用好相同元素 促進學習遷移
——“二次函數的應用（1）”的教學與思考

■吳春蘭

用好相同元素 促進學習遷移
——“二次函數的應用（1）”的教學與思考

■吳春蘭

很多數學知識之間都具有一定的邏輯關系，或者存在一定的相同元素，因此，在學習新知識時，從原有的知識結構中提取與新知識聯系最緊密的知識，讓新、舊知識在頭腦中發生積極地相互作用，新的知識就能更好地融入學習者原有的知識結構中，并形成新的知識結構，同時新知識還能夠對舊知識產生影響。本文以北師大版九年級下冊“二次函數的應用（1）”為例，談談遷移在教學中的運用，以及它對學生數學學習的影響。

一、教學設計

1.教學背景。

教材內容分析 二次函數是描述變量之間關系的重要數學模型，本課內容是在學生學習了二次函數圖像、性質后展開的后續學習，也可為探索二次函數與一元二次方程的關系奠定基礎。其重點是讓學生從實際問題中建立二次函數模型，并利用二次函數的最值解決實際問題，如以最大利潤為代表的問題，提升學生發現問題、提出問題的能力，發展數學模型思想。

學情分析 通過北師大版九上第二章“一元二次方程”的學習，學生已經掌握了列一元二次方程解應用題的方法，大部分學生能夠熟練將利潤類型的應用題通過建立方程模型求解，但仍有一部分學生暫時不能理清利潤問題的數量關系。另外，通過二次函數圖像性質的學習，學生已經具備求二次函數最值問題的能力，能夠根據圖形對變量的變化情況進行初步討論。

2.教學目標及教學重、難點。

教學目標 能夠將實際問題轉化為數學問題，建立二次函數模型，明確二次函數表達式的最值與實際問題的最值對應關系。在遷移學習中體驗數學的整體性，體會模型思想，增強學好數學的信心。

教學重點 建立二次函數最大利潤問題的數學模型，并求出實際問題的最大值。

教學難點 正確理解題意，從實際問題中抽象出二次函數最大利潤問題的數學模型。

3.教學流程。

（1）回顧問題，激發遷移。

情境：某商店購進一批單價為20元的日用品，如果以單價30元銷售，那么一個月內可售出400件。根據銷售經驗，提高單價會導致銷售量減少。即銷售單價每提高1元，銷售量相應減少20件。設每件單價提高x元，

問題①：要想每月獲得利潤4500元，根據題意可列方程：___________________________.

問題②：要想每月獲得利潤4420元，根據題意可列方程：____________________________.

問題③：要想每月獲得利潤4180元，根據題意可列方程：___________________________.

問題④：通過以上問題，請說說你發現了什么？

設計意圖：復習用一元二次方程解決以利潤為代表的應用題，并在此過程中突破“當銷售單價變化時，銷量與單價之間的關系”這個難點，感受總利潤與單價之間的函數關系。設計連續三個具有相同元素的重疊問題，增大遷移量，幫助學生實現從方程模型到函數模型的遷移。

（2）引入函數，實現遷移。

問題⑤：假設你是該商店的老板，從盡量獲取利潤的角度出發，你會做些什么？

設計意圖：從具體利潤抽象出變量利潤，并實現利潤問題最值與函數最值之間的對應關系；體會二次函數是解決一類最優化問題的數學模型，感受數學在現實生活中的運用。根據問題④建立的總利潤與提價之間的模型（30+x-20）×（400-20x）=y，自然將方程模型遷移成函數模型，同時理解二次函數最值與實際問題中最大利潤的聯系。

（3）當堂練習，鞏固遷移。

練習：某商店購進一批單價為8元的商品，如果以單價10元銷售，那么每天可銷售100件。經調查發現，這種商品每提高1元，銷售量相應減少10件。

①將銷售價提高多少元，可使每天所獲利潤為320元；

②將銷售價提高多少元，才能使每天所獲利潤最大？最大為多少？

③由于供貨量不足，采用限量供應的辦法，每天供應50件，要想獲得最大利潤，應將價格提高多少，才能使每天所獲利潤最大，最大為多少？

④若要每天所獲利潤不低于350元，該商品單價的取值范圍是多少？

設計意圖：問題①②為基礎題，面向全體學生；問題③④是面向中上層學生，要求學生結合二次函數圖像性質分析自變量的取值范圍對函數最值的影響，體會實際生活中種種條件的限制，培養學生的數學應用意識。

（4）新舊對比，感悟遷移。

提升：通過引例和練習，對比方程應用題和函數應用題，你能發現什么？

設計意圖：學生通過上兩個環節的學習，對比兩種應用題的相同元素可得：當利潤是具體的數值時，應建立方程類應用題模型，知識結構圖如圖1；當所求的利潤是最值時，應建立函數關系模型，知識結構圖如圖2。

圖1

圖2

（5）分層作業，鞏固知識。

作業：某果園有100棵橙子樹，每一棵樹平均結600個橙子。現準備多種一些橙子樹以提高產量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少。根據經驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橙子。

①如果想要果園橙子總產量是60300個，應該增種多少棵橙子樹？

②如果想要果園橙子總產量最大，應該增種多少棵橙子樹？

③果園增種多少棵果樹，可以使得橙子的總產量在60400個以上？

設計意圖：問題①②③綜合了列一元二次方程解應用題、二次函數最值應用題、受自變量取值范圍影響的二次函數最值問題。鞏固不同層次的學生的學習效果。

二、幾點思考

1.基于學習認知規律，巧用認知遷移。

心理學研究表明，越是具有普遍意義的知識，越容易保持和遷移。函數學習的普遍性、系統性特征是很突出的，在教學中要基于認知規律，抓住知識的內在相同元素，找準學情，巧妙地把方程的知識遷移到函數問題中，同時把函數問題具體化為方程問題，能夠相互促進和補充，對數學學習能起事半功倍的效果。

就本節課而言，列一元二次方程解應用題是學生原有、熟悉的知識，而二次函數的最值問題是新的內容，但是二者的思考方法、技能訓練有相當大的重疊。在教學中，把一元二次方程應用題的解題思路、方法遷移到函數應用題中，同時把函數應用題化為方程應用題，是對學習方法的提升。對于解題方法、技能的遷移，從抽象到具體，總結成兩個知識結構圖，強化學習遷移，也深化了學生對學習遷移的形象理解，從數學解題方法上實現數的理解與形的認知相融合。

2.把握前后聯系，實現模型遷移。

筆者曾嘗試過在兩個班級中對本課時進行與教科書相同步驟的教學，即將二次函數應用題直接拋給學生，讓學生經過思考、討論后，形成解題思路，然后教師分析講解，幫助學生總結提升。在此傳統教學方法下，優秀的學生能通過重新建構函數模型知識結構，把握最值問題的解題方法。有一部分基礎一般的學生，也會生搬硬套解題套路。比如設未知數的典型錯誤是，“設價格提升x元/件，最大利潤為y元”，這未能理解題意中“總利潤、銷售單價同時作為變量”的關系，照搬數學模型進行答題。甚至出現部分學生不設利潤y元，因為他們可以理解成一個未知數，或者兩個平行的未知數關系（二元一次方程組解應用題），但很難掌握兩個變量的二次函數模型。而采用本課時學習遷移的教學策略后，沒有一個學生出現生搬硬套數學模型的問題，更可喜的是只要學生能夠解方程問題，就可以理解總利潤也是一個變量，兩者之間是一種二次函數的數量關系，從而能夠正確建立最值問題的函數模型。把握前后聯系，重視知識的整體教學效果在此較為顯著。

3.用好相同元素，完善結構遷移。

學習遷移有賴于情境之間的相同元素。在教學中找準學情，引導學生將已有的知識結構遷移到新的知識結構中，同時讓新的知識有效增強對舊知識的理解，歸納新舊知識中的共同的元素，促進新舊知識的交互作用，有利于完善學生的認知結構。

事實上，數學學習方法的滲透是一項長期工程，我們不能希望僅僅通過一節課就能使學生掌握學習遷移，就能完善學生的認知結構，而是應該讓學習遷移貫穿在每一塊具有相同元素的知識體系中，引導學生用好知識版塊中的相同元素，建立完整的知識結構，形成整體化的數學觀。在初中數學里，二元一次方程組與一次函數，分式的意義與分式方程解的存在性，一元二次方程與二次函數，全等三角形與相似三角形的性質判定等，它們之間都存在內在的聯系，教學中我們都可以采用行之有效的辦法，巧用結構性遷移規律，提高學生學習效率。

（作者為廣東省深圳市民治中學教師）