衛星姿控系統的魯棒H2/H∞混合控制問題研究

劉善伍 張學鋼 陳宏宇

上海微小衛星工程中心，上海 200050

衛星姿控系統的魯棒H2/H∞混合控制問題研究

劉善伍 張學鋼 陳宏宇

上海微小衛星工程中心，上海 200050

針對一類范數有界不確定性衛星姿態采樣系統，研究了魯棒H2/H∞控制問題，給出了衛星姿態控制系統魯棒穩定的充要條件及相應的魯棒H2/H∞保性能狀態反饋控制律和最優魯棒H2/H∞保性能狀態反饋控制律，控制律的求取通過借助一類線性矩陣不等式(LMI)，或通過求取滿足線性矩陣不等式約束的優化問題，避免了以往使用Lyapunov矩陣求解的保守性。仿真結果表明，系統在受到擾動后仍然是穩定的。

姿態控制；采樣系統；魯棒H2/H∞控制；線性矩陣不等式

衛星姿態控制器的設計往往是根據確定的數學模型進行，這就使得所設計的控制器無法適應未建模和外界擾動。針對這些問題，近些年來，很多學者將魯棒控制理論逐漸應用到衛星姿態控制器的設計當中，并取得了很大進展[1-5]。但這些研究大多都是在連續域內進行，且僅限于單目標約束條件，并通過Lyapunov方法求解，因此所設計的控制可能無法應用到離散系統，且由于單目標控制忽略了系統其他方面的性能而使得所設計的控制器具有一定局限性。而通過Lyapunov方法求解具有較大的保守性。

對于以上問題，本文針對衛星模型的參數不確定性和未知的外界干擾力矩，建立了衛星姿態動力學和運動學模型，并將其進行了離散化，在離散域內通過LMI方法研究了混合H2/H∞目標魯棒控制問題，給出了同時滿足H2性能和H∞性能的魯棒H2/H∞保性能控制器。而且在離散域內得到的控制器可以直接應用到實際的計算機離散控制系統中。

1 本文用到的幾個主要引理

對于給定的時不變離散系統

(1)

定義系統H2性能指標和H∞性能指標：

H2性能指標IE增益：

H∞性能指標EE增益：

引理1[6]：對于給定的常數γgt;0和系統(1)，以下條件是等價的。

1)系統(1)是漸近穩定的，且系統的EE增益Λeelt;γ；

2)存在一個對稱矩陣Pgt;0，使得

引理3[6]：給定適當維數的矩陣Y，D和E，其中Y是對稱的，則

Y+DFE+ETFTDTlt;0

對所有滿足FTF≤I的矩陣F成立，當且僅當存在一個常數εgt;0，使得

Y+εDDT+ε-1ETElt;0

2 問題描述

衛星的姿態動力學連續模型[7]為：

(2)

由文獻[7]對衛星動力學模型進行推導轉換得到連續域內狀態空間模型：

(3)

令系統矩陣擾動ΔA=UFV，其中U和V是已知矩陣，反映了不確定參數的結構信息，F∈Rn×n是不確定矩陣，且滿足FTF≤I(Ι表示適當維數的單位矩陣)，則式(3)重寫成：

(4)

對式(3)～(4)進行離散化得：

(5)

其中，G=exp[AT]，T為系統采樣時間，

本節的目的是對給定的標量γgt;0，設計狀態反饋控制律

u(k)=Kx(k)

(6)

使得對所有允許的參數不確定性和外部擾動輸入閉環系統為

(7)

滿足以下的設計指標：

1)閉環系統是漸近穩定的；

3 主要結果

(8)

證明：由引理1和矩陣Schur補性質，定理1的第一部分很容易得到。

(9)

確定的矩陣。

式(8)減去式(9)得

矩陣不等式(8)包含了參數不確定矩陣，要檢驗其對所有允許的不確定矩陣成立，必須將其轉化為一個等價的線性矩陣不等式的可行性問題，從而可以應用LMI工具箱提供的線性矩陣不等式求解器來有效的檢驗定理1的條件。

定理2 存在一個對稱正定矩陣P，使得條件不等式(8)對所有允許的參數不確定性成立，當且僅當存在常數εgt;0和對稱正定矩陣Q，使得

(10)

證明：由矩陣Schur補性質，矩陣不等式(8)成立等價于下式成立

(11)

定理1和2證明了如果存在常數εgt;0，使得矩陣不等式(10)有正定對稱解矩陣Q，則對所有允許的參數不確定性，閉環系統式(7)是漸近穩定的，且被調輸出z(k)滿足給定的擾動抑制約束。進而，這個正定解矩陣Q保證了性能指標J(K)滿足

(12)

而這里

(13)

以下定理進一步給出了保證閉環系統漸近穩定，且滿足給定的擾動衰減度和性能約束式(12)的保性能控制律設計方法。

定理3 對給定的常數γgt;0和閉環系統式(7)，存在一個保性能控制律式(6)，當且僅當存在常數εgt;0以及對稱正定矩陣Q和矩陣Y，使得

(14)

進而，如果式(14)有一個可行解ε，Q，Y，則狀態反饋控制律

u(k)=YQ-1x(k)

(15)

是系統式(5)的一個保性能控制律，且其閉環系統的一個H2保性能上界是式(13)。

證明：在式(10)中令Y=KQ，即可得到本定理。

定理3 提供了用線性矩陣不等式(13)的可行解表示的一組保性能控制律。特別地，基于這個參數化表示，提出魯棒H2/H∞最優保性能控制律的設計方法。

定理4 對給定的常數γgt;0和系統式(5)，如果以下的優化問題

(16)

成立，則u(k)=YQ-1x(k)是系統式(5)的H2/H∞最優保性能控制律。

由引理3，上式對所有滿足FTF≤I的不確定矩陣成立，當且僅當存在常數ε1gt;0，使得

上式經整理并再次應用引理1即可得到問題式(16)的條件式(2)。這樣Trace(S)的最小化將保證性能上界J(K,Q-1)的最小化。約束條件和目標函數的凸性保證了如果問題式(16)有解，則一定是該問題的全局最優解，定理得證。

4 算例

某型號小衛星轉動慣量為：Isx=1.31kg·m2，Isy=1.33kg·m2，Isz=1.1kg·m2。軌道角速度為：ω0=0.0011rad/s。仿真初始值設置為：三軸姿態角φ=5°，φ=-10°，ψ=-5°；ωx=-0.8(°)/s，ωy=1(°)/s，ωz=0.8(°)/s。擾動結構U,V取為：

此結構表征了衛星的轉動慣量受到了干擾，干擾幅度約為標稱值的20%。另外，取衛星外界干擾Td為零均值白噪聲，取飛輪執行機構的控制力矩限幅為1mNm。給定γ=30，利用MATLAB中的LMI工具箱進行仿真，可得魯棒H2/H∞最優保性能狀態反饋控制器為

通過Matlab/Simulink搭建仿真模型，得到衛星姿控閉環系統受到擾動前后的姿態變化曲線如圖1和2所示，從圖中可以看到，受到擾動后，衛星三軸姿態仍然穩定，且超調量和調整時間變化不大。

圖1 未受擾動衛星三軸姿態變化

圖2 受擾動衛星三軸姿態變化

5 結論

本文針對具有范數有界不確定性和外部擾動的衛星姿控采樣系統設計了H2/H∞最優魯棒保性能狀態反饋控制器，仿真結果表明，在系統受到擾動的情況下，仍然是穩定的，且其動態性能變化不大，為未來的工程應用提供了強有力的理論基礎。

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[5] 劉善伍,張銳,張靜.衛星姿態采樣系統的魯棒H∞控制[J],航天控制,2012,30(6):50-53. (Liu Shanwu, Zhang Rui, Zhang Jing. RobustH∞Control of a Class Sample-Data Systems for Satellite Attitude Control with Structured Uncertainty [J]. Aerospace Control, 2012, 30(6):50-53.)

[6] 俞立.魯棒控制——線性矩陣不等式處理方法[M].北京：清華大學出版社,2002.

[7] 章仁為. 衛星軌道姿態動力學與控制[M]. 北京：北京航空航天大學出版社,1998.

TheH2/H∞RobustnessMixControlforSatelliteAttitudeControlSystem

Liu Shanwu, Zhang Xuegang, Chen Hongyu

ShangHai Microsatellite Engineering Center, Shanghai, 200050，China

Inthispaper,theH2/H∞robustnessmixcontrolforaclassofsampled-datasystemsisresearchedforsatelliteattitudecontrolwhoseunderlyingcontinuous-timesystemsaresubjectedtouncertainties,andprerequisitesofrobuststabilityandthecorrespondingrobustcontrollawarederived.Theacquisitionofcontrollawisdesignedbysolvingaclassoflinearmatrixinequalities(LMI)oradynamicoptimizationwithLMIconstraintsrespectively.ThemethodislessconservativethanLyapunovematrixmethod.Anexampleisshownthatsystemdisturbedisstable.

Sampled-datasystems；RobustH2/H∞control；Linearmatrixinequality(LMI)

V249.1

A

1006-3242(2017)04-0037-05

2017-02-20

劉善伍(1982-)，男，吉林農安人，碩士，主要研究方向為衛星控制系統設計，張學鋼(1990-)，男，安徽蚌埠人，博士研究生，主要研究方向為衛星控制系統設計；陳宏宇(1976-)，男，大同人，博士，主要研究方向為衛星總體設計、控制系統設計。