集合、函數(shù)知識結(jié)構(gòu)與拓展

■鄭州一中 周益華

集合、函數(shù)知識結(jié)構(gòu)與拓展

■鄭州一中 周益華

編者的話:基本知識和基本技能是高中數(shù)學(xué)的核心,同學(xué)們一定要高度重視。本期特約鄭州一中周益華等幾位老師為同學(xué)們解讀相關(guān)知識。鄭州一中是河南省名牌高中,多年來高考成績一直在全省名列前茅。愿同學(xué)們通過閱讀,能從中感悟知識的結(jié)構(gòu)與拓展,把握高考命題特點(diǎn)與趨勢。

一、知識結(jié)構(gòu)框架

二、結(jié)構(gòu)分析

集合與函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ),也是高考考查的重點(diǎn),集合的相關(guān)知識是為函數(shù)的定義做鋪墊:函數(shù)是定義在兩個(gè)非空數(shù)集上的特殊對應(yīng),特殊的是第一個(gè)集合中的任意一個(gè)元素在第二個(gè)集合中都必須有且只有一個(gè)元素與之對應(yīng)。結(jié)合函數(shù)的名字做一個(gè)通俗的解釋,就很好理解了,函就是信函、郵寄的意思,信怎么寄呢?一封信必須寫且只能寫一個(gè)收信人才能準(zhǔn)確寄出,但一個(gè)人卻可以收多封信,自變量就是信,函數(shù)值就是收信人,函數(shù)就是數(shù)集間一種像寄信一樣的對應(yīng)關(guān)系。明白了這一點(diǎn),函數(shù)考什么就非常清晰了:兩個(gè)集合一個(gè)關(guān)系!涉及特殊式子及抽象函數(shù)的定義域問題;涉及解析式、復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)的表示及圖像變換問題;涉及單調(diào)性、奇偶性、周期性、導(dǎo)數(shù)的值域、最值問題。

三、實(shí)例分析

例1 已知y=f(x)表示過點(diǎn)(0,-2)的一條直線,y=g(x)表示過點(diǎn)(0,0)的另一條直線,又f[g(x)]=g[f(x)]=3x-2,A={(x,y)|y=f(x)},B={(x,y)|y=g(x)},求A∩B。

分析:將一次函數(shù)看作整體代入復(fù)合函數(shù),利用待定系數(shù)法求解,注意集合間的運(yùn)算法則。

解:設(shè)f(x)=k x-2,g(x)=m x,則k m x-2=3x-2,m k x-2m=3x-2,故m=1,k=3。

所以A∩B={(1,1)}。

小結(jié):此題易錯(cuò)的地方是結(jié)果的表示形式,集合間的運(yùn)算,結(jié)果仍是集合。

例2 設(shè)f(x)對任意x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0時(shí),f(x)＜0,f(1)=-2,求f(x)在[-3,3]上的最大值。

分析:判斷f(x)的單調(diào)性,求出f(-3),f(3)。

解:令x=y=0,得f(0)=0。

令y=-x,得f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù)。

任取x1＜x2,x2=x1+m,則m＞0,所以f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1+m)=f(x1)-f(x1)-f(m)=-f(m)＞0,所以f(x)為R上的減函數(shù),故f(x)在[-3,3]上的最大值為f(-3)=-f(3)=-3f(1)=6。

小結(jié):解答此題時(shí),函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷是難點(diǎn),突破方法為賦值法。

例3 設(shè)f(x)是定義在[-1,1]上的偶函數(shù),f(x)與g(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,且當(dāng)x∈[2,3]時(shí),g(x)=a(x-2)-2(x-2)3(a為常數(shù))。

(1)求f(x)的解析式。

(2)若f(x)在[0,1]上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

(3)若a∈(-6,6),問:能否使f(x)的最大值是4?說明理由。

分析:f(x)與g(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,則f(x)=g(2-x),f(x)在[0,1]上是增函數(shù),高次函數(shù)為增函數(shù)時(shí)考慮導(dǎo)數(shù),最值問題考慮區(qū)間端點(diǎn)值和極值。

解:(1)當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),2-x∈[2,3],所以f(x)=g(2-x)=2x3-a x。

當(dāng)x∈[0,1]時(shí),-x∈[-1,0],所以f(x)=f(-x)=-2x3+a x。所以f(x)=

(2)依題意f'(x)≥0,即-6x2+a≥0在[0,1]上恒成立,即a≥6x2在[0,1]上恒成立,所以a≥6。

(3)當(dāng)a∈ (- 6,6)時(shí),因?yàn)閒(0)=0,f(1)=a-2≠4,所以要使f(x)在[0,1]的最大值是4,必須f'(x)=0有解x0,且f(x0)=4,由f'(x)=0,即-6x2+a=0,得

所以若a∈(-6,6),則當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)的最大值不可能是4。

因?yàn)閒(x)是[-1,1]的偶函數(shù),所以f(x)在x∈[-1,1]上的最大值不可能是4。

小結(jié):此題的切入點(diǎn)為函數(shù)的對稱性,定義域轉(zhuǎn)換是需要關(guān)注的解題技巧。

四、跟蹤練習(xí)

1.運(yùn)貨卡車以xk m/h的速度勻速行駛1 3 0k m,按交通法規(guī)限制5 0≤x≤1 0 0(單位:k m/h)。假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元,而汽車每小時(shí)耗油(2 + x2

)L,司機(jī)的工資是3 6 0每小時(shí)1 4元。

(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式;

(2)計(jì)算當(dāng)x為何值時(shí),這次行車的總費(fèi)用最低,并求出最低費(fèi)用的值。(精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位,1 0≈3.1 6)

答:當(dāng)x約為5 6.8 8k m/h時(shí),行車的總費(fèi)用最低,最低費(fèi)用約為8 2.1 6元。

小結(jié):第二問求最值亦可用求導(dǎo)判斷單調(diào)性,應(yīng)用題要做答。

(責(zé)任編輯 劉鐘華)