撥開圖形變幻的迷霧
——蘇科版數學八（下）“9.4正方形的判定和性質”案例研究

■顧明新

撥開圖形變幻的迷霧
——蘇科版數學八（下）“9.4正方形的判定和性質”案例研究

■顧明新

新課程強調學生學習的自主性和獨立性，而數學的教學過程就是學生探究數學知識、發現數學規律、建構知識體系的過程。課堂要多為學生提供自主學習、自我展示、探究學習的舞臺，教師的角色扮演則是課堂高效的關鍵。教師要善于通過營造和諧融洽的課堂氛圍，調動學生的積極情態，引導他們最廣泛地參與整個學習、討論、合作交流的過程，鼓勵他們大膽設想、發散思維、敢于實踐、勇于創新，從而使不同層次的學生都能獲得成功的體驗以及進步和自信。深度探究更是突出學生在課堂中的主體地位，以改變學生的學習方式為著眼點，變被動學習為主動探究，使學生在分析問題和解決問題的過程中學會深入思考，學會思辨，進而提升學習的質量，提高解決問題的綜合能力。現以蘇科版數學八（下）“9.4正方形的性質和判定”的教學片段為例，剖析深度探究在課堂教學及學生思維中的促進作用。

一、合理引入，使深度探究有抓手

師：同學們，我們已經學習了平行四邊形中的兩類特殊四邊形——矩形和菱形，研究了它們的性質和識別方法。今天，我們來進一步研究一種更為特殊的平行四邊形，你們覺得是什么圖形呢？

生：正方形。

師：正方形特殊在哪里呢？它具有什么特殊性質呢？

設計意圖：教師根據師生交流的內容，在PPT中顯示相應主題和圖形。通過喚醒舊知識，實現向新知識的過渡。學生回顧矩形和菱形的定義、性質及識別方法，一方面再次固化了已有知識，另一方面為類比學習新知識做好了準備。仔細觀察圖形特征和幾何元素變化是獲得信息的前提。歸納總結出正方形的定義，教師通過問題情境引入，探究目的明確，給學生設置了展示智慧和才華的機會。在展示過程中，讓學生養成仔細觀察、嚴謹思考、表現自我的習慣，提高語言表達和自主探究、歸納總結的能力。

適合的有深度的探究學習是新課程理念所倡導的學與教的方式。教學中，教師堅持“一切以學生發展為本”的教育理念，根據學生的學習能力和教學需求，設置與學習者知識最近發展區要求一致的問題，通過適宜的方法引導他們觀察思考、自主探究，發現數學一般規律，歸納總結新探究的知識點，從而提高課堂的教學效果，培養學生數學學習的興趣，形成自主發現問題、探究問題、解決問題的良好思維品質。

二、有效深化，使深度探究有梯度

師：同學們，平行四邊形或矩形或菱形或一般四邊形，要具備什么條件才是正方形呢？我們如何識別正方形呢？

在畫圖嘗試、獨立思考及小組合作的基礎上，學生初步厘清了“平行四邊形—矩形（或菱形）—正方形”的變化過程。其中，對“對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形”的認識是一個曲折的過程，先是由優秀學生發現，并被其他學生驗證認可，從而成為本節課學生智慧結晶的一個亮點。

師生共同梳理得出如下的知識結構示意圖：

設計意圖：在學生自主探究出正方形定義后，教師趁熱打鐵，創設問題鏈，讓學生進一步深入探究正方形的識別方法。由于教材中除定義外，并沒有給出具體的正方形的識別方法，所以該問題具有較強的開放性與挑戰性。因此，采用小組合作探究是合適有效的方法。學生就邊、角、對角線等維度開展分析、討論后，教師適時給予肯定、贊許，以增強其交流分享的自信心。同時，應注重數學思想方法的滲透，“轉化化歸”“從特殊到一般”“分類討論”等數學思想方法的靈活運用，讓學生雖身處紛繁復雜的圖形變幻之中，卻能去繁化簡，撥云見日，感受圖形變化之美。

三、反思提煉，使深度探究顯內涵

師：我們類比矩形、菱形的研究方法以及利用對稱性，知道了正方形的邊、角、對角線所具有的性質，那么平行四邊形、矩形、菱形與正方形之間存在怎樣的關系呢？

師：正方形是矩形嗎？正方形是菱形嗎？正方形是平行四邊形嗎？

通過師生交流得出平行四邊形、矩形、菱形與正方形之間關系示意圖。

設計意圖：厘清平行四邊形、矩形、菱形與正方形之間的關系，有助于深度認識和理解這幾種特殊四邊形的區別與聯系。得出結論的過程中，要盡可能讓學生先獨立思考，再合作交流。在整個教學活動中，教師僅發揮組織者、引導者的作用。教師拋出問題后，學生自主探究，自主總結，探索相關知識，深刻體會正方形的特殊性。教師把課堂的主動權還給學生，學生自己學習，自己設問，自己解決問題。當遇到困難，思考無法再深入時，教師才介入，或給予方法上的指導，或給予精神上的鼓勵。這種學生之間互教、互助、互學的方式，為學生個性潛能的發揮提供“催化劑”，使學生“好學”“樂學”。

四、反饋評價，使深度探究得固化

設置一組包含填空、選擇及說理的題目。（題目略。）

設計意圖：通過有層次的練習反饋，讓學生更加清楚地辨析幾種特殊平行四邊形概念間的區別與聯系，理解特殊與一般的關系，及時鞏固所學知識，提升探究質量，使深度探究得到鞏固。同時，通過反饋訓練、探究互評，提高學生分析問題、解決問題的水平，發展邏輯推理能力。在反饋評價中，學生的差異性是存在的，有些體現在對基礎概念的理解上，有些體現在對綜合知識的運用上，有些體現在對邏輯的推理上……教師根據反饋情況，進行有針對性地點評、輔導及補救，讓學生在糾錯的過程中進一步強化認識和理解，讓不同層次的學生都能有所收獲。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。”推理在數學中具有重要的地位，是最基本的數學思想。平行四邊形與矩形、菱形、正方形都是特殊的四邊形，這些圖形的性質、判定及運用是幾何中的重要內容，是培養學生邏輯意識和推理能力的有效素材。教學中，引導學生采取深度探究的方式，不斷提高學生探究的積極性和主動性，有利于學生對學習內容的認識和理解，有利于學生在今后數學學習方式上的轉變，有利于學生的可持續成長與發展。

（作者為龐彥福名師工作室成員，無錫市雪浪中學副校長）

領銜人點評：推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。包括正方形在內的特殊平行四邊形的性質、判定與運用是幾何教學的重要內容，是促進學生推理能力螺旋上升的有效途徑。教師要學會合理設計教學，善于經營課堂，不斷提升教學水平。