取答案）

（作者單位：江蘇省東臺市頭灶鎮曹丿中學）