基于結構奇異值的不確定系統魯棒性分析與評估

張亞婷 張惠平 鄭總準 路坤鋒

北京航天自動控制研究所，北京100854

基于結構奇異值的不確定系統魯棒性分析與評估

張亞婷 張惠平 鄭總準 路坤鋒

北京航天自動控制研究所，北京100854

針對存在含有不確定性攝動的飛行器，提出一種基于結構奇異值的魯棒性分析與評估方法。通過分析飛行器控制系統的不確定性攝動，基于線性分式變換方法，推導了飛行器不確定性攝動模型；基于μ分析方法，設計了一種控制律分析評估方法。并在系統魯棒穩定的基礎上，基于結構奇異值理論，分析了多輸入多輸出的不確定系統穩定裕度的計算方法。仿真結果表明，該方法有效保障了不確定性攝動系統控制律的魯棒穩定性。

不確定系統；結構奇異值；控制律評估；魯棒穩定性

新一代飛行器將在全空域全速域長時間飛行，未知的新環境存在更強的不確定性和更復雜的干擾因素，飛行器模型參數將大范圍快速變化，同時通道間強烈交叉耦合，給控制系統的分析與評估帶來了新的挑戰。

通道間強烈的交叉耦合與飛行環境干擾因素的不確定，使控制系統表現為一個多輸入多輸出(MIMO)問題，必須尋求多變量系統穩定性判據分析系統穩定性。同時，氣動參數、重心位置、質量、慣性矩和大氣數據等的不確定造成了飛行器模型的不確定，這要求設計的控制律具有一定的魯棒性。

結構奇異值是分析不確定系統魯棒穩定性和性能的有效方法[1-3]，本文在描述飛行器控制系統不確定性的基礎上，建立了一種基于結構奇異值的多變量穩定性判據，并進一步分析與評估系統控制律的有效性，為飛行器的穩定飛行提供理論依據。

1 系統不確定性分析與建模

控制系統的不確定因素分為2大類：模型不確定因素、與模型無關的不確定因素。其中模型不確定因素通常包括氣動參數、重心位置、質量、慣性力矩、傳感系統動態和大氣數據等，可以歸納為慣性因素、氣動參數、硬件變化及大氣數據4種；與模型無關的不確定因素主要為通道間的交叉耦合等。上述不確定因素均可以使用數學方法建模描述。

線性分式變換(LFT)作為描述系統結構特征的有力工具，較好地解決了系統結構模型的問題，可以將所有不確定參數分離出來，使系統表達為一個標稱模型加一個反饋的形式，如圖1所示，其中飛行器模型為G，設計的控制器為K，不確定性為矩陣Δ，G與K組成標稱模型。

圖1 LFT結構框圖

(1)

飛行器線性化數學模型如式(2)，模型系數中包含了慣性不確定、氣動參數不確定、大氣數據不確定及通道間交叉耦合影響。

(2)

按照飛行器的設計要求，將設計的控制律加入上述模型，則系統可表示為狀態空間方程形式，如式(3)，其中：Ad(Δ)，Bd(Δ)，Cd(Δ)，Dd(Δ)為包含控制環節與不確定攝動的模型矩陣，Δ為不確定性矩陣。

(3)

進一步，將模型參數中不確定性攝動分離出來，考慮一種模型的仿射近似方案，如式(4)

(4)

為得到LFT模型，將攝動矩陣進行滿質分解：

(5)

結合式(4)和(5)，得到不確定系統的LFT表達式為SΔ=Fu(M,ΔN)，其中：

(6)

2 控制律評估

線性分式變換模型將所有影響系統的不確定性構成一個不確定性矩陣Δ，這個矩陣具有對角或塊對角形式，結合式(6)，則此時LFT系統SΔ=Fu(M,ΔN)的結構奇異值為：

(7)

在不確定性的影響下，如果系統有一個極點逼近虛軸，μ的值就會迅速變大，理論上當極點剛好位于虛軸之上時，μ值等于1。因此，飛行器在不確定性攝動影響下，控制律評估步驟為：

1)在飛行特征點處，使用標稱模型設計控制律；

2)考慮全部不確定性攝動的影響，將包含不確定性因素的飛行器模型描述為LFT形式；

3)沿s平面內的虛軸s=jω隨頻率的變化計算LFT的結構奇異值，判斷μlt;1是否滿足，滿足則此特征點處控制律能夠保障飛行器在不確定攝動影響下穩定飛行；不滿足則返回重新設計控制律。

在所有特征點處計算LFT的結構奇異值，若μmaxlt;1均成立，則系統在不確定攝動的影響下魯棒穩定，控制律能夠保障穩定飛行。

3 穩定裕度計算

在系統魯棒穩定的基礎上，可以進一步分析計算不確定系統的穩定裕度。借鑒回差矩陣奇異值穩定裕度分析方法[4-5]的思路，令測量矩陣E=I+Δ，E=diag{k1ejφ1,k2ejφ2，…}，Δ為對角復數不確定攝動矩陣，Δ=diag{δ1,δ2，…}，加入測量矩陣的LFT系統模型如圖2所示。當測量矩陣kmin≤ki≤kmax，閉環系統穩定時，系統幅值裕度為(kmin,kmax)；當φmin≤φi≤φmax，閉環系統穩定時，多回路系統的相角裕度為(φmin,φmax)。

圖2 加入測量矩陣的線性分式系統

LFT模型中矩陣M∈Cn×n的結構奇異值μ定義為：

(8)

若Δ是空集，則定義μΔ(M)=0。μΔ(M)的倒數解釋為LFT反饋系統穩定裕度的上確界，也就是導致反饋系統失穩的最小攝動的一個度量。

由于Δ=diag(kicosφi+jkisinφi-1)，結合μ的定義，若MIMO系統的μ≤β，即β=μmax，則Δ對角矩陣的每個對角元素的幅值小于等于β-1時，系統保持穩定。由于對角矩陣的最大奇異值就是其對角元素的最大幅值，因此有：

(9)

根據式(9)，取縱坐標為系統結構奇異值，橫坐標為ki，對于不同的φi可以得到一組曲線，圖3為結構奇異值最大值β與幅值-相位裕度的估計圖，可以確定多變量控制系統幅值-相位同時變化時系統的穩定裕度。

圖3 通用μ與幅值-相位裕度圖

基于結構奇異值計算幅值裕度時，令φi=0；計算相位裕度時，令ki=1，則由式(9)可得多變量系統穩定裕度為：

(10)

4 仿真結果

某飛行器采用過載控制方式，輸出為三通道過載偏差與彈體系角速度偏差，特征點處設計的控制矩陣為：

在標稱系統的基礎上，考慮慣性不確定、氣動參數不確定、大氣數據不確定及通道間交叉耦合影響，將控制律加入系統模型，計算參數攝動下LFT模型的結構奇異值，可得：當ω=[0.001, 20]時，此特征點在不確定參數攝動影響下的LFT模型結構奇異值曲線如圖4所示，則系統存在不確定性參數攝動的情況下，μ值均小于1，即系統魯棒穩定，所設計的控制律可以保障飛行器在存在不確定參數影響下穩定飛行。

圖4 參數攝動LFT模型奇異值曲線

標稱系統結構奇異值曲線如圖5所示，最大值為μ=2.78，由式(10)可得MIMO系統穩定裕度為：當系統增益和相位同時變化時，穩定裕度范圍由圖3確定；系統相位不變時，允許增益發生變化的最大范圍為-8.9168dB～6.1455dB；系統幅值保持不變，允許相位發生變化的最大范圍為：-20.7228°～20.7228°。

圖5 標稱系統結構奇異值曲線

應用控制律評估方法，對飛行器進行反復設計后，模型中加入慣性偏差、氣動偏差和大氣數據偏差等，仿真結果如圖6～8所示。俯仰、偏航通道采用過載控制方法，加入偏差后，設計的控制參數能適應飛行器狀態變化帶來的影響，在攝動的影響下，控制系統能很好的跟蹤制導過載指令，整個飛行過程比較平穩，控制律設計結果理想。

圖6 法向過載曲線

圖7 橫向過載曲線

圖8 角速度曲線

5 結論

針對含有不確定性攝動的飛行器控制系統，在線性分式變換與結構奇異值理論的基礎上，提出了一種不確定性攝動影響下飛行器魯棒穩定性分析與評估方法。仿真結果表明，基于結構奇異值的MIMO系統穩定性計算方法合理，基于μ分析的控制律評估方法能有效判斷系統是否魯棒穩定。同時，能計算多變量系統穩定裕度，可以為攝動系統的有效設計提供理論依據。下一步可以在模型辨識的基礎上，研究飛行器控制律在線評估與自調整方法。

[1] Harald Pfifer, Simon Hecker. Generation of Optimal Linear Parametric Models for LFT-Based Robust Stability Analysis and Control Design[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2011,19(1):118-131.

[2] Iordanov P I. Robust Analysis and Synthesis of Systems Subject to Parameter Uncertainty Using the Structured Singular Value[D]. Limerick: PhD Thesis, University of Limerick, 2003:20-62.

[3] Dimitry Gorinevsky, Gunter Stein. Structured Uncertainty Analysis of Robust Stability for Multidimensional Array Systems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2003,48(9):653-680.

[4] 李帆.不確定性系統的解耦控制與穩定裕度分析[D]．西安：西北工業大學博士學位論文,2001．(Li Fan. The Decoupling Control Study and Stability Margin Evaluation of Multivariable Uncertain Systems [D]. Xi’an: A Dissertation Submitted for the Degree of Ph.D of Northwestern Polytechnical University, 2001.)

[5] 吳斌，程鵬．多變量飛控系統的穩定裕度分析[J]．航空學報,1998,19(6):657-661．(Wu Bin, Cheng Peng. Stability Margin Analysis of the Multiloop Flight Control Systems [J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 1998,19(6):657-661.)

RobustAnalysisandEvaluationofUncertainSystemsBasedonStructureSingularValue

Zhang Yating, Zhang Huiping, Zheng Zongzhun, Lu Kunfeng

Beijing Aerospace Automatic Control Institute, Beijing 100854, China

Accordingtotheaircraftinvolveduncertaintyperturbation,amethodofrobustanalysisandevaluationbasedonstructuresingularvalueisproposed.Themodelofuncertainsystemsisderivedbyanalyzinguncertaintyperturbationofaircraftcontrolsystemthroughthelinearfractionaltransformationmethod.Basedonμanalysismethod,amethodofcontrollawevaluationisdesigned.Andthestabilitymargincalculationmethodisanalyzedforuncertainsystemswithmultipleinputandmultipleoutputs,whichisbasedonthestructuresingularvalueprinciple.Thesimulationresultsshowthatthismethodcaneffectivelyguaranteetherobuststabilityofthecontrollawofuncertainsystem.

Uncertainsystem;Structuresingularvalue;Controllawevaluation;Robuststability

TJ765.2

A

1006-3242(2017)04-0011-04

2017-03-01

張亞婷(1989-)，女，陜西渭南人，碩士，助理工程師，主要研究方向為導航、制導與控制技術；張惠平(1979-)，男，寧夏固原人，碩士，研究員，主要研究方向為導航、制導與控制技術；鄭總準(1983-)，男，福州人，博士，高級工程師，主要研究方向為導航、制導與控制技術；路坤鋒(1983-)，男，石家莊人，博士，工程師，主要研究方向為導航、制導與控制技術。