廣義猶豫模糊軟集的相似度量及其應用

黃 鶴，王艷平

遼寧工業大學 理學院，遼寧 錦州 121001

◎理論與研發◎

廣義猶豫模糊軟集的相似度量及其應用

黃 鶴，王艷平

遼寧工業大學 理學院，遼寧 錦州 121001

在廣義模糊軟集和猶豫模糊軟集的基礎上給出廣義猶豫模糊軟集的概念，并研究廣義猶豫模糊軟集的相似度量。首先利用三種猶豫模糊集合的包含度，構造猶豫模糊集間的相似度量公式。然后在猶豫模糊集相似度基礎上給出廣義猶豫模糊軟集相似度量的公理化定義，并構造廣義猶豫模糊軟集的相似度量公式，這些公式可以計算參數集不同時兩個廣義猶豫模糊軟集間的相似度。最后利用廣義猶豫模糊軟集相似度量方法構造了一種決策方法，并將這個決策方法應用于環境治理問題中。通過實例驗證了所提出方法的可行性和有效性。

廣義模糊軟集；猶豫模糊軟集；廣義猶豫模糊軟集；相似度量；包含度

1 引言

在現實世界中，事物之間的關系及其復雜，由于客觀存在的隨機性、模糊性及信息的不充分性，導致人們對事物的認識往往是不精確、不完全的，并具有一定的不確定性。1999年俄羅斯學者Molodtsov提出了軟集[1-2]理論，該理論從參數化角度解決了不確定性問題，相較于概率論、模糊分析法、粗糙集等傳統用于解決不確定性問題的數學工具，軟集合理論具有自身獨特的優勢。目前，軟集理論已經成功應用到運籌學、測度論、數據挖掘、洪水預測及文本分類等眾多領域。近年來，學者們將軟集的概念不斷擴展，又相繼提出了模糊軟集[3]、直覺模糊軟集[4]、猶豫模糊軟集[5]、區間值模糊軟集[6]、廣義模糊軟集[7]等理論。但到目前為止，還沒有看到關于廣義猶豫模糊軟集的相關討論，因此本文結合廣義模糊軟集和猶豫模糊軟集給出廣義猶豫模糊軟集的概念。在軟集理論中，如何合理地定義兩個對象的相似程度，特別是模糊軟集的相似性度量、距離度量以及這些不確定度量方法之間的關系得到了廣泛關注。Majumdar與Samanta在文獻[8-9]中對軟集與模糊軟集的不確定性度量進行了研究，并提出了一些不確定度量的方法，文獻[7]給出了一種廣義模糊軟集的貼近度計算方法，改進了已知貼近度計算中的某些缺陷，文獻[10]基于廣義模糊軟集在處理不確定性問題中的應用，對已有的貼近度進行了修正，并應用于醫療診斷中，取得了很好的效果。文獻[11]基于模糊蘊含算子提出了一種新的模糊軟集包含度與相似度量方法。文獻[12]討論了軟直覺模糊集的相似測度、距離測度。這些成果開創了軟集及其擴展模型的不確定性度量的研究，但仍有一些問題尚需進一步研究。因為無論模糊軟集、廣義模糊軟集還是擴展的模糊軟集，他們都是論域上參數化的子集族，不同的軟集可能有不同的參數集。現有文獻中大多數是針對參數集合相同的情況提出了各種擴展軟集的相似度量，對參數集不相同時的相似度量討論較少。因此，本文參考文獻[13]對廣義猶豫模糊軟集的相似度量做了研究，給出了參數集不同時的廣義猶豫模糊軟集的相似度量公式，并給出了該公式在環境治理中的應用。

2 預備知識

本章首先在廣義模糊軟集和猶豫模糊軟集的基礎上給出廣義猶豫模糊軟集的定義，并定義空廣義猶豫模糊軟集和滿廣義猶豫模糊軟集。

設初始論域為 U={x1,x2,…,xn}，參數集為E={e1,e2,…,em}。

定義2.1設論域為U，集合A?E。F：A→HF(U)是一個映射，α是 A的一個猶豫模糊子集，即 Hα：A→{＜e,Hα(e)＞|e∈A}，其中 Hα(e)為參數 e對應的猶豫模糊元。定義函數Fα：A→HF(U)×Hα(A)，使?e∈E ，Fα(e)=(F(e),Hα(e))。稱 (Fα,A)為論域U 上的廣義猶豫模糊軟集（GHFS）。

定義2.2[14]設U為初始論域，定義空猶豫模糊集和滿猶豫模糊集如下：

（1）空猶豫模糊集 Hφ：對?x∈U ，Hφ(x)={0}。

（2）滿猶豫模糊集HU：對?x∈U ，HU(x)={1}。

由此給出兩種特殊形式的廣義猶豫模糊軟集：

定義2.3（1）廣義空猶豫模糊軟集：對?e∈E，Fα(e)=(Hφ,Hφ)。記為 Fφ。

（2）廣義滿猶豫模糊軟集：對 ?e∈E ，Fα(e)=(HU,HU)。記為FU。

為了解決參數集不同的情況，本文定義了廣義猶豫模糊軟集的擴充，這種方法可以使參數集不同的廣義猶豫模糊軟集擴充到相同的參數集下，使計算更簡單更具一般性，后文會作出具體說明。

定義2.4初始論域U 上，集合 A?E，(Fα,A)為一個廣義猶豫模糊軟集，將 (Fα,A)擴充到 (,E)，令：E→HF(U)×Hα(E)，即對 ?e∈E ，當 e∈A 時(e)=Fα(e)，當 e? A 時，=(Hφ,Hφ)。則稱,E)為(Fα,A)的擴充。

類似文獻[7]中廣義模糊軟集的子集定義，不難得到廣義猶豫模糊軟集的子集定義。

定義2.5 設 A,B?E，(Fα,A)和(Gβ,B)是U 上的廣義猶豫模糊軟集。如果A?B，α是β的猶豫模糊子集，且?e∈A，F(e)是G(e)的猶豫模糊子集，則稱(Fα,A)是 (Gβ,B)的 廣 義 猶 豫 模 糊 軟 子 集 ，記 作(Fα,A)?(Gβ,B)。

特別的，當 (Fα,A)?(Gβ,B)且 (Gβ,B)?(Fα,A)時，稱二者相等，記為：(Fα,A)=(Gβ,B)。

下面先回顧猶豫模糊集的包含度定義，然后給出猶豫模糊集合的幾種包含度公式。

定義2.6[15]對任意的M ，N，Q∈HF(U)，若映射D:HF(U)×HF(U)→[0,1]滿足：

（1）0≤D(M/N)≤1

（2）M?N?D(M/N)=1

（3）M?N?Q?D(M/Q)≤D(M/N)，D(M/Q)≤D(N/Q)

則稱D為HF(U)上的包含度。

為了構造廣義猶豫模糊軟集的相似度量公式，這里先給出幾個猶豫模糊集合間的包含度公式。設U為論域，M，N為U上的兩個猶豫模糊集合，hM(xi)和hN(xi)(i=1,2,…,n)分別表示兩個集合的猶豫模糊元，則有：

均為猶豫模糊集的包含度。其中包含度D1是將猶豫模糊集合退化成一般模糊集合來計算包含度，D2，D3

[16]是將猶豫模糊集合退化成區間值模糊集合來計算包含度。

3 猶豫模糊集合間的相似度量

相似度描述了集合之間的接近程度，模糊集和軟集的相似度量已經廣泛應用于各個領域。為方便下一章討論廣義猶豫模糊軟集的相似度量，本章先給出猶豫模糊集合間相似度的公理化定義，然后基于猶豫模糊集的包含度構造相似度公式并給出證明。

定義3.1設U為論域，HF(U)表示論域上所有的猶豫模糊集合，映射

對論域上任意的猶豫模糊集合M，N，K滿足：

（3）若M?N?K，則有

則稱映射Sˉ為猶豫模糊集合的相似度。

（2）對論域上任意的猶豫模糊集合M，N，K有：

因為 Di(N/K)≤1，Di(K/N)≤1，所以min{Di(N/K),Di(K/N)}≤ 1 ，因此得證。

（3）若M?N?K，則有

Di(K/M)≤Di(K/N)

Di(K/M)≤Di(N/M)

所以

4 廣義猶豫模糊軟集的相似度量

根據上一章猶豫模糊集合間相似度，本章定義廣義猶豫模糊軟集的相似度如下：

定義4.1設U為論域，E為參數集，GHFS(U,E)為論域(U,E)上所有的廣義猶豫模糊軟集，對論域(U,E)上任意的廣義猶豫模糊軟集 (Fα,A)，(Gβ,B)，(Pγ,C)，映射 SG：GHFS(U,E)×GHFS(U,E)→[0,1]，滿足：

（1）SG((Fα,A),(Gβ,B))=SG((Gβ,B),(Fα,A))

（2）SG((Fα,A),(Fα,A))≥maxSG((Gβ,B),(Pγ,C))

（3）若 (Fα,A)?(Gβ,B)?(Pγ,C)，則有

SG((Fα,A),(Pγ,C))≤ min(SG((Fα,A),(Gβ,B))，SG((Gβ,B),(Pγ,C)))

則稱映射SG為廣義猶豫模糊軟集的相似度量。

設U為論域，E為參數集。令A?B=E′，E′?E，(Fα,A)和(Gβ,B)為參數集不同的廣義猶豫模糊軟集。為了便于計算，利用定義2.4將(Fα,A)和(Gβ,B)擴充成

定理4.1廣義猶豫模糊軟集的相似度量公式為：

其中，F(ej)={hF(x1j),hF(x2j),…,hF(xnj)}，G(ej)={hG(x1j),hG(x2j),…,hG(xnj)}，(ej∈A?B)。

證明（1）顯然成立；

（2）對于廣義猶豫模糊軟集 (Fα,A)，(Gβ,B)和(Pγ,C)，有

對于 (Gβ,B)和(Pγ,C)，有

所以，maxSGi((Gβ,B),(Pγ,C))≤1。

（3） 對于 (Fα,A)，(Gβ,B)和 (Pγ,C)，若 (Fα,A)?(Gβ,B)?(Pγ,C)，根據定義2.4，有 F(ej)?G(ej)?P(ej)，Hα(ej)? Hβ(ej)? Hγ(ej)。

顯然有：

所以必然有：

得證。

5 廣義猶豫模糊軟集的相似度量在環境治理中的應用

在本章，給出一個應用實例[17]，說明如何應用廣義猶豫模糊軟集的相似度量解決環境治理中的決策問題。

某省需要治理幾個城市環境污染，需要對每個城市污染嚴重程度進行比較，從而合理地分配所需事宜。設論域U={x1,x2,x3}分別代表市區、鄉村和野外。將國家環境調查報告指出的幾大污染看做參數集E={e1,e2,e3,e4}，其中ei(i=1,2,3,4)分別代表：“大氣污染”，“水體污染”，“土壤污染”，“生態污染”。該省有 A、B、C三個城市需要治理。

該如何決定治理環境的先后可通過以下步驟進行決策：

步驟1考慮施工難度、資金調度等實際情況，專家給出理想方案所對應的標準廣義猶豫模糊軟集。

步驟2通過調查問卷、實地考察等手段對A、B、C三個城市各種污染程度進行量化評估得到相應的廣義猶豫模糊軟集。

步驟3分別計算各城市所對應的廣義猶豫模糊軟集與標準廣義猶豫模糊軟集的相似度。

步驟4相似度越大，說明治理這個城市的環境可以達到最佳治理效果，以此作出決策。

專家給出理想方案及三個城市的調查結果如表1～4。

表1 理想方案

表2 A城市污染程度

表3 B城市污染程度

表4 C城市污染程度

根據表1～4，可得到相應的廣義猶豫模糊軟集：

計算廣義猶豫模糊軟集相似度：

因為 SG1((Pγ,C),(Zδ,E))＞SG1((Gβ,B),(Zδ,E))＞SG1((Fα,A),(Zδ,E))，所以該省治理C城市的污染回答道最佳治理效果。

通過定義2.4將上述四個廣義猶豫模糊軟集擴充為參數集為{e1,e2,e3,e4}的廣義猶豫模糊軟集，然后首先采用猶豫模糊集包含度公式：

同理，當采用D2(N/M)和D3(N/M)為猶豫模糊集合包含度計算廣義猶豫模糊軟集相似度量時，也可得出相應的相似度如下：

同樣可以通過 SGi((Pγ,C),(Zδ,E))＞ SGi((Gβ,B),(Zδ,E))＞ SGi((Fα,A),(Zδ,E))(i=2,3)得到最佳決策結果為C城市。

6 總結

本文首先結合廣義模糊軟集與猶豫模糊軟集理論，定義了廣義猶豫模糊軟集。然后利用猶豫模糊集合的包含度公式，討論了猶豫模糊集合的相似度量，進而給出了廣義猶豫模糊軟集相似度量的公理化定義及公式。由于包含度和相似度的公理化定義及公式可以有多種不同形式，因此本文只是提供了一種一般的構造方法，基于此種方法還可以得到其他不同形式的相似度公式。此外，文中給出了一種應用廣義猶豫模糊軟集相似度解決實際問題的決策方法，這只是廣義猶豫模糊軟集相似度的一種最簡單的應用。當然還可以將其應用到廣義猶豫模糊軟集的聚類分析、綜合評判等實際問題中。

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HUANG He,WANG Yanping

College of Science,Liaoning University of Technology,Jinzhou,Liaoning 121001,China

Similarity measures of generalized hesitant fuzzy soft sets and its application.Computer Engineering and Applications,2017,53（21）：37-41.

The concept of generalized hesitant fuzzy soft set is proposed based on the generalized fuzzy soft set and hesitant fuzzy soft set in this paper,and the similarity measure of the generalized hesitant fuzzy soft sets is discussed.At first,the similarity measure formula of hesitant fuzzy set is constructed by using three kinds of inclusion degree of hesitant fuzzy sets.Then the axiomatic definition of similarity measures of the generalized hesitant fuzzy soft set is provided based on hesitant fuzzy set similarity measure,and similarity measure formula of the generalized hesitant fuzzy soft set is constructed.The similarity measure of generalized hesitant fuzzy soft sets with different parameter sets can be calculated by using these formulas.Finally,a decision method is constructed by using the similarity measurement of generalized hesitant fuzzy soft set,and the decision-making method is applied to the problems of environmental governance.It can be verified the feasibility and effectiveness of the proposed method.

generalized fuzzy soft set;hesitant fuzzy soft set;generalized hesitant fuzzy soft set;similarity measures;inclusion degrees

A

TP311

10.3778/j.issn.1002-8331.1606-0164

國家自然科學基金（No.61473139）。

黃鶴（1991—），男，碩士研究生，研究領域為粗糙集理論及其應用；王艷平（1965—），女，教授，研究領域為模糊集與粗糙集，E-mail：lxywyp@lnut.edu.cn。

2016-06-12

2016-08-15

1002-8331（2017）21-0037-05

CNKI網絡優先出版：2016-11-21,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20161121.2049.084.html